高考数学压轴专题2020-2021备战高考《矩阵与变换》分类汇编附答案

《矩阵与变换》考试知识点
一、15
1．用行列式解关于x 、y 的方程组：1
()2ax y a a R x ay a
+=+⎧∈⎨+=⎩，并对解的情况进行讨论.
【答案】见解析 【解析】 【分析】
先求出相关的行列式,,x y D D D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，即可得到结论. 【详解】
由题意，关于x 、y 的方程组：1
()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，
所以22111
1,(1),12x a a D a D a a a a a a
a
+=
=-=
=-=-
2121(21)(1)1
2y a a D a a a a a
+=
=--=+-，
（1）当1a ≠±时，0D ≠，方程组有唯一解，1
211a x a a y a ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
；
（2）当1a =-时，0,0x D D =≠，方程组无解；
（3）当1a =时，0x y
D D D ===，方程组有无穷多解，,()2x t
t R y t =⎧∈⎨=-⎩
. 【点睛】
本题主要考查了用行列式法求方程组的解，难度不大，属于基础题.
2．已知关于x 、y 的二元一次方程组()4360
260x y kx k y +=⎧⎨++=⎩
的解满足0x y >>，求实数k
的取值范围. 【答案】5,42⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
由题意得知0D ≠，求出x D 、y D 解出该方程组的解，然后由0
0x y D >>⎧⎨≠⎩
列出关于k 的不
等式组，解出即可.
【详解】
由题意可得()4238D k k k =+-=+，()601x D k =-，()604y D k =-.
由于方程组的解满足0x y >>，则0D ≠，该方程组的解为()()6018
6048x y k D x D k D k y D k ⎧-==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩
，
由于00
D x y y ≠⎧⎪>⎨⎪>⎩，即()()()806016048860408k k k k k k k ⎧⎪+≠⎪--⎪>⎨++⎪⎪->⎪+⎩，整理得80
2508408k k k k k ⎧
⎪+≠⎪
-⎪>⎨
+⎪-⎪<⎪+⎩，解得542k <<. 因此，实数k 的取值范围是5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
3．解关于x ，y ，z 的方程组()1213x my z x y z m x y z ⎧-+=⎪
++=⎨⎪-++=⎩
.
【答案】（1）2m ≠且1m ≠-时，2212112432x m y m m m z m m ⎧=⎪-⎪
⎪
=⎨+⎪⎪-++=
⎪-++⎩
；（2）2m =或1m =-时，无
解. 【解析】 【分析】
先根据方程组中,,x y z 的系数及常数项计算计算出D ，D x ，D y ，D z 下面对m 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】
()()21D m m =--+，()1x D m =-+，()2y D m =--，2243z D m m =-++.
所以（1）2m ≠且1m ≠-时，2212112432x m y m m m z m m ⎧=⎪-⎪
⎪
=⎨+⎪⎪-++=
⎪-++⎩
；
（2）2m =或1m =-时，无解. 【点睛】
本题考查三元一次方程组的行列式、线性方程组解得存在性，唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算能力与转化思想，属于中档题．
4．已知方程组()()()11
,232a x ay a R a x a y ⎧-+=⎪∈⎨
+++=⎪⎩
（1）求证：方程组恰有一解；
（2）求证：以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上； （3）求x y +的最小值，并求此时a 的范围. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最小值1
3
，[3,4]a ∈ 【解析】 【分析】
（1）利用二阶行列式证明
（2）利用消参法得(),x y 的轨迹即可证明 （3）利用绝对值不等式求最值 【详解】 （1）
22
111123230,3,4,
23232234,33
y x a a a a D a a a a D a D a a a a a a a
x y --==+---=-≠==-+==-++++--∴=
=，
即方程组有唯一解 （2）由（1）知34,33
a a
x y --=
=，消去参数a ,则3310x y +-=，即以方程的解(),x y 为坐标的点在一条直线上；
（3）1||||(|3|3x y a +=
-1
|4|)3
a +-≥，当且仅当()()340a a --≥即[3,4]a ∈时，
x y +的最小值1
3
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，考查绝对值不等式求最值，是基础题
5．已知ABC ∆的顶点坐标分别为(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，请分别运用行列式、向量、平面解析几何知识，用其中两种不同方法求ABC ∆的面积.
