高三数学上学期入学考试试题理2

育才中学高2017级高三上入学考试
数学试题（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}
{}
2log 1,1P x x Q x x =<-=<，则P
Q =（ ）
A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()0,1 D. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭
2．“(,)
2
π
θπ∈”是“sin cos 0θθ->”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知△ABC 中，12
5
tan -
=A ，则cos A =( ) A.
1213 B. 1213- C.513
- D. 513 4. 设2log 3=a ，2
1
log 5=b ，3log 2=c ，则( )
A ．b c a >>
B ．a c b >>
C ．a b c >>
D ．b a c >>
5．已知tan a =4,cot β=
1
3
,则tan(a +β)=( ) A. 711 B. 711- C. 713 D. 713
-
6. 函数13,0,
()31,0.
x
x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则该函数为（ ）
A. 单调递减函数，奇函数
B. 单调递增函数，偶函数
C. 单调递增函数，奇函数
D. 单调递减函数，偶函数 7. 下列说法中正确的是（ ）
A. “(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件
B. 若2
000:,10p x x x ∃∈-->R ，则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R
C. 若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题
D. 命题“若6απ=
，则1sin 2α=”的否命题是“若6
απ≠，则1sin 2α≠”
8．由曲线1xy =，直线,3y x x ==所围成的封闭图形的面积为( ) A .
11
6
B.
92 C. 1
ln 32
+ D. 4ln 3- 9. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈都有(2)(2)4(2)f x f x f +=-+，且
(1)3f =，则(2015)f =( )
A. 6
B. 3
C. 0
D. 3-
10.已知函数()1--=x x x f ，()x x x g 2+=，()x x x h ln +=的零点分别为321,,x x x ，则
（ ） A. 312x x x <<
B. 213x x x <<
C. 132x x x <<
D. 321x x x <<
11．已知点P 为曲线3:C y x x =-上一点，曲线C 在点P 处的切线1l 交曲线C 于点Q （异于点P ），若直线1l 的斜率为1k ，曲线C 在点Q 处的切线2l 的斜率为2k ，则124k k -的值为（ ） A ． 5-
B ．4-
C ．3-
D ． 2
12.已知函数13)(2
3
+-=x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧
≤--->+
=0
,860,41)(2
x x x x x
x x g ，则方程[])0(0)(>=-a a x f g 的解的个数不可能是（ ）
A ．3个 B.4个 C.5个 D. 6个 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 13．
⎰
-=+2
2
1)(sin dx x _____________
14. 已知)(x f ，)(x g 分别是定义域为R 的奇函数和偶函数，且x
x g x f 3)()(=+，则)1(f 的值为_____________
15．已知α、β都是锐角，且3cos()5αβ-
+=，12
sin 13
β=，则cos α=_____________ 16．如果)(x f 的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”. 给出下列命题： ①函数x y
sin =具有“)(a P 性质”；
②若奇函数)(x f y =具有“)2(P 性质”，且1)1(=f ，则(2015)1f =；
③若函数)(x f y =具有“(4)P 性质”， 图象关于点(10)，
成中心对称，且在(1,0)-上单调递减，则)(x f y =在(2,1)--上单调递减,在(1,2)上单调递增；
④若不恒为零的函数)(x f y =同时具有“)0(P 性质”和 “(3)P 性质”，且函数)(x g y =对
R x x ∈∀21,，都有1212|()()||()()|f x f x g x g x -≥-成立，则函数)(x g y =是周期函数.
其中正确的是
(写出所有正确命题的编号)．
三、解答题：本大题共5小题，60分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数π
()cos()4
f x x =-.
（Ⅰ）若()10
f α=
，求sin 2α的值； （II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫
=⋅+ ⎪⎝⎭
，求函数()g x 在R 的最值.
18．现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，据对市场120份样本数据统计，年利润分布如下表：
对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格的概率均为
3
1
，在一年之内要进行2次独立的抽查，在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利润如下表：
记随机变量Y X ,分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润， （1）求Y X >的概率；
（2）某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断哪个项目更具有投资价值，并说明理由．
19．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱AB
的中点，11,BC AA ==。

（1）求证：//1BC 平面DC A 1；
（2）求二面角1D AC A --的平面角的正弦值。

20 设A ，B 分别是x 轴，y 轴上的动点，P 在直线AB 上，且.322
3
+==|AB | ,PB AP
（1）求点P 的轨迹E 的方程.
