2021年高考数学一轮总复习专题29数列的概念与通项公式检测文

2021年高考数学一轮总复习专题29数列的概念与通项公式检
测文
本专题专门注意：
1.归纳法求通项
2.项和互化求通项时注意n 的取值
3.累和法求通项的方法
4.累积法求通项的方法
5.递推公式求通项的构造
【学习目标】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.
3.会利用已知数列的通项公式或递推关系式求数列的某项.
4.会用数列的递推关系求其通项公式.
【方法总结】
1.利用通项公式，应用函数思想是研究数列特点的差不多方法之一，应善于运用函数观点认识数列，用函数的图象与性质研究数列性质.
2.给出数列的常见途径有：列举、通项公式和递推关系式.
3.应用公式a n＝
1
1
(1)
(2)
n n
S n
S S n
-
=
⎧
⎨
-≥
⎩是求数列通项公式或递推关系式的常用方法之一，同时
应注意验证a1是否符合一样规律.
【高考模拟】：一、单选题
1．已知数列满足，，，，若恒成立，则的最小值为（）
A． 0 B． 1 C． 2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由，可得，利用裂项相消法可得结果.
【详解】
由题意知，，由，
得，
，
恒成立，，故最小值为，故选D.
【点睛】
裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其缘故是有时专门难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是依照式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）
；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易显现丢项或多项的问题，导致运算结果错误.
2．（2021·保定市一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若数列满足
，且，则（）
A． 2 B． -2 C． 6 D． -6
【答案】C
【解析】
【分析】
是周期数列且周期为，因此，利用题设的函数解析式可求函数值．
【详解】
由可得，
故，因此是周期数列且周期为，
又，
故，故选C．
【点睛】
（1）当从数列的递推关系无法求通项时，能够从先运算数列的若干初始项，找出规律后可得通项（必要时用数学归纳法证明）．
（2）关于奇函数（或偶函数），若已知的解析式，则当的时的解析为（偶函数时为）．
3．已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A．数列的前项和为 B．数列的通项公式为
C．数列为递增数列 D．数列是递增数列
【答案】C
方法二：当n=1时，分别代入A，B，可得A，B错误，当n=2时，a2+5a1（a1+a2）=0，即a2++a2=0，可得a2=
﹣，故D错误，
【详解】
方法一：∵a n+5S n﹣1S n=0，
∴S n﹣S n﹣1+5S n﹣1S n=0，
∵S n≠0，
∴﹣=5，
∵a1=，
∴=5，
∴{}是以5为首项，以5为等差的等差数列，
∴=5+5（n﹣1）=5n，
∴S n=，
当n=1时，a1=，
当n≥2时，
∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣=，
∴a n=，
故只有C正确，
方法二：当n=1时，分别代入A，B，可得A，B错误，
当n=2时，a2+5a1（a1+a2）=0，即a2++a2=0，可得a2=﹣，故D错误，
故选：C．
【点睛】
已知求的一样步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的
表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式. 4．设的三边长分别为，的面积为…，若，
，则（）
A．为递减数列
B．为递增数列
C．为递增数列，为递减数列
D．为递减数列，为递增数列
【答案】B
【解析】
【分析】
由a n+1=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n 中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的
椭圆上，依照b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判定△A n B n C n 的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．
【详解】
b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，
∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，
又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，
由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），
∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，
由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，
又由题意，b n+1﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，
∴b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，
∴，c n=2a1﹣b n=，
∴[][]
=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）
故选：B．
【点睛】
本题要紧考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题.
5．已知数列的首项，满足，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由,两式相加可得，利用“累加法”可得结果.
【点睛】
由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先依照条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的专门数列时用累乘法求通项；（4）构造法.
6．已知是等差数列的前项和，则“对恒成立”是“数列为递增数列”的（）. A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必条件【答案】A
若数列为递增数列，则
当时，，即
故为必要条件
综上所述为充分必要条件。

