深圳宝安区民众学校八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典测试题(含答案)

一、选择题
1．如图，AB 是线段CD 的垂直平分线，则图中全等三角形的对数有（ ）
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对B
解析：B
【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，AC=AD ，BC=BD ，OC=OD ，然后根据”HL”可判断Rt △AOC ≌Rt △AOD ，Rt △BOC ≌Rt △BOD ；根据“SSS”可判断△ABC ≌△ABD ．
【详解】
解：∵AB 是线段CD 的垂直平分线，
∴AC=AD ，BC=BD ，OC=OD ，
∴Rt △AOC ≌Rt △AOD （HL ），Rt △BOC ≌Rt △BOD （HL ），△ABC ≌△ABD （SSS ）． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”“HL”；全等三角形的对应边相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
2．如图，BD 是四边形ABCD 的对角线， AD//BC ，AB AD <，分别过点A ，C 作AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为点E ，F ，若BE DF =，则图中全等的三角形有
( )
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对C
解析：C
【分析】 根据AD //BC 证得ADB CBD ∠=∠，由BE DF =得到BF=DE ，由此证明
△ADE ≌△CBF ，得到AE=CF ，AD=CB ，由此证得△ABE ≌△CDF ，得到AB=CD ，由此利用
SSS 证明△ABD ≌△CDB.
【详解】
解：∵AD //BC ，
∴ADB CBD ∠=∠，
BE DF =，
BF DE ∴=，
AE BD ⊥，CF BD ⊥，
AED CFB ∠∠∴=90=，
()ADE CBF ASA ∴≅，
AE CF ∴=，AD CB =，
∵∠AEB=∠CFD 90=，BE=DF ，
()ABE CDF SAS ∴≅，
AB CD ∴=，
BD DB =，AB=CD ，AD CB =，
()ABD CDB SSS ∴≅,
则图中全等的三角形有：3对，
故选:C .
【点睛】
此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据已知条件找到对应的边或角是解题的关键.
3．下列四个命题中，真命题是（ ）
A ．如果 ab ＝0，那么a ＝0
B ．面积相等的三角形是全等三角形
C ．直角三角形的两个锐角互余
D ．不是对顶角的两个角不相等C
解析：C
【分析】
根据有理数的乘法、全等三角形的概念、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可．
【详解】
解：A 、如果 ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0或a 、b 同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；
B 、面积相等的三角形不一定全等，本选项说法是假命题，不符合题意；
C 、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；
D 、不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题
的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC 全等的图形是（ ）
A ．甲和乙
B ．乙和丙
C ．只有丙
D ．只有乙B
解析：B
【分析】 甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS 判定与△ABC 全等；丙可根据AAS 判定与△ABC 全等，可得答案．
【详解】
解：甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC 全等；
乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC 全等；
丙三角形72°内角及所对边与△ABC 对应相等且均有50°内角，可根据AAS 判定乙与△ABC 全等；
则与△ABC 全等的有乙和丙，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．
5．如图，AB AC =，AD AE =，55A ︒∠=，35C ︒∠=，则DOE ∠的度数是（ ）
A ．105︒
B ．115︒
C ．125︒
D ．130︒C
解析：C
【分析】 先判定△ABE ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质，得出∠B=∠C=35︒，由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】
在△ABE 和△ACD 中，
AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ACD （SAS ），
∴∠B=∠C ，
∵∠C=35︒，
∴∠B=35︒，
∴∠OEC=∠B+∠A=355590︒+︒=︒，
∴∠DOE=∠C+∠OEC=3590125︒+︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考察全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
6．下列说法正确的是（ ）
①近似数232.610⨯精确到十分位；
②在2，()2--，38-，2--中，最小的是38-；
③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为15-+；
④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；
⑤如图，在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4B
解析：B
【分析】 根据近似数的精确度定义，可判断①；根据实数的大小比较，可判断②；根据点在数轴上所对应的实数，即可判断③；根据反证法的概念，可判断④；根据角平分线的性质，可判断⑤．
【详解】
①近似数232.610⨯精确到十位，故本小题错误；
2()22--=382-=-，22--=-38- ③在数轴上点P 所表示的数为110-+
④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角或三个钝角”，故本小题错误；
