2019高中数学第三章直线与方程单元测试(二)新人教A版必修2

第三章 直线与方程
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知直线l 经过两点()()1,2,2,1P Q -，那么直线l 的斜率为（ ） A ．3-
B ．13-
C ．13
D ．3
2．直线l 过点P (－1,2)，倾斜角为45°，则直线l 的方程为（ ）
A ．x －y ＋1＝0
B ．x －y －1＝0
C ．x －y －3＝0
D ．x －y ＋3＝0
3．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为（ ） A ．－3 B ．－6
C ．3
2
D ．23
4．直线2
x a －2y b ＝1在y 轴上的截距为（ ） A ．|b |
B ．－b 2
C ．b 2
D ．±b
5．已知点A (3,2)，B (－2，a )，C (8,12)在同一条直线上，则a 的值是（ ） A ．0
B ．－4
C ．－8
D ．4
6．如果AB <0，BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
7．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0， 则实数m 的值是（ ）
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．1
8．经过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＝5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是（ ） A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．3x ＋19y ＝0
D ．19x －3y ＝0
9．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0)
B ．(
17，2
7
) C ．(
27，1
7
) D ．(
17，1
14
) 10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（ ） A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0
D ．x ＋2y －3＝0
11．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于（ ） A ．－4
B ．－2
C ．0
D ．2
12．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)， 则点B 的坐标可能是（ ） A ．(2,0)或(4,6)
B ．(2,0)或(6,4)
C ．(4,6)
D ．(0,2)
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为
M (1，－1)，则直线l 的斜率为_________．
14．点A (3，－4)与点B (5,8)关于直线l 对称，则直线l 的方程为_________．
15．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为_________．
16．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°，其中正确
答案的序号是_________．(写出所有正确答案的序号)
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(10分)已知直线l 经过点P (－2,5)且斜率为－3
4，
（1）求直线l 的方程；
（2）若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．
18．(12分)求经过两直线3x －2y ＋1＝0和x ＋3y ＋4＝0的交点，且垂直于直线
x ＋3y ＋4＝0的直线方程．
19．(12分)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，
使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离等于2．
20．(12分)△ABC中，A(0,1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，
AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0．
（1）求直线AB的方程；
（2）求直线BC的方程；
（3）求△BDE的面积．
21．(12分)直线过点P (4
3，2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐
标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件： （1）△AOB 的周长为12； （2）△AOB 的面积为6．
若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．
22．(12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．
（1）若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程； （2）当－2＋3≤k ≤0时，求折痕长的最大值．
2018-2019学年必修二第三章训练卷
直线与方程（二）答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】C
【解析】根据斜率公式可得，直线l的斜率
121
213
k
-
==
--
，故选C．
2．【答案】D
【解析】由题意k＝tan45°＝1，∴直线l的方程为y－2＝1·(x＋1)，即x－y＋3＝0，故选D．
3．【答案】B
【解析】由题意得a·(－1)－2×3＝0，∴a＝－6，故选B．
4．【答案】B
【解析】令x＝0，则y＝－b2，故选B．
5．【答案】C
【解析】根据题意可知k AC＝k AB，即122
83
-
-
＝
2
23
a-
--
，解得a＝－8，故选C．
6．【答案】D
【解析】Ax＋By＋C＝0可化为y＝－A
B
x－
C
B
，由AB<0，BC<0，得－
A
B
>0，－
C
B
>0，
故直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选D．7．【答案】C
【解析】由已知条件可知线段AB的中点(1
2
m
+
，0)在直线x＋2y－2＝0上，
把中点坐标代入直线方程，解得m＝3，故选C．8．【答案】C
【解析】解
340
250
x y
x y
-+=
⎧
⎨
-+=
⎩
得
19
7
3
7
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，即直线l1，l2的交点是(－
19
7
，
3
7
)，由两
点式可得所求直线的方程是3x＋19y＝0，故选C．9．【答案】C 【解析】直线方程变形为k(3x＋y－1)＋(2y－x)＝0，则直线通过定点(
2
7
，
1
7
)．故选C．
10．【答案】D
【解析】将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”：在直线x－2y＋1＝0上取一点P(3,2)，点P关于直线x＝1的对称点P′(－1,2)必在所求直线上，故选D．
11．【答案】B
【解析】因为l的斜率为tan135°＝－1，所以l1的斜率为1，所以k AB＝
()
21
3a
--
-
＝1，解得a＝0．又l1∥l2，所以－
2
b
＝1，解得b＝－2，所以a＋b＝－2，故选B．12．【答案】A
【解析】设B(x，y)，根据题意可得
1
AC BC
k k
BC AC
⋅=-
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
，
即
343
1
303
y
x
--
⎧
⋅=-
⎪--
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＝2
y＝0
或
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＝4