【答案】
312
【解析】 【分析】
解法一：用行列式求解，面积公式为1
12
23
31
11
ABC x y S x y x y ∆=，代入点的坐标求解即可；解法二：平面解析几何知识求解，先求出直线BC 的方程、点A 到直线BC 的距离d 及BC ，利用1
2
ABC S BC d ∆=⋅⋅计算即可. 【详解】
解法一：行列式求解，
1
12
23
315013113
312
1
2
1
ABC x y S x y x y ∆-==-=
； 解法二：平面解析几何知识求解， 直线BC 的方程为：
33
53
y x +-=-，即：5360x y +-=， 点A 到直线BC
的距离d =
=
=，
BC ==
所以1131
22342
ABC S BC d ∆=⋅⋅=⋅=. 【点睛】
本题考查利用三阶行列式计算三角形面积、利用平面向量知识计算三角形面积、利用平面解析几何知识求解三角形面积，属于基础题.
6．已知关于x ,y 的一元二次方程组：22
3(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩
，当实数m 为何值时，并在
有解时求出方程组的解. （1）方程组有唯一解？ （2）方程组无解？ （3）方程组有无穷多解？
【答案】（1）2m ≠-且3m ≠，23233x m
m y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
；（2）3m =；（3）2m =-
【解析】 【分析】
分别求出二元一次方程组对应的,,x y D D D ，再根据有唯一解、无解、无穷多解情况求解即可； 【详解】
一元二次方程组：22
3(1)21mx y x m y m +=⎧⎨+-=+⎩
对应的
()()22
63231
m D m m m m m =
=--=-+-
()2222211x D m m m =
=-++-，()()2
232321
y m D m m m ==-++
（1）当0D ≠时，方程组有唯一解，即3m ≠且2m ≠-，此时23233x y D x D m
D m y D m ⎧
==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩，即
23233x m
m y m ⎧
=⎪⎪-⎨
-⎪=⎪-⎩
； （2）方程组无解的情况等价于0D =时，0x D ≠或者0y D ≠，即只有3m =时符合情况；
（3）方程组有无穷多解等价于0,0,0x y D D D ===，符合的解只有2m =- 【点睛】
本题考查二元一次方程组用二阶行列式求解解的情况，属于中档题
7．设,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a c
c b a a c b .
（1）求字母b 的代数余子式的展开式；
（2）若（1）的值为0，判断直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系.
【答案】（1）233b ac -；（2）重合. 【解析】 【分析】
（1）根据字母b 的代数余子式的展开式()
()
()
2
4
6
111b a b c b a c b
a b
c b
-+-+-即可求解；
（2）根据（1）的值为0，得出边长的关系，即可判断直线位置关系. 【详解】
（1）,,a b c 分别是ABC ∆的三边，行列式b a c
c b a a c b ，
所以字母b 的代数余子式的展开式为：
()
()
()
2
4
6
111b a b c b a c b
a b
c b
-+-+-
222b ac b ac b ac =-+-+- 233b ac =-
（2）若（1）的值为0，即2330b ac -=，2b ac =，b c a b
=， 由正弦定理：sin sin c C b B
= 所以
sin sin c C b c b B a b
-===- 所以直线sin 0B x ay b ⋅+-=与sin 0C x by c ⋅+-=的位置关系是重合. 【点睛】
此题考查求代数余子式的展开式，得出三角形边长关系，结合正弦定理判断两直线的位置关系，跨章节综合性比较强.
8．已知点()3,1A ，()1,3B -，i v
，j v
分别是基本单位向量.
（1）若点P 是直线2y x =的动点，且0AP i AP j BP j
BP i
⋅⋅=-⋅⋅u u u v u u u v v v u u u v u u u v v v ，求点P 的坐标 （2）若点(),P x y 满足12
41
2
6101
x y -=且OP OA OB λμ=-u u u v u u u v u u u v
，λ，μ是否存在自然数
解，若存在，求出所有的自然数的解，若不存在，说明理由.
【答案】（1）()0,0，()2,4（2）存在，0λ=，2μ=或2λ=，1μ=或4λ=，
0μ=
【解析】 【分析】
(1)设P 的坐标为(),2x x ,再根据行列式的运算求解即可.
(2)利用12
41
2
6101
x
y -=求出(),P x y 满足的关系式,再根据OP OA OB λμ=-u u u r u u u r u u u r
求出关于(),P x y 满足的关系式,再求自然数解即可.