⑤在ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点，故本小题正确．
故选B
【点睛】
本题主要考查近似数的精确度定义，实数的大小比较，点在数轴上所对应的实数，反证法的概念，角平分线的性质，熟练掌握上述知识点，是解题的关键．
7．下列命题中，假命题是（）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
B．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
C．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
D．一边长相等的两个等腰直角三角形全等D
解析：D
【分析】
根据垂线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，真命题，本选项不符合题意；
B、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真命题，本选项不符合题意；
C、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另一条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等，真命题，本选项不符合题意；
D、有一边相等的两个等腰直角三角形不一定全等，如：一个等腰直角三角形的直角边与另一个等腰直角三角形的斜边相等，这两个等腰直角三角形并不全等，假命题，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．如图，已知∠A=∠D， AM=DN，根据下列条件不能够判定△ABN △DCN的是（）A．BM∥CN B．∠M=∠N C．BM=CN D．AB=CD C
【分析】
利用全等三角形的判断方法进行求解即可．
【详解】
A 、因为 BM ∥CN ，所以∠ABM=∠DCN ，又因为∠A=∠D ， AM=DN ，
所以△ABN ≅△DCN(AAS)，故A 选项不符合题意；
B 、因为∠M=∠N ，∠A=∠D ， AM=DN ，
所以△ABN ≅△DCN(ASA)，故B 选项不符合题意；
C 、BM=CN ，不能判定△ABN ≅△DCN ，故C 选项符合题意；
D 、因为AB=CD ，∠A=∠D ， AM=DN ，
所以△ABN ≅△DCN(SAS)，故D 选项不符合题意．
故选：C ．
【点评】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，
40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：
①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④B
解析：B
【分析】 由SAS 证明AOC BOD ≅得出OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：
AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，得出40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，由AAS 证明OCG ODH ≅（AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分BOC ∠，④正确；由AOB COD ∠=∠，得出当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分
BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM ，由AOC BOD ≅得出COM BOM ，由MO 平分BMC ∠得出∠=∠CMO BMO ，推出COM BOM ≅，得出OB=OC ，OA=OB ，所以OA=OC ，而OA OC >，故③错误；即可得出结论．
∵40AOB COD ∠=∠=︒，
∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠
即AOC BOD ∠=∠
在AOC △和BOD 中
OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴
AOC BOD ≅（SAS ）
∴OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；
∴OAC OBD ∠=∠，
由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，
∴40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；
作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：
则90OGC OHD ∠=∠=，
在OCG 和ODH 中
OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴
OCG ODH ≅（AAS ），
∴OG=OH
∴MO 平分BOC ∠，④正确；
∴AOB COD ∠=∠
∴当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，
假设∠=∠DOM AOM
∵AOC BOD ≅
∴COM BOM ，
∵MO 平分BMC ∠
∴∠=∠CMO BMO ，
在COM 和BOM 中
OCM BOM OM OM
CMO BMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴
COM BOM ≅（ASA ）
∴OB=OC ，
∵OA=OB ，
∴OA=OC ，
与OA OC >矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选：B
【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
10．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）
A ．CD ⊥AD ，BD ⊥AD
B ．CD ＝BD
C ．∠1＝∠2
D ．∠CAD ＝∠B AD C
解析：C
【分析】 在△ACD 和△ABD 中，AD=AD ，AB=AC ，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除不符合题意的选项即可．
【详解】
解：添加A 选项中条件可用HL 判定两个三角形全等，故选项A 不符合题意； 添加B 选项中的条件可用SSS 判定两个三角形全等，故选项B 不符合题意；
添加C 选项中的条件∠1＝∠2可得∠CDA=∠BDA ，结合已知条件不SS 判定两个三角形全等，故选项C 符合题意；