y＝6
，
所以B(2,0)或B(4,6)．故选A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】－
2
3
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
y1＋y2
2
＝－1，又y1＝1，∴y2＝－3，
代入方程x－y－7＝0，得x2＝4，即B(4，－3)，又
x1＋x2
2
＝1，∴x1＝－2，
即A(－2,1)，∴k AB＝
()
31
42
--
--
＝－
2
3
．
14．【答案】x＋6y－16＝0
【解析】直线l就是线段AB的垂直平分线，AB的中点为(4,2)，k AB＝6，
所以k l ＝－16，所以直线l 的方程为y －2＝－1
6(x －4)，即x ＋6y －16＝0．
15．【答案】3 2
【解析】依题意，知l 1∥l 2，故点M 所在直线平行于l 1和l 2，可设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式，得
|m ＋7|2＝|m ＋5|
2
⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|
2＝32．
16．【答案】①⑤
【解析】两平行线间的距离为d ＝|3－1|1＋1＝2，
由图知直线m 与l 1的夹角为30°，l 1的倾斜角为45°，
所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°．
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）3x ＋4y －14＝0；（2）3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0． 【解析】（1）直线l 的方程为：y －5＝－34(x ＋2)整理得3x ＋4y －14＝0．
（2）设直线m 的方程为3x ＋4y ＋n ＝0，
d |3245|
n ⨯-+⨯+＝3，解得n ＝1或－29．
∴直线m 的方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0． 18．【答案】3x －y ＋2＝0．
【解析】解法一：设所求直线方程为3x －2y ＋1＋λ(x ＋3y ＋4)＝0，
即(3＋λ)x ＋(3λ－2)y ＋(1＋4λ)＝0，由所求直线垂直于直线x ＋3y ＋4＝0， 得－13·(－3＋λ3λ－2)＝－1，解得λ＝310，故所求直线方程是3x －y ＋2＝0．
解法二：设所求直线方程为3x －y ＋m ＝0．
由⎩⎪⎨⎪⎧
3x －2y ＋1＝0，x ＋3y ＋4＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－1，
即两已知直线的交点为(－1，－1)．
又3x －y ＋m ＝0过点(－1，－1)，故－3＋1＋m ＝0，m ＝2．
故所求直线方程为3x －y ＋2＝0． 19．【答案】P (1，－4)或P (
277，－8
7
)． 【解析】解法1：设点P (x ，y )．因为|PA |＝|PB |，
① 又点P 到直线l 的距离等于2，所以|4x ＋3y －2|
5＝2．
②
由①②联立方程组，解得P (1，－4)或P (277，－8
7
)．
解法2：设点P (x ，y )．因为|PA |＝|PB |，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上． 由题意知k AB ＝－1，线段AB 的中点为(3，－2)，所以线段AB 的垂直平分线的方程是y ＝x －5，所以设点P (x ，x －5)． 因为点P 到直线l 的距离等于2，所以
()|4352|
5
x x +--＝2，
解得x ＝1或x ＝277，所以P (1，－4)或P (277，－8
7)．
20．【答案】（1）2x －y ＋1＝0；（2）2x －y ＋1＝0；（3）1
10．
【解析】（1）由已知得直线AB 的斜率为2，
∴AB 边所在的直线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0．
（2）由⎩⎪⎨
⎪⎧
2x －y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12，
y ＝2.
即直线AB 与直线BE 的交点为B (1
2
，2)．
设C (m ，n )，则由已知条件得⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋2n －4＝0，2·m 2
＋n ＋1
2－3＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝2，
n ＝1，∴C (2,1)．
∴BC 边所在直线的方程为y －12－1＝x －2
1
2
－2，即2x ＋3y －7＝0．
（3）∵E 是线段AC 的中点，∴E (1,1)．∴|
BE |＝52，
由⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋1＝0，x ＋2y －4＝0
得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝25
，y ＝9
5，
∴D (25，95
)，
∴D 到BE 的距离为d ＝|2×25＋95－3|
22＋12
＝255，∴S △BDE ＝12·d ·|BE |＝1
10． 21．【答案】）存在，3x ＋4y －12＝0．
【解析】设直线方程为x a ＋y
b
＝1(a >0，b >0)，
若满足条件(1)，则a ＋b ＋a 2
＋b 2
＝12 ① 又∵直线过点P (43，2)，∵43a ＋2
b
＝1．
②
由①②可得5a 2
－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝4，
b ＝3，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12
5，b ＝9
2，
∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或5x 12＋2y
9
＝1，
即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0，若满足条件(2)，则ab ＝12，③ 由题意得，43a ＋2
b
＝1，④
由③④整理得a 2
－6a ＋8＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝4，
b ＝3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝6，
∴所求直线的方程为x 4＋y 3＝1或x 2＋y
6＝1，即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0．
综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x ＋4y －12＝0． 22．【答案】（1）y ＝kx ＋k 22＋1
2
；（2）2(6－2)．
【解析】(1)①当k ＝0时，A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝1
2．
②当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为G (a,1)， ∴A 与G 关于折痕所在的直线对称，
有k OG ·k ＝－1⇒1
a
·k ＝－1⇒a ＝－k ，故G 点坐标为(－k,1)，
从而折痕所在直线与OG 的交点坐标(即线段OG 的中点)为M (－k 2，1
2
)．
故折痕所在的直线方程为y －12＝k (x ＋k 2)，即y ＝kx ＋k 2
2＋1
2．
由①②得折痕所在的直线方程为y ＝kx ＋k 22＋1
2．
(2)当k ＝0时，折痕的长为2．
当－2＋3≤k ＜0时，折痕所在直线交直线BC 于点E (2，2k ＋k 22＋1
2)，
交y 轴于点N (0，
k 2＋1
2
)．
则|NE |2＝22
＋[
k 2＋1
2－(2k ＋k 22＋1
2
)]2＝4＋4k 2
≤4＋4(7－43)＝32－163．
此时，折痕长度的最大值为32－163＝2(6－2)． 而2(6－2)＞2，故折痕长度的最大值为2(6－2)．。