【详解】
(1)由题,设P 的坐标为(),2x x ,因为0AP i AP j
BP j BP i
⋅⋅=-⋅⋅u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ,
故()()()()
0AP i BP i BP j AP j ⋅⨯⋅--⋅⨯⋅=u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ,化简得0AP BP ⋅=u u u r u u u r
,
即()()3,211,230x x x x --⋅+-=,即2222348305100x x x x x x --+-+=⇒-=. 解得0x =或2x =.代入可得()0,0或()2,4
(2)由12
41
2
6101
x
y -=得12(6)4(2)(26)0y x y x ----++=.化简得8y x =-. 又OP OA OB λμ=-u u u r u u u r u u u r ,故()()()3,11,3,x y λμ=--,即33x y λμ
λμ
=+⎧⎨
=-⎩. 故33824λμλμλμ-=+-⇒+=,又,λμ为自然数.故0λ=，2μ=或2λ=，1μ=或4λ=，0μ= 【点睛】
本题主要考查了向量与行列式的基本运算等,需要根据题意求得关于(),P x y 的关系式,属于中等题型.
9．已知1m >，1n >，且1000mn <，求证：lg 9
01
lg 4
m n <. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】
由题意，求得11000mn <<，利用基本不等式，得到2
lg lg 90lg lg 24
m n m n +⎛⎫<<=
⎪⎝⎭，
再结合行列式的运算，即可求解. 【详解】
由题意，实数1m >，1n >，且1000mn <，可得11000mn <<，
则2
lg lg 90lg lg 24
m n m n +⎛⎫<<=
⎪⎝⎭，
又由lg 919
lg ln 9lg ln 1
44lg 4
m m n m n n
=-⨯=-，所以lg 9
01lg 4m n <. 【点睛】
本题主要考查了行列式的运算性质，以及对数的运算性质和基本不等式的应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，以及合理应用对数的运算和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
10．已知矩阵2101M ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
（1）求矩阵M 的特征值及特征向量；
（2）若21α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
r
，求3M αv
.
【答案】（1）特征值为2；对应的特征向量为210α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r
（2）91⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
【解析】 【分析】
(1)先根据特征值得定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出
方程组即可解得相应的特征向量；(2)由12ααα=+u u r u u r r
可得333
12M M M ααα=+u u r u u r r ，求解即
可. 【详解】
（1）矩阵M 的特征多项式为2
1
()0
1
f λλλ--=
-(2)(1)λλ=--，
令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为1或2，
当1λ=，时由二元一次方程0
000x y x y --=⎧⎨
+=⎩
. 得0x y +=，令1x =，则1y =-， 所以特征值1λ=对应的特征向量为111α⎡-⎤
=⎢
⎥⎣⎦
；
当2λ=时，由二元一次方程00
00x y x y -=⎧⎨
+=⎩
. 得0y =，令1x =，
所以特征值2λ=对应的特征向量为210α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
；
（2）1221ααα⎡⎤==+⎢⎥-⎣⎦u u
r u u r r
Q ，
333
12M M M ααα∴=+u u r u u r r 331212αα=+u u r u u r 311210⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦91⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
.
【点睛】
本题考查矩阵特征值与特征向量的计算，矩阵的乘法运算，属于基础题.
11．已知向量102
11
2A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
u r ，求矩阵1A -u r 的特征值和属于该特征值的特征向量.
【答案】特征值：1,2-；对应特征向量：12⎛⎫ ⎪-⎝⎭，11⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
先求得1
A -u r
，以及其特征多项式()f
λ，令()0f λ=解得特征值，最后根据特征向量的定
义求解即可. 【详解】 设1
A
-u r
a b c d ⎛⎫= ⎪
⎝⎭，则由A u r 1A -u r E =r 可得 10? 1?
02 10? 1?1? 2a b c d ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪
⎝
⎭，
解得1,1,2,0a b c d =-=-=-=， 故得1
A
-u r 1? 12? 0--⎛⎫= ⎪-⎝⎭
. 则其特征多项式()()1? 1?
122? f λλλλλ
+=
=+-，
令()0f
λ=，可得特征值为121,2λλ==-.
设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
则由1
1A λαα-=r ，的2y x =-，令1x =，则2y =- 故矩阵1
A -u r 的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为12⎛⎫ ⎪-⎝⎭；
同理可得矩阵1
A -u r 的一个特征值22λ=-对应的一个特征向量为11⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查矩阵特征值和特征向量的求解，属中档题.
12．已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
变换后得到圆22
:13C x y '+=，求实数a 的值. 【答案】2a =
【解析】 【分析】
设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x ax y
y x y =+⎧⎨=-''⎩
，代入计算得到答案.