添加D 选项中的条件可用SAS 判定两个三角形全等，故选项D 不符合题意．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，判断直角三角形全等的方法：“HL”．
二、填空题
11．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB
上一点，那么CE长度的最小值是___________．
2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性
质定理求解【详解】解：如图由垂线段最短定理可知：当CE⊥OB时CE的长度最小∵点C在∠AOB的平分线上CD⊥OA∴CE=CD=2故答案为2【点睛】本题是基础题目
解析：2
【分析】
根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解．
【详解】
解：如图，
由垂线段最短定理可知：当CE⊥OB时，CE 的长度最小，
∵点C在∠AOB 的平分线上，CD⊥OA，
∴CE=CD=2，
故答案为2 ．
【点睛】
本题是基础题目，熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理是解题关键．
12．如图所示，在ABC中，D是BC的中点，点A、F、D、E在同一直线上．请添加一≌（不再添其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证个条件，使BDE CDF
明．你添加的条件是______
ED=FD（答案不唯一∠E=∠CFD或∠DBE=∠DCF）【分
析】根据三角形全等的判定方法SAS或AAS或ASA定理添加条件然后证明即可【详解】解：∵D是的中点∴BD=DC①若添加ED=FD在△BD
解析：ED=FD（答案不唯一，∠E=∠CFD或∠DBE=∠DCF）
【分析】
根据三角形全等的判定方法SAS或AAS或ASA定理添加条件，然后证明即可．
【详解】
解：∵D是BC的中点，
∴BD=DC
①若添加ED=FD
在△BDE和△CDF中，
BD CD
BDE CDF ED FD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BDE≌△CDF（SAS）；
②若添加∠E=∠CFD
在△BDE和△CDF中，
BDE CDF
E CFD
BD CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
③若添加∠DBE=∠DCF
在△BDE和△CDF中，
BDE CDF BD CD
DBE DCF ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
故答案为：ED=FD（答案不唯一，∠E=∠CFD或∠DBE=∠DCF）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
13．已知在△ABC中，AB＝9，中线AD＝4，那么AC的取值范围是____1＜AC＜17【分析】作出图形延长AD至E使DE＝AD然后利用边角边证明△ABD和△ECD全等根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE再利用三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边
解析：1＜AC＜17
作出图形，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB ＝CE ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出AC 的取值范围．
【详解】
如图，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，
∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD ＝CD ，
在△ABD 和△ECD 中，
BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△ECD (SAS )，
∴AB ＝CE ，
∵AD ＝4，
∴AE ＝4+4＝8，
∵AC +CE ＞AC ＞CE -AE ，
∴9-8＜AC ＜8+9，
∴1＜AC ＜17，
故答案为：1＜AC ＜17．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
14．已知点A 、E 、F 、C 在同一条直线l 上，点B 、D 在直线l 的异侧，若AB=CD ，AE=CF ，BF=DE ，则AB 与CD 的位置关系是_______．
AB//CD 【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE 然后
根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF 最后根据内错角相等两直线平行即可解答【详解】解：∵AE=CF ∴AE+EF=CF+EF 即AF=EC 在
解析：AB//CD
先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE ，然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF ，最后根据内错角相等、两直线平行即可解答．
【详解】
解：∵AE=CF ，
∴AE+EF=CF+EF,即AF=EC
在△ABF 和△CDE 中，
,,,AB CD AF EC BF DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴△ABF ≌△CDE （SSS ），
∴∠DCE=∠BAF ．
∴AB//CD ．
故答案为：AB//CD ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，运用全等三角形的知识得到∠DCE=∠BAF 成为解答本题的关键．
15．如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且5PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为__．
5【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答【详解】
根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时PM 最小∵OP 平分PD=5∴PM=PD=5故答案为：5【点睛】此题考查角平分线的性质垂线段最短掌握点到直线的所有 解析：5
【分析】
根据角平分线的性质及垂线段最短解答.
【详解】
根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小，
∵OP 平分AOC ∠，PD OA ⊥，PD=5，
∴PM=PD=5，
故答案为：5.
