清华微积分(高等数学)课件微积分(一)期末小结

u(
x)v(
x)
b a

b
v( x)du( x)
a
3.特殊函数的积分性质
1） 设f ( x) C[a, b], 则
a
f
(
x)dx

2
a f ( x)dx , f ( x)为 偶 函 数
0
a
0 ，
f ( x)为 奇 函 数
2）设f ( x)为连续的周期函数, 周期为T ,
时间: 2002年1月3日下午、 1月4日上、下午 上午：8:30 ~ 11:30 下午：2:30 ~ 5:30
地点：三教 1109
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2
微积分 (一)期末小结
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3
一.函数
1.基本初等函数
2.初等函数
3.非初等函数
*分段函数
*隐函数方程
*参数方程表示的函数
*变限定积分
b
kf
(
x)dx

k
b f ( x)dx , k为常数.
a
a
2）
b
(
f
(
x)

g(
x))dx

b
f ( x)dx
b
g( x)dx
a
a
a
3） a f ( x)dx 0 a
4） b f ( x)dx
a
f ( x)dx
a
b
5） b f ( x)dx
c
f ( x)dx
f ( x) C[a, b], 设x (t)满足a ( ),
b ( ), a (t) b,'(t)连续，则
b

f ( x)dx f ( (t))'(t)dt
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2.分 部 积 分 法
b
u(
a
x)dv(
x)
(四)计算方法
1.利 用 基 本 公 式
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2.凑 微 分 法
f ( x)dx g( ( x))'( x)dx g( ( x))d ( x)
3. 变 量 置 换 法
令x ( t )
f ( x)dx f ( (t)) '(t)dt
F (t ) C F ( 1( x)) C
记 作 f ( x)dx F ( x) C
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(二)基本性质
1. F'(x)dx F(x) C
2. ( f (x)dx)' f (x)
3. d( f ( x)dx)) f ( x)dx
4. kf (x)dx k f (x)dx, k 0
介值定理
最值定理
一致连续性
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四.导数与微分
1.定义 :
设y f ( x)，f ( x)在x0点的导数：
f '( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
f ( x)在x0点可微：
y f '( x0 )dx (x)
微分为dy f '( x0 )dx
(三)不等式的证明
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(四)罗必达法则
(五)泰勒公式
1.皮亚诺型余项的泰勒公式
假设函数f ( x)在点x0存在1到n阶导数，
则当x x0时, 有
f (x)
f ( x0 )
f '( x0 )(x
x0 )
1 2!
f ''( x0 )(x
x0 )2

1 n!
f
x
f ( x)dx
a
在(a, b)内可导，且F'( x) f ( x).
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(五)牛顿-莱布尼兹公式
设f ( x) C[a, b], F ( x)是f ( x)的 一 个 原 函 数，则
b a
f
( x)dx

F(x)
b a

F (b)

F (a)
(六)定积分计算
1.变 量 置 换 法
则 aT f ( x)dx
T
f ( x)dx , a R.
a
0
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1) e x 1 x 1 x2 1 xn o( xn )
2!
n!
2) sin x x x3 x5 (1)k1 x2k1 o( x2k )
3! 5!
(2k 1)!
3) cos x 1 x2 x4 (1)k x2k o( x2k )
7） b f ( x)dx
b
f ( x)dx
a
a
8） 估 值 定 理若m ( x) M ,则b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
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9） 中 值 定 理
若f ( x) C[a, b], 则 存 在 [a, b],
使 得
4.分 部 积 分 法
udv uv vdu
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七.定积分
(一)基本概念
1.定义
设f ( x)在[a, b]上 有 定 义, 对[a, b]的 任 意
划 分{ xk }nk0 : a x0 x1 x2 xn b
及k [ xk1, xk ] (k 1,2,, n) , 令
b
f ( x)dx
f ( )( b a).
a
10） 广 义 中 值 定 理
若f ( x) C[a, b], g( x) R[a, b]且 在[a, b]
上 不 变 号, 则 存 在 [a, b], 使 得
b
b
a f ( x)g( x)dx f ( )a g( x)dx .
2.若f ( x) C[a, b]，则f ( x)在[a, b]上 可 积.
3.若f ( x)在[a, b]上有界，只有有限个 间断点，则f ( x)在[a, b]上可积.
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4.若f ( x)在[a, b]上单调有界，则f ( x)在 [a, b]上可积.
5. f ( x)在[a, b]上 可 积 对[a, b]的 任 意
11. tan x secxdx secx C
12. cot x csc xdx csc x C
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13.
a2
1
x2
dx

1 a
arctan
x a

C
1
x
14.
dx arcsin C
a2 x2
a
(a 0) (a 0)
15. secxdx ln tan x secx C
1 2!
f ''( x0 )(x
x0 )2