（2）已知E 上定点K (-2,0)及动点M 、N 满足0=⋅KN KM ，试证：直线MN 必过x 轴上的定点。

21．已知函数ax x xe x f x --=ln )(2．
（1）当0=a 时，求函数)(x f 在]1,2
1[上的最小值； （2）若0>∀x ，不等式1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围；
（3）若0>∀x ，不等式e
x x
e x e e x
x f 1111
1)1(2+
-+≥-恒成立，求a 的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题目记分.
22. （本小题满分 10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AC 为⊙O 的直径，D 为BC ︵
的中点，E 为BC 的中点． （1）求证：AB, // DE
（2）求证：CD.2AD BC AC ∙=∙
D
C 1
B 1
A 1
C
B
A
23. （本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，圆C 的方程为为参数）
θθθ(,
sin 21,
cos 21⎩⎨⎧+=+=y x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l 的极坐标方程
)(sin cos R m m ∈=+θρθρ.
（1）当3=m 时，判断直线l 与C 的关系；
（2）当C 上有且只有一点到直线l 的距离等于2时，求C 上到直线l 距离为22的点的坐标.
24、（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲] 设函数5
(),2
f x x x a x R =-
+-∈． （1）求证：当2
1
-
=a 时，不等式ln ()1f x >成立． （2）关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值．
育才中学高2017级高三上数学入学考试答案 （理科）
一、选择题：AABDBCDDDCCA 二、填空题： 13．4 14.
34
15．65
33 16. ①③④ 三、解答题：本大题共5小题，60分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．解：（Ⅰ）因为π
()cos()4f αα=-=
，
所以
(cos sin )210
αα+=
， 所以 7cos sin 5αα+=. 平方得，22
sin 2sin cos cos αααα++=
49
25
， 所以 24
sin 225
α=
. ……………6分 （II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫
=⋅+
⎪⎝
⎭
=ππcos()cos()44x x -⋅+
=
(cos sin )sin )22
x x x x +⋅- =221(cos sin )2x x -
=1
cos 22
x . ……………10分
所以()g x 的最大值为
12；()g x 的最小值为-1
2
. 18． 解（1）Y X >的所有情况有：
272544323161)1.1,2.1(12==⨯⨯⨯=
==C y x P ， 94)32()6.0(22
2=⨯==C y P ，
所以271494272)(=+=>Y X P ， …………………….6 （2）随机变量X 的分布列为：
所以1=EX 万元， (8)
随机变量Y 的分布列为：
所以9.0=EY 万元 (10)
EY EX > ，且Y X >的概率与Y X <的概率相当
所以从长期投资来看，项目甲更具有投资价值 (12)
19．（Ⅰ）证明：连结1AC 交1AC 于点
G ，连结DG . 在正三棱柱111C B A ABC -中，四边形
1
1ACC A 是平行四边形，
∴1AG GC =. ∵AD DB =，
∴DG ∥1
BC . ………………………2分 ∵DG ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，
∴1BC ∥平面1A DC . …………………………4分
∴∠
DFE 是二面角1D AC A --的平面角.
在直角三角形ADC 中，AD DC DE AC ×=
=
. G
D C 1
B 1
A 1
C
B
A
同理可求：
11
A D DC
DF AC ×=
=.
∴sin DE DFE DF =
=
.……………………………12分 解法二：过点A 作AO BC ⊥交BC 于O ，过点O 作
OE BC ⊥交11B C 于E .因为平面ABC ⊥平面11CBBC ，所以AO ⊥平面11CBBC .分别以,,CB OE OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空
间直角坐标系，如图所示.
因为11,BC AA ==
，
ABC ∆是等边三角形，所以O 为BC 的中点.则()0,0,0O
，A ⎛ ⎝⎭，1,0,02C ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，1A ⎛ ⎝
⎭
，1(,0,44D
，112C ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，B （21，0，0） ………4分 （Ⅰ）设平面1A DC 的法向量为(),,n x y z =，则
10,
0.
n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
∵3
(4CD =
，11(,2AC =-，
∴30,4410.22
x z x z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩
取x =1A DC 的一个法向量为(
)
3,1,3n =
-.