【详解】
设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则33
2x a x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢
⎥⎢⎥'-⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
， 则332x ax y y x y
=+⎧⎨=-''⎩，由(),x y ''在22
:13C x y '+=上， 可得22
(3)(32)13ax y x y ++-=，即(
)
2
22
92(36)1313a x a xy y ++-+=，
由方程表示圆，可得2913a +=，2(36)0a -=，则2a =. 【点睛】
本题考查了圆的矩阵变换，意在考查学生的应用能力.
13．设函数()271f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥； （2）若当
01x
x
>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21
()1
x g x a
x +=
--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)8
{|3
x x ≤或6}x ≥;(2)[5,)-+∞;(3)[4,)-+∞ 【解析】
【分析】
(1)代入1a =-直接解不等式即可; (2)由
01x
x
>-解得01x <<,故可将()1f x ≥化为(2)70a x -+≥,从而求出a 的范围; (3)化简()g x ,故可将题设条件变为:存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,因此求出2722x x ---的最小值即可得出结论.
【详解】
(1)若1a =-,则()271f x x x =-+- 由()0f x ≥得|27|1x x -≥-, 即270271x x x ->⎧⎨
-≥-⎩或270
721x x x -≤⎧⎨
-≥-⎩
, 解得6x ≥或8
3
x ≤
, 故不等式的解集为8
{|3
x x ≤或6}x ≥; (2)由
01x
x
>-解得01x <<, 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥,
当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥, 设()(2)7F x a x =-+,则有(0)70
(1)50F F a =>⎧⎨=+≥⎩
解得5a ≥-,
因此实数a 的取值范围为[5,)-+∞; (3)21
()1
x g x a
x +=
--2|1|(1)x a x =-++, 若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,
即存在x 使271x ax -++2|1|(1)x a x ≤-++成立, 即存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立, 又272227(22)5x x x x ---≤---=, 所以527225x x -≤---≤, 所以15a -≥-,即4a ≥-, 所以a 的取值范围为:[4,)-+∞ 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式,结合了恒成立,能成立等问题,属于综合应用题.解决恒成立,能成立问题时,常将其转化为最值问题求解.
14．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组3
22
ax by x y +=⎧⎨+=⎩.
（1）求此方程组有解的概率； （2）若记此方程组的解为0
x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率.
【答案】（1）1112；（2）
13
36
. 【解析】 【分析】
（1）先根据方程组有解得a b ，关系，再确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；
（2）先求方程组解，再根据解的情况得a b ，关系，进而确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】 （1）因为方程组3
22ax by x y +=⎧⎨+=⎩
有解，所以
0212a b a b ≠∴≠ 而2b a =有123,,,246
a a a
b b b ===⎧⎧⎧⎨
⎨⎨===⎩⎩⎩这三种情况，所以所求概率为31116612-=⨯；
（2）006232,2022232b x ax by a b
a b x y a y a b -⎧
=
⎪+=⎧⎪-∴-≠⎨
⎨+=-⎩⎪=
⎪-⎩
Q 因为00x >且00y >，所以6223
200,022b a a b a b a b
---≠>>--，
因此12,,33
a a
b b =≥⎧⎧⎨
⎨><⎩⎩即有35213+⨯=种情况，所以所求概率为1313
6636=⨯； 【点睛】
本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.
15．设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的逆矩阵
1M -．
【答案】1
3255415
5M -⎡⎤
-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
根据矩阵的乘法运算求出MN ，然后由02513MN ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
列出方程组，即可求出
4,3x y ==，从而确定矩阵M ，再利用求逆矩阵的公式，即可求出矩阵M 的逆矩阵1M -．
【详解】
解：因为02513MN ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦ ，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩
所以4,3x y ==；
矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
的逆矩阵1
3255415
5M -⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
． 【点睛】
本题主要考查矩阵的乘法运算及逆矩阵的求解．
16．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；
（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程. 【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
（2）2
92y x x =- 【解析】 【分析】
（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；
（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】
解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 即31333a b -+=⎧
⎨
-+=-⎩，解得2
0a b =⎧⎨=⎩，
所以2130M ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
；
（2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(
)
,P x y '
''
，
则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2
y x ''
=，所以2
92x x y =+， 所以曲线C 的方程为2
92y x x =-． 【点睛】
本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．
17．己知矩阵1221M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
. （1）求1M -；
（2）若曲线22
1:1C x y -=在矩阵M 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程.