点睛：本题要紧考查充分必要条件，以及等差数列的通项公式和前n项和公式，由得到即是证明充分性的关键，作差化简
得，是证明必要性的关键，属于中档题。

7．已知数列的任意连续三项的和是18，同时，那么（）
A． 10 B． 9 C． 5 D． 4
【答案】D
【解析】
分析：由题，，可导出.
详解：由题，则
由，可得
，由此可得
.
故
故选D.
点睛：本题考查由数列的递推关系得到数列的有关性质，是基础题.
8．已知数列的通项为，则数列的最大值为（）
A． B． C． D．不存在
【答案】C
故选：C．
点睛：本题考查了数列中项的最值问题、考查了对勾函数的图象与性质，属于基础题．9．已知数列中，，，则等于（）
A． B． C． -1 D． 2
【答案】C
【解析】
【分析】
依照前几项，确定数列的周期，然后求解数列的项．
【详解】
数列{a n}满足，，
可得a2=﹣1，a3=2，a4=，因此数列的周期为3，
=a3×672+2= a2=﹣1，
故选：C．
【点睛】
数列的递推关系是给出数列的一种方法，依照给出的初始值和递推关系能够依次写出那个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；
②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
10．数列…的一个通项公式为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】第一是符号规律：，再是奇数规律，因此，选C.
点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观看(观看规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为专门数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特点；②相邻项的变化特点；③拆项后的特点；④各项的符号特点和绝对值特点；⑤化异为同.关于分式还能够考虑对分子、分母各个击破，或查找分子、分母之间的关系；⑥关于符号交替显现的情形，可用处理.
11．在数列中，若，，则的值
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：由叠加法求得数列的通项公式，进而即可求解的和.
详解：由题意，数列中，，
则，
因此
因此，故选A.
点睛：本题要紧考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运确实是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
12．在数列中，，，，依次运算，，后，猜想的表达式是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：由题意，分别求解出，由此能够猜想，得到数列的表达式.
详解：由题意，数列中，，
因此
由此可估量数列的表达式为，故选A.
点睛：本题要紧考查了数列的递推关系式的应用，其中依照数列的递推关系式，准确求解数列的的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
13．如图所示的三角形数阵满足：其中第一行共有一项是，第二行共有二项是，，第三行共有三项是，，，依此类推第行共有项，若该数阵的第15行中的第5个数是，则（）
A． 105 B． 109 C． 110 D． 215
【答案】B
【解析】分析：由题意，依照三角形数阵的数字的排列规律，利用等差数列的求和公式，可运算得出第14行的最后一个数字，从而求得第15行的第5个数字的值.
详解：由题意，三角形数阵中可知，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行由3个数字，，第行有个数字，
由等差数列的前项和公式可得前共有个数字，
即第14行的最后一个数字为，
因此第15行的第1个数字为，第15行的第5个数字为，故选B.
点睛：本题要紧考查了数表、数阵数列的应用，其中依照数表、数阵数列的数字排列规律，合理利用等差、等比数列的通项公式和前项和公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能，以及转化与化归思想的应用.
14．在数列中，=1，，则的值为（）
A． 512 B． 256 C． 2048 D． 1024
【答案】D
【解析】分析：由，因此是等比数列，因此，公比，列出通项公式求解即可。

详解：，因此是等比数列，公比，通项公式为，
因此，故选D。

点睛：后一项为前一项的常数倍，那么此数列为等比数列。

15．在数列中，，则等于
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：已知逐一求解。

详解：已知逐一求解。

故选D
点睛：关于含有的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观看前面有限项的规律。

16．已知，给出4个表达式：①，②，③，④.
其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是（）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【解析】分析：①②③逐一写出为能够
④逐一写出为排除
详解：①②③逐一写出为能够，④逐一写出为
不满足，故选A。