1BC =
（10）
1BC ·n n =0∴∴1BC ∥平面1A DC .……………………8分
（Ⅱ）可求平面1ACA 的一个法向量为(
)
13,0,1n =
-. ……………10分
设二面角1D AC A --的大小为θ
，则1cos cos ,13n n θ=<>
=. ∵()0,θπ∈，
sin DE DFE DF =
=
20 解：（1）可求22
:
143
x y E += 设:(2)KM y k x =+(0)k ≠与2234120x y +-=联立
2222(34)1616120k x k x k +++-=
设11(,)M x y ，
则222
011222161668,2343434k k k x x x k k k -+=-=-+=+++
1212(2)34k
y k x k =+=+ ∴222
6812(,)3434k k M k k
-++ 设1
:(2)KN y x k
=-
+(0)k ≠， 同理可得：22
26812()3434k k
N k k --++，（8分） 2
74(1)
M N MN M N y y k k x x k -=
=--- 2
(1)k ≠（10分） 则2
222
12768:()344(1)34k k k MN y x k k k --=--+-+
化简可得272
()4(1)7k y x k =-
+-
即MN 过定点（2,07
-），另MN 斜率不存在时，也过（2,07
-）（13分）
∴直线M 、N 必过定点2
(,0)7
-
21． 解（1）0=a 时，x xe x f x
ln )(2-=，x
e x x
f x 1)12()(2/-
+=∴，
01)44()(22//>+
+=⇒x
e x x
f x ，所以函数)(/
x f 在),0(+∞上是增函数， 又函数)(/x f 的值域为R ，
故00>∃x ，使得01
)12()(0
200/0
=-
+=x e
x x f x ， 又022)2
1(/
>-=e f ，210<
∴x ，所以当]1,2
1
[∈x 时，0)(/>x f ， 即函数)(x f 在区间]1,21[上递增，所以2ln 2
)21()(min +==e
f x f
（2）a x
e x x
f x
--+=1)12()(2/，
由（1）知函数)(/
x f 在),0(+∞上是增函数，且00>∃x ，使得0)(0/=x f 进而函数)(x f 在区间),0(0x 上递减，在),(0+∞x 上递增，
00200min ln )()(0ax x e x x f x f x --==，
由0)(0/=x f 得：01
)12(0
200
=--
+a x e
x x ， 1)2(0202
00-+=⇒x e x x ax ，022
0002ln 1)(x e x x x f --=∴，
因为0>∀x ，不等式1)(≥x f 恒成立，
02ln 12ln 10022
002200≤+⇒≥--∴x x e x x e x x
2021
)12(0
200=+≤-
+=∴x e x a x …………………….9 （另解：因为0>∀x ，不等式1)(≥x f 恒成立，
即21
)2(ln 21)2(ln 1ln 2ln 2ln 2+-+-=+-+-=--≤
+x
x x e x x x x e e x x xe a x x x x x 由21
ln 12ln 122ln ≥--⇒++≥⇒+≥+x
x xe x x e
x e x x
x x
，
当02ln =+x x 时取等号，2≤∴a ）
（3）由e x x
e x e e x x
f 11111)1(2
+-+≥-，e
x x x e x e e x
x a x e x 1111
11ln 12
2+-+≥---⇒，
e x e e x a x x x 11ln +-≥--⇒，e
x
e e x x x x a 1
1ln +---≤⇒对任意0>x 成立， 令函数e
x
e e x x x x x g 11ln )(+---=，所以e x e e e x x x g )1(1ln )(/--+=， 当1>x 时，0)(/>x g ，当10<<x 时，0)(/<x g ，
所以当1=x 时，函数)(x g 取得最小值e
e e e e e e g 1
1)1(11111)1(---=+---=， e e e e
a 1
)1(1---≤∴
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题目记分.
22．（Ⅰ）连接OE ，因为D 为的中点，E 为BC 的中点，
所以OED 三点共线．………………………… …2分
因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点，
所以OE ∥AB ，故DE ∥AB.………………………… …5分
（Ⅱ）因为D 为的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ，
又∠BAD ＝∠DCB ∠DAC ＝∠DCB ．
又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE △DAC ∽△ECD ．………… …8分 AC CD ＝AD CE AD ·CD ＝AC ·CE 2AD ·CD ＝AC ·2CE
2AD ·CD ＝AC ·BC ．．
23．解：(Ⅰ)C ：(x -1)2+(y -1) 2=2，l :x +y -3=0,圆心(1,1)到直线l
的距离为d ==< 所以直线l 与C 相交. ……………………………………………4分
(Ⅱ)C 上有且只有一点到直线l 的距离等于2，即圆心到直线l 的距离为2 2.
过圆心与l 平行的直线方程式为：x+y -2=0与圆的方程联立可得点为(2,0)和(0,2)．…………10分
A
24.【解析】(1)证明：由51()||||22f x x x =-++1222153225222x x x x x ⎧-+ <-⎪⎪⎪= -≤≤⎨⎪⎪- >⎪⎩
得函数()f x 的最小值为3，从而()3f x e ≥>，所以ln ()1f x >成立.
(2) 由绝对值的性质得555()|||||()()|||222
f x x x a x x a a =-
+-≥---=-， 所以()f x 最小值为5||2a -，从而5||2
a a -≥， 解得54a ≤，因此a 的最大值为54.。