【点睛】
此题考查角平分线的性质，垂线段最短，掌握点到直线的所有连线中垂线段最短是解题的关键.
16．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，BD 平分
ABC
∠．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为______．
3【分析】过D作DE⊥BC于EDE即为
DP长的最小值由题意可以得到△BAD≌△BED从而得到DE的长度【详解】解：如图过D作DE⊥BC于EDE即为DP长的最小值由题意知在△BAD和△BED 中∴△BA
解析：3
【分析】
过D作DE⊥BC于E，DE即为DP 长的最小值，由题意可以得到△BAD≌△BED，从而得到DE的长度．
【详解】
解：如图，过D作DE⊥BC于E，DE即为DP 长的最小值，
由题意知在△BAD和△BED中，
A DEB
ABD EBD BD BD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BAD≌△BED，
∴ED=AD=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键．
17．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是__________．
10【分析】作DH⊥OB于点H根据角平分线的性
质得到DH=DP=5根据三角形的面积公式计算得到答案【详解】解：作DH⊥OB 于点H∵OC是∠AOB的角平分线DP⊥OADH⊥OB∴DH=DP=5∴△OD
解析：10
【分析】
作DH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到DH=DP=5，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：作DH⊥OB于点H，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，
∴DH=DP=5，
∴△ODQ的面积=1
2×OQ×DH=
1
2
×4×5=10；
故答案为：10．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
18．如图，△ACB和△DCE中，AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ADC＝∠BEC，若AB＝17，BD＝5，则S△BDE＝_______．
30【分析】根据∠ACB＝∠DCE＝90°可得∠ACD＝∠BCE利
用三角形全等判定可得△ACD≌△BCE则BE＝AD∠DAC＝∠EBC再证明∠DBE＝90°根据三角形面积计算公式便可求得结果【详解】
解析：30
【分析】
根据∠ACB＝∠DCE＝90°，可得∠ACD＝∠BCE，利用三角形全等判定可得△ACD≌△BCE，
则BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ，再证明∠DBE ＝90°，根据三角形面积计算公式便可求得结果．
【详解】
解：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，
∴∠ACB －∠DCB ＝∠DCE －∠DCB ．
即∠ACD ＝∠BCE ．
∵AC ＝BC ，∠ADC ＝∠BEC ，
∴△ACD ≌△BCE ．
∴BE ＝AD ，∠DAC ＝∠EBC ．
∵∠DAC ＋∠ABC ＝90°，
∴∠EBC ＋∠ABC ＝90°．
∴△BDE 为直角三角形．
∵AB ＝17，BD ＝5，
∴AD ＝AB －BD ＝12．
∴S △BDE ＝12
BD ⋅BE ＝30． 故答案为：30．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，通过分析题意找出三角形全等的条件并能结合全等性质解决相应的计算问题是解题的关键．
19．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；
如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；
如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．
【分析】根据图形得出当有1点D 时有1对全等三角形；
当有2点DE 时有3对全等三角形；当有3点DEF 时有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时图中有个全等三角形即可【详解】解：当有1点D 时有1对全 解析：)(12n n +
【分析】
根据图形得出当有1点D 时，有1对全等三角形；当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n 个点时，图中有)
(12n n +个全等三角形即可．
【详解】
解：当有1点D 时，有1对全等三角形；
当有2点D 、E 时，有3对全等三角形；
当有3点D 、E 、F 时，有6对全等三角形；
当有4点时，有10个全等三角形；
…
当有n 个点时，图中有)
(12n n +个全等三角形．
故答案为：
)(12n n +．
【点睛】 本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．