点睛：分奇数、偶数的摆动数列，我们往往逐一写出前面有限项观看其规律
17．已知数列满足：，.设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范畴是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：由a，可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式；把数列的通项公式代入，结合数列{b n}是单调递增数列，可得且对任意的恒成立，由此求得实数的取值范畴．
详解：∵数满足：，，
化为∴数列是等比数列，首项为，公比为2，
∴，
∵，且数列是单调递增数列，
∴，∴，
解得，由，可得关于任意的*恒成立，，
故答案为：.
故选B.
点睛：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，考查数列的函数特性，是中档题．
18．一给定函数的图象在下列四个选项中，同时对任意，由关系式得到的数列满足.则该函数的图象可能是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，因此在上都成立，
即，，因此函数图象都在的下方.故选D.
19．已知数列的通项为，则数列的最大值为（）
A． B． C． D．不存在
【答案】C
【解析】分析：a n==，而a7==，a8==，比较a7与a8即可得出．
详解：∵a n==，而a7==，a8==，
而a7＜a8，
∴数列{a n}的最大项为a8．
故选：C．
点睛：本题考查了数列中项的最值问题、考查了对勾函数的图象与性质，属于基础题．
20．已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n＋2n，那么a2020的值是( )
A． 2 0182 B．2 019×2 018 C．2 017×2 018 D．2 016×2 017
【答案】C
【解析】分析：先利用累加法求数列的通项，再求a2020的值.
详解：由题得a n＋1-a n=2n，
因此，
因此.
故a2020=2021×2020.
点睛：（1）本题要紧考查数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的把握水平和分析推理能力.(2) 若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累加法”求通项.
21．如图所示的数阵中，用表示第行的第个数，则依次规律为（）
A． B． C． D．
【答案】C
点睛：本题考查了数列中数阵的规律，找出内在规律是本题关键。

22．已知数列满足，，是数列的前项和，则（）
A． B．
C．数列是等差数列 D．数列是等比数列
【答案】B
【解析】分析：由，可知数列隔项成等比，再结合等比的有关性质即可作出判定.
详解：数列满足，，
当时，
两式作商可得：，
∴数列的奇数项，成等比，
偶数项，成等比，
关于A来说，，错误；
关于B来说，
，正确；
关于C来说，数列是等比数列，错误；
关于D来说，数列是等比数列，错误，
故选：B
点睛：本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是隔项成等比数列的方法，注意偶数项的首项与原数列首项的关系.
23．数列的一个通项公式是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：观看数列的前即项可知写为，即可明白答案
详解：”因为数列的前即项可知写为，
则可知其一个通项公式是，也能够通过验证法排除得到选项C。

或者运用递推关系式，累加法得到结论。

故选C。

点晴：解决该试题的关键是明白得给出的前几项与项数之间的关系，然后归纳推理得到结论，表达了数列的归纳猜想思想的运用。

24．数列满足，，则（）
A． 2 B． C． D． -3
【答案】B
【解析】分析：由，得，求出前五项，可发觉是周期为的周期数列，从而可得.
详解：由，得，
由得，，
，
由是周期为的周期数列，
因为，
，故选B.
点睛：本题要紧考查利用递推公式求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）所求项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）所求项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.
25．函数，定义数列如下：，，若给定的值，得到无穷数列满足：对任意正整数，均有，则的取值范畴是（）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：先求必要条件或，再探究充分性，可举反例舍去选项.
详解：由，得，
∴，
∴或，
而时，，因此舍去B,D
时，，，舍去C，选．
点睛：充分、必要条件的三种判定方法．
1．定义法：直截了当判定“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则
是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，关于条件或结论是否定式的命题，一样运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
26．已知数列中，若，则该数列的通项公式（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分析：由a1=2，a n+1=3a n+2，变形为：a n+1+1=3（a n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．
详解：
∵a1=2，a n+1=3a n+2，变形为：a n+1+1=3（a n+1），∴数列{a n+1}是等比数列，公比为3，∴a n+1=3×3n﹣1，即a n=．故答案为：B.
点睛：那个题目考查的是数列通项公式的求法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一样是写出做差得通项，然而这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
27．设，是的前项和.若是递增数列，且对任意，存在，使得.则的取值范畴是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：若等价于，分类讨论的值使其满足不等式。

详解：，，，若是递增数列，因此。

对任意，存在，使得，即是：对任意，存在，使得
，
当时，由题意可知：对任意，存在，成立，，,解不等式无解。

当时，由题意可知：对任意，存在，成立，，，恒成立，故选D。

点睛：关于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：恒成立
1、恒成立，等价于
2、使得成立，等价于
28．大衍数列，来源于《天地谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．要紧用于说明中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…则此数列第20项为
A． 180 B． 200 C． 128 D． 162
【答案】B
【解析】分析：列举法，一一的写出来即可
详解：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60,72,84,98,112，128,144,162,180,200，
点睛：观看数的规律，当数不多时，用列举法，一一的写出来。