【答案】（1）1
12332133M -⎡⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
；（2）223y x -= 【解析】 【分析】
（1）根据逆矩阵的求法，求得M 的逆矩阵1M -.（2）设出1C 上任意一点的坐标，设出其在矩阵M 对应的变换作用下得到点的坐标，根据坐标变换列方程，解方程求得两者坐标对应关系式，再代入1C 方程，化简后可求得2C 的方程. 【详解】
解（1）设所求逆矩阵为a b c d ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，则122210212201a b a c b d c d a c b d ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即21202021
a c
b d a
c b
d +=⎧⎪+=⎪⎨
+=⎪⎪+=⎩，解得13232313a b c d ⎧
=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-
⎩
，所以1
12332133M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. （2）设曲线1C 上任一点坐标为()00,x y ，在矩阵M 对应的变换作用下得到点(),x y ，
则001221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即000
022x y x x y y +=⎧⎨+=⎩，
解得0023
23y x x x y y -⎧=⎪⎪⎨
-⎪=⎪⎩
. 因为220
1x y -=，所以22
22133y x x y --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，整理得22
3y x -=， 所以2C 的方程为22
3y x -=. 【点睛】
本小题主要考查逆矩阵的求法，考查利用矩阵变换求曲线方程，考查运算求解能力，属于中档题.
18．已知矩阵1101A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，0614B ⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
.若矩阵C 满足AC B =，求矩阵C 的特征值和相应的特征向量.
【答案】特征值12λ=，相应的特征向量21⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；特征值23λ=，相应的特征向量11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】 设a b C c d ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，由矩阵乘法法则求得矩阵C ，再由特征多项式求得特征值，再得特征向量． 【详解】
解：设a b C c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由AC B =，即11060114a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
得0164a c c b d d +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩，解得1
2
14
a b c d =⎧⎪=⎪
⎨=-⎪
⎪=⎩，所以1214C ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 设()()()21
2
142561
4
f
λλλλλλλ--=
=--+=-+-，
令()0f λ=，得12λ=，23λ=，特征向量为x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 当12λ=时，20x y -=，取121α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
； 当23λ=时，220x y -=，取211α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
u u r
.
【点睛】
本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．
19．已知矩阵1237A -⎡⎤
=⎢
⎥
-⎣⎦
， （1）求逆矩阵1A -；（2）若矩阵X 满足31AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，试求矩阵X ． 【答案】（1）（2）
【解析】 【分析】 【详解】 （1）设
=
，则
=
=
．
∴解得∴=
（2）
20．设()3322
k k
x k x f x k x
-=
+⋅（x ∈R ，k 为正整数）
（1）分别求出当1k =，2k =时方程()
0f x =的解.
（2）设()0f x ≤的解集为[]212,k k a a -，求1234a a a a +++的值及数列{}n a 的前2n 项和. 【答案】（1）1k =时,方程()0f x =的解为2x =，3x =;2k =时， ()0f x =的解为
6x =，4x =（2）123415a a a a +++=;前2n 项和为2133
2222
n n n ++-+
【解析】 【分析】
（1）根据定义化简函数()f x 的解析式，然后根据一元二次方程求出当1k =，2k =时方程()0f x =的解即可；
（2）由()0f x ≤即()(
)32
0k
x k x --≤的解集为[]21
2,k k a
a -建立关系式，然后取
1k =，2k =可求出1234a a a a +++的值，最后根据
()()()212342121234212n n n n n S a a a a a a a a a a a a --=++++++=++++++L L 进行求
解即可； 【详解】
解：（1）()(
)()()2
32
3232k
k
k
f x x k x k x k x =-++⋅=--，
当1k =时()()()32f x x x =--，所以方程()0f x =的解为2x =，3x =； 当2k =时()()()64f x x x =--，所以方程()0f x =的解为6x =，4x =； （2）由()0f x ≤即()(
)32
0k
x k x --≤的解集为[]21
2,k k a
a -.
∴2122123232k k k k
k k
a a k a a k --⎧+=+⎨⋅=⋅⎩， ∴1k =时，1
123125a a +=⋅+=，2k =时，2
3432210a a +=⋅+=. ∴123451015a a a a +++=+=
()()()212342121234212n n n n n S a a a a a a a a a a a a --=++++++=++++++L L ()()()()()12231232232312222n n n n =⋅++⋅+++⋅+=+++++++L L L
()()2121213332221222
n
n n n n n +-+=⋅+=+-+-.
【点睛】 本题主要考查了二阶行列式的定义，以及数列的求和，同时考查了计算能力，属于中档题.。