20．如图，//AD BC ，ABC ∠的角平分线BP 与BAD ∠的角平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ．若9PE =，则两平行线AD 与BC 间的距离为_______．
；【分析】过点P 作MN ⊥AD 根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2PE=PN=2即可得出答案【详解】过点P 作MN ⊥AD ∵AD ∥BC ∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交
解析：18；
【分析】
过点P 作MN ⊥AD ，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE =2，
PE=PN =2，即可得出答案．
【详解】
过点P 作MN ⊥AD
∵AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，PE ⊥AB 于点E ∴AP ⊥BP ，PN ⊥B C
∴PM=PE =9，PE=PN =9
∴MN =9+9=18
故答案为18．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质,根据题意作出辅助线是解决问题的关键．
三、解答题
21．已知：MON α∠=，点P 是MON ∠平分线上一点，点A 在射线OM 上，作180APB α∠=︒-，交直线ON 于点B ，作PC ON ⊥于点C ．
（1）观察猜想：如图1，当90MON ∠=︒时，PA 和PB 的数量关系是______．
（2）探究证明：如图2，当60MON ∠=︒时，（1）中的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请直接写出PA ，PB 之间另外的数量关系．
（3）拓展延伸：如图3，当60MON ∠=︒，点B 在射线ON 的反向延长线上时，请直接写出线段OC ，OA 及BC 之间的数量关系：______．
解析：（1）PA=PB ；（2）成立证明见解析；（3）OA=BC+OC
【分析】
（1）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；
（2）作PD ⊥OM 于点D ，根据角平分线的性质得到PC=PD ，证明△APD ≌△BPC ，根据全等三角形的性质定理证明；
（3）仿照（2）的解法得出△APD ≌△BPC ，从而得出AD=BC ，再根据HL 得出
Rt △OPD ≌△RtOPC ，得出OC=OD ，继而得出结论．
【详解】
（1）作PD ⊥OM 于点D ，
∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，
∴PC=PD ，
∵∠MON=90°，
∴∠APB=90°，∠CPD=90°，
∴∠APD+∠BPD=90°，∠BPC+∠BPD=90°
∴∠APD=∠BPC ，
∵∠PDA=∠PCB=90°，
在△APD 和△BPC 中，
APD BPC PD PC
ADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△APD ≌△BPC （ASA ），
∴AP=BP ．
（2）（1）中的结论还成立
理由如下：如图2，作PD ⊥OM 于点D ，
∵点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，
∴PC=PD ，
∵∠MON=60°，
∴∠APB=120°，
在四边形OCPD 中，∠CPD=360°-90°-90°-60°=120°，
∴∠APD+∠BPD=120°，∠BPC+∠BPD=120°
∴∠APD=∠BPC ，
∵∠PDA=∠PCB=90°，
在△APD 和△BPC 中，
APD BPC PD PC
ADP BCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△APD ≌△BPC （ASA ），
∴AP=BP ．
（3）OA=2BC-OB ．
理由如下：如图3，作PD ⊥OM 于点D ，
同（2），可证△APD ≌△BPC ，
∴AD=BC ，
点P 在∠MON 的角平分线上，且PC ⊥ON 于C ，
∴PC=PD ，
在Rt △OPD 和RtOPC 中，
PC PD OP OP =⎧⎨=⎩
∴Rt △OPD ≌△RtOPC ，
∴OC=OD ，
∴OA-AD=OD=OC ，
∴OA-BC=OC ，
∴OA=BC+OC ．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．
22．如图，在ABC ∆中，90,C ∠=︒点D 在BC 上，过点D 作DE AB ⊥于点,E 点F 是AC 边上一点，连接DF ．若,BD DF CF EB ==，求证：AD 平分BAC ∠．
解析：证明见解析
【分析】
由已知可得RT △DCF ≌RT △DEB ，从而得到DC=DE ，又由已知可得DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，所以由角平分线的判定定理即可得解．
【详解】
证明：由题意可得，在Rt DCF ∆和Rt DEB ∆中，
CF EB BD DF =⎧⎨=⎩
Rt DCF Rt DEB ∴∆≅∆，
DC DE ∴=
90,C ∠=︒
,DC AC ∴⊥
,DE AB ⊥