1 n!
f
(n) ( x0 )( x

x0 )n

(n
1 1)!
f
(n1) (
)(x

x0 )n1
其 中是 介 于x0与x 之 间 的 某 个 点 。
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3.常用的麦克劳林公式
( x0 0， 皮 亚 诺 型 余 项)
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2.导数与微分的计算
基本公式
四则运算法则 复合函数求导法 隐函数求导法 反函数求导法 对数微分法
参数方程求导法
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五.导数应用
(一)微分学基本定理
罗尔定理
拉格朗日定理
柯西定理
(二)函数性态的研究
增减性、极值 凸性、拐点
渐近线
n!
6) 1 1 x x2 xn o( xn ) 1 x
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要求
1.掌握函数在一点的泰勒公式
2.会用直接展开或间接展开的方法求 函数的泰勒公式
3.能利用泰勒公式求某些函数的极限 4.利用泰勒公式证明不等式 5.利用泰勒公式作近似计算
6.利用泰勒公式进行级数判敛
划 分{
xk
}n k0
,
有 lim 0
s

lim S
0
,
其中
n
n
S Mkxk , s mkxk ,
k 1
k 1
Mk

sup
xk1 x xk
f ( x) , mk

inf
xk1 x xk
f (x).
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(三)定积分的性质
1）
5. ( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx
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(三)基本公式
1. xdx 1 x1 C ( 1)
1
2.

1 x
dx

ln
x
C
3. e xdx e x C
4. axdx 1 ax C (a 0, a 1) ln a
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六.不定积分
(一)基本概念 1.原函数
若在区间I上F'( x) f ( x)，则称F( x) 是f ( x)在区间I上的一个原函数。
2.不定积分
f ( x)的 全 体 原 函 数F ( x) C， （C为 任 意 常 数 ） 称 为f ( x)在 区 间 上 的 不 定 积 分 ，
b
f ( x)dx
a
a
c
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6） 若f ( x) g( x) , x [a, b], 则
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx;
若f ( x)、g( x) C[a, b], f ( x) g( x)
则
b
f ( x)dx
b
g( x)dx.
a
a
5. sin xdx cos x C
6. cos xdx sin x C
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7. sec2 xdx tan x C
8. csc2 xdx cot x C
9.

1
1 x2
dx

arctan
x

C
10.
1 dx arcsin x C 1 x2
16. csc xdx ln cot x csc x C
17.
a2
1 x2
dx

1 ln a 2a a
x x
C
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19
18.
1 dx ln( x a2 x2 ) C
a2 x2
19. shxdx chx C
20. chxdx shx C
(n) ( x0 )( x

x0 )n

o[( x

x0 )n]
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2.拉格朗日型余项的泰勒公式
假 设 函 数f ( x)在 点x0 (a, b)有1到n 1阶 导 数 ， 则 x (a, b), 有
f (x)
f ( x0 )
f '( x0 )(x
x0 )
微积分期末考试
时间：2002年1月5日 下午：2:30—4:30
地点:(1) 二教401
结11、结12、水工13学号279—288
(2) 二教402 水工11、水工12、
水工13学号289—298
(3) 二教403 结13、结14、文9、
水工13学号299—308、其他
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1
期末考试答疑
2! 4!
( 2k )!
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12
4) ln(1 x) x x2 x3 (1)n1 xn o( xn )
23
n!
5) (1 x) 1 x ( 1) x2
2!
( 1) ( 1)( n 1) xn o( xn )
xk

xk

xk 1
(k

1,2,, n),

max(
1 k n
xk
)
n
如 果 极 限lim 0 k1
f
(k )xk存 在, 则 称 此 极
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限 值 为f ( x)在[a, b]上 的 定 积 分 ， 记 作
b
n
a
f ( x)dx

lim
4.函数的初等性质
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4
二.极限
1.极限的 N , 定义
2.极限的性质 3.极 限 的 有 关 定 理 4.求极限的方法
基本公式 等价无穷小替换
罗必达法则 泰勒公式
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5
三.连续函数
1.连续的基本概念 2.闭区间上连续函数的性质
有界性
零点定理
0 k1
f (k )xk
此 时 称f ( x)在[a, b]上 可 积.
2.定积分的几何意义
b f ( x)dx表示f ( x)与x轴及直线x a, a
x b之间所围面积的代数和.
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(二)函数的可积性
1. f ( x)在[a, b]上可积，则f ( x)在[a, b] 上 有 界.
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(四)变上限定积分
设f ( x) R[a, b], F ( x)
x
f ( x)dx
a
x [a, b], F ( x)称为变上限定积分。
1）若f ( x) R[a, b],则F ( x)
x
f ( x)dx
a
在[a, b]上连续.
2）若f ( x) C[a, b],则F ( x)