，当数比较多时，或是无限项时，先用列举法，一一的写出前面有限项，直到能够观看其规律来为止。

29．已知定义域为正整数集的函数满足，则数列
的前项和为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析：通过求出，再利用等差数列的求和公式即可求得答案. 详解：
当时，有；
当时，有；
当时，有；
…..
.
，
.
故答案为：A.
点睛：本题要紧考查了数列求和以及通项公式的求法，考查运算能力与分析能力，属于中档题.
30．已知，观看下列算式：；
，；若
，则的值为（）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：依照已知中的等式，结合对数的运算性质，可得（），进而得到答案.
详解：∵，∴；
；…
归纳可得：（），
若，则，故选C.
点睛：归纳推理的一样步骤是：（1）通过观看个别情形发觉某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一样性命题（猜想）．
二、填空题
31．已知无穷数列具有如下性质：①为正整数；②关于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，.在数列中，若当时，，当时，，则首项可取数值的个数为__________
【答案】
【详解】
我们用倒推的方式，关于任意的正整数，当为偶数时，；
当为奇数时，.在数列中，
若当时，，则有个；
或4，即2个；
或6或7或8，即4个；
或10或11或12或13或14或15或16，即8个，
…,归纳可得，项可取数值的个数为，故答案为.
【点睛】
本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，以及归纳推理的运用，属于难题. 归纳推理的一样步骤: 一、通过观看个别情形发觉某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一样性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观看，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳要紧包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
32．已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范畴是__________
【答案】
【详解】
要使函数在时单调递减，
，解得，
要使函数在单调递减，
则必须满足，解得，
又函数在时，单调递减，
则，解得，
故实数的取值范畴是，故答案为.
【点睛】
本题考查了利用分段函数的单调性研究数列的单调性，属于难题. 分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最要紧的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致. 33．意大利闻名数学家斐波那契在研究兔子繁育问题时，发觉有如此一列数；，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把如此的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”.
那么是斐波那契数列中的第__________项．
【答案】2021
【解析】
【分析】
利用，结合叠加法，即可得出结论.
【详解】
，
，
，
…
，
，
.
故答案为：2021.
【点睛】
本题考查斐波那契数列，考查叠加法，考查学生的运算能力，属于中档题.
34．已知数列与满足，且，则__________．
【答案】
【解析】分析：令和，得，令，得
①，令，得,②①-②得：
，利用累加求通项即可.
详解：由，
当,；
当,.
由，
令，得：,①令，得：,②
①-②得：
.
从而得：，
，
……
.
上述个式子相加得：. 由①式可得：，得
.
因此.
故答案为：.
点睛：本题要紧考虑数列的递推关系求通项，关键在于找到数列与的隔项特点，属于难题.
35．已知数列：，，，，，，，，，…依照它的前9项的规律，那个数列的第30项为__________．【答案】2.
【解析】分析：观看数列的规律：第大项为，，，由此能够找到那个数列的第30项.
详解：数列可看成
，，
，，，
，，，，
……
以此类推，第大项为，，
完整前大项和为
当时，共27项，
故那个数列的第30项为第8大项中的第3项，即为.
故答案为.
点睛：本题考查归纳推理，解题时要合理分组，探究规律并认真验证，由专门到一样推断出数列的规律
36．已知数列的首项，且，则数列的前项的和为__________．【答案】.
【解析】分析：先证明为等比数列，求得，，利用等比数列求和公式可得结果.
详解：由，得，
为等比数列，，
，，故答案为.
点睛：本题要紧考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先依照条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的专门数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，立即
利用待定系数法构造成的形式，再依照等比数例求出的通项，进而得出的通项公式.