AD ∴平分BAC ∠．
【点睛】
本题考查角平分线与直角三角形的综合运用，熟练掌握角平分线的判定与直角三角形的判定和性质是解题关键．
23．如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，连接EF ．写出两个结论（∠BAD ＝∠CAD 和DE ＝DF 除外），并选择一个结论进行证明．
（1）____________；
（2）____________．
解析：（1）∠ADE=∠ADF ；证明见解析；（2）AE=AF ；证明见解析．
【分析】
（1）∠ADE=∠ADF ，根据DE ⊥AB ，DF ⊥AC 及AD 为∠BAC 的角平分线，即可证得∠ADE=∠ADF ；
（2）AE=AF ，根据（1）可知证明△AED ≌△AFD ，即可证得AE=AF ．
【详解】
（1）结论1：∠ADE=∠ADF ，证明如下：
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴∠AED=∠AFD=90︒，
∵AD 为∠BAC 的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD ，
∴∠ADE=∠ADF ；
（2）结论2：AE=AF ，证明如下：
由（1）可知：△AED ≌△AFD ，
∴AE=AF ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质解决问题．
24．如图，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，A D ∠=∠，//AB DE ，BE CF =．求证：//AC DF ．
解析：见解析．
【分析】
根据//AB DE 可知B DEF ∠=∠，又根据∠A=∠D ，BE=CF 可以判定ABC DEF △≌△，即可求证//AC DF ；
【详解】
∵//AB DE ，∴B DEF ∠=∠，
∵BE CF =，∴BC EF =，
∴在ABC 和DEF 中，
A D
B DEF B
C EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABC DEF △≌△，
∴ACB F ∠=∠，
∴//AC DF ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定的应用以及两直线平行的判定定理，解此题的关键是
推出ABC DEF △≌△，注意全等三角形的对应边相等；
25．OAB 和ODE 均为等腰三角形，且AOB DOE β∠=∠=，OA OB =，OD OE =，连接AD 、BE ，它们所在的直线交于点F ．
（1）观察发现：如图1，当60β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的
度数是______；
（2）探究证明：如图2，当90β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的
度数是______，根据图2证明你的猜想；
（3）拓展推广：当β为任意角时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______．（用含β的式子表示）
解析：（1）AD BE =，60°；（2）AD BE =，90°，理由见解析；（3）AD BE =，β
【分析】
（1）设AF 交BD 于G ，证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，得到60AFB AOB ∠=∠=︒；
（2）证明AOD BOE ≌△△，推出AD BE =，OAD OBE ∠=∠，根据
OFA DFB ∠=∠及三角形内角和定理即可证得90AFB AOB ∠=∠=︒；
（3）根据（1）与（2）直接得到结论．
【详解】
（1）证明：设AF 交BO 于G ，
∵60AOB DOE ∠=∠=︒，
∴AOB BOD DOE BOD ∠-∠=∠-∠，
即AOD BOE ∠=∠，
∵OA OB =，OD OE =，
∴AOD BOE ≌△△，
∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，
∵
OGA FGB ∠=∠，
∴180180OGA OAD FGB OBE ∠-∠=∠--∠︒-︒，
∴60AFB AOB ∠=∠=︒， 故答案为：AD BE =，60°；
（2）AD BE =，90°
证明：设AF 交BO 于G ，
∵90AOB DOE ︒∠=∠=，
∴AOB BOD DOE BOD ∠+∠=∠+∠，
即AOD BOE ∠=∠，
∵OA OB =，OD OE =，
∴AOD BOE ≌△△，
∴AD BE =，OAD OBE ∠=∠，
∵OGA DGB ∠=∠，
∴90AFB AOB ∠=∠=︒；
故答案为：AD BE =，90°；
（3）证明：由（1）与（2）可得AD BE =，AFB AOB β∠=∠=
故答案为：AD BE =，β．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
26．（教材呈现）数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：
试一试
如图，AOB ∠为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出AOB ∠的平分线.
第一步：在射线OA 、OB 上，分别截取OD 、OE ，使0;OD E =
第二步：分别以点D 和点E 为圆心，适当长(大于线段DE 长的一半)为半径作圆弧，在AOB ∠内，两弧交于点C ；
第三步：作射线OC .射线OC 就是所要求作的AOB ∠的平分线
（问题1）赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是
__________________．
（问题2）小明发现只利用直角三角板也可以作AOB ∠的角平分线，方法如下： 步骤：①利用三角板上的刻度，在OA 、OB 上分别截取OM 、ON ，使OM ON =． ②分别过点M 、N 作OM 、ON 的垂线，交于点P ．
③作射线OP ，则OP 为AOB ∠的平分线．
请根据小明的作法，求证OP 为AOB ∠的平分线．
解析：【问题1】边边边（或SSS ）；【问题2】见解析
【分析】
问题1：根据三角形全等的SSS 定理解答；
问题2：证明Rt △ONP ≌Rt △OMP ，根据全等三角形的性质证明即可．
【详解】
解：问题1：张老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是SSS ， 故答案为：SSS ；
问题2：由作图得：
OM ON =，PN OB ⊥，PM OA ⊥．
∴90PNO PMO ∠=∠=︒．
∴PNO 和PMO △是直角三角形．
∵OP OP =，
∴ONP OMP ≌．
∴AOP BOP ∠=∠．
∴OP 为AOB ∠的平分线．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用及基本作图的知识，同学们注意仔细审题，理解这些作角平分线的方法，按照题目意思解答．
27．如图，AB ⊥CB ，DC ⊥CB ， E 、F 在 BC 上，AF=DE ，BE=CF ，求证：AB =DC ．
解析：见解析
【分析】
由BE ＝CF 得BF ＝CE ，由AB ⊥CB ，DC ⊥CB 得到∠ABF ＝∠DCE ＝90°，然后根据“HL ”可判断Rt ABF ≌Rt DCE ，则AB ＝DC 即可．
【详解】
证明：∵BE ＝CF ，
∴BE +EF ＝CF +EF ，
即BF ＝CE ，
∵AB ⊥CB ，DC ⊥CB ，
∴∠ABF ＝∠DCE ＝90°，
∵在Rt ABF 和Rt DCE 中，
AF DE BF CE =⎧⎨=⎩
， ∴Rt ABF ≌Rt DCE （HL ），
∴AB ＝DC ．
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定与性质：有一组直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等；全等三角形的对应角相等，对应边相等．
28．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b -+，(),0B a ，且
()2
320a b a b +-+-=，C 为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AD AC =，CAD OAB ∠=∠，直线DB 交y 轴于点P ．
（1）求证：AO AB =；
（2）求证：AOC ABD ∆∆≌；
（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不变，理由见解析．
【分析】
（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值，作AE ⊥OB 于点E ，由SAS 定理得出△AEO ≌△AEB ，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先根据∠CAD=∠OAB ，得出∠OAC=∠BAD ，再由SAS 定理即可得出结论； （3）设∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP 的长度不变，故可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵()2
320a b a b +-+-=， ∴30,20,a b a b +-=⎧⎨-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩
∴()1,3A ，()2,0B ．
作AE OB ⊥于点E ，
∵()1,3A ，()2,0B ，
∴1OE =，211BE =-=，在AEO ∆与AEB ∆中，
∵,90,,AE AE AEO AEB OE BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴AEO AEB ∆∆≌，
∴OA AB =．
（2）证明：∵CAD OAB ∠=∠，
∴CAD BAC OAB BAC ∠+=∠+∠∠，即OAC BAD ∠=∠．
在AOC ∆与ABD ∆中，
∵,,,OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴AOC ABD ∆∆≌．
（3）解：点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设AOB α∠=． ∵OA AB =，
∴AOB ABO α∠=∠=．
由（2）知，AOC ABD ∆∆≌，
∴ABD AOB α∠=∠=．
∵2OB =，1801802OBP ABO ABD α∠=︒-∠-∠=︒-为定值，90POB ∠=︒，易知POB ∆形状、大小确定，
∴OP 长度不变，
∴点P 在y 轴上的位置不发生改变．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．。