37．.已知数列满足.记，则数列的前项和=__________．【答案】.
【解析】分析：第一从题中所给的递推公式推出数列成等差数列，利用等差数列的通项公式求得
，代入题中的条件，能够求得，能够发觉是由一个等差数列和一个等比数列对应项积所构成的新数列，用错位相减法求和即可得结果.
详解：由得，
因此数列是以为首项，以为公差的等差数列，
因此，即，
记，则
（1），式子两边都乘以2得
（2），两式相减得：
因此，故答案为.
点睛：该题考查的是有关数列求和的问题，涉及的知识点有由倒数型的递推公式通过构造等差数列求得通项公式，以及错位相减法求和，在操作的过程中，需要时刻保持头脑清醒，再者确实是在求和时，涉及到等比数列求和时，一定要分清项数.
三、解答题
38．设数列满足.
（Ⅰ）求及的通项公式;
（Ⅱ）求数列的前项和.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
【分析】
（Ⅰ）分别令可求出，因为是恒等式，故
也成立，两式相减可得，结合前者可得通项.
（Ⅱ）用裂项相消法求数列的前项和.
【详解】
（Ⅰ）令，则.
令，则，故.
，①
时，，②
①②得：.
又时，满足上式，
（Ⅱ）由（Ⅰ）:
【点睛】
数列求和关键看通项的结构形式，假如通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；假如通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；假如通项能够拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；假如通项的符号有规律的显现，则用并项求和法.
39．已知各项都不为零的无穷数列满足: ；
(1)证明为等差数列,并求时数列中的最大项:
(2)若为数列中的最小项,求的取值范畴.
【答案】(1)证明见解析，最大项为.
(2) .
【解析】
(1)由
是等差数列,且公差:
当时,
数列递减数列,最大项为
(2)由(1)知；
当时,数列是正项递增数列,此数列没有最大项,
从而数列中就没有最小项，故；
由数列是递增数列,且是的最小项，
是数列中的最大负项，
从而有
又.
的取值范畴是：.
40．设为数列的前项和，已知.
（1）证明：为等比数列；
（2）求的通项公式，并判定是否成等差数列？
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知可得：a3=7，a3=3a2﹣2，解得a2=3，可得a n=2a n﹣1+1，可得，即可证明．
（2）由（1）知，，可得S n，a n．只要运算n+S n﹣2a n=0即可．
【详解】
（1）证明：∵，∴，
∴，∴，，
∴是首项为2公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，，∴
∴，∴
∴，即成等差数列.
【点睛】
本题考查了等比数列与等差数列的定义通项公式与求和公式，考查了推理能力与运算能力，属于中档题．41．对任意函数，，可按如图所示的程序框图构造一个数列发生器，记由数列发生器产生数列，.
（Ⅰ）若定义函数，且输入，请写出数列的所有项；
（Ⅱ）若定义函数，且输入，求数列的通项公式.
【答案】（1）数列只有三项：，，.
(2）.
【解析】分析：（Ⅰ）把代入可得；把代入可得；把代入可得，即可得到数列的所有项；
（Ⅱ）依照题意，由，求得，又由，化简得，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，即可求解数列的通过公式.
详解：（Ⅰ）函数的定义域，把代入可得；
把代入可得；把代入可得.
因此数列只有三项：，，.
（Ⅱ）的定义域为，若，则，
则，因此，即.
因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，因此，
即数列的通项公式.
点睛：本题要紧考查了数列的递推关系式的应用，以及等比数列的定义及通项公式的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想方法的应用，试题属于中档试题.
42．已知数列满足，它的前项和为，且，.数列满足
，其前项和为，求的最小值.
【答案】-225.
【解析】分析：可得为等差中项，故数列为等差数列，由，，列等式解两个差不多量，得出的通项公式，再由等差数列的前项和公式得出，将看作二次函数得出最小值。

详解：∵，∴，故数列为等差数列.
设数列的首项为，公差为，
由，得：，解得，.
故，则，
令，即，解得，
∵，∴，即数列的前15项均为负值，∴最小.
∵数列的首项是-29，公差为2，∴，
∴数列的前项和的最小值为-225.
点睛：数列中的五个差不多量知三求二。

，灵活应用公式是快速解题的关键。

应用函数的思想，将等差数列的和当作二次型函数对最值进行研究是常
见方法。

43．已知正项数列的前项和满足.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若对任意恒成立，求实数的取值范畴. 【答案】（1）（2）
详解：
（Ⅰ）当时，
当时，
即是以为首项，以1为公差的等差数列，则
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
则
从而
两式相减得
因此
（Ⅲ）由得，则，
当且仅当时，有最大值，∴.
点睛：补充库存数列通项公式的求法，考查错位相减法，考查差不多不等式的应用，是中档题.。