1993年全国高考数学试题

一九九三年全国高考数学试题
理科试题
一．选择题：本题共18个小题；每小题3分,共54分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

把所选项前的字母填在题后括号内。

（1）若双曲线实半轴长为2，焦距为6,那么离心率是 ( C ） (A ）
23 （B ）26 （C ）2
3
（D ）2 （2）函数x
tg x
tg y 21212
2+-=的最小正周期是 （ B ) （A ）4π (B)2
π （C ）π （D ）π2 （3）当圆锥的侧面积和底面积的比值是2时，圆锥的轴截面顶角是 （A)450 (B)600 （C)900 （D ）1200 （ C ） （4）当2
1i z --
=时，150100++z z 的值等于 （ D )
(A ）1 （B ）—1 （C)i （D ）—i
(5）直线bx+ay=ab （a 〈0，b<0）的倾斜角是 （ C ） （A ）)(a b arctg - （B ）)(b
a arctg - （C))(a
b arctg --π （D ）)(b
a arctg --π
(6）在直角三角形中两锐角为A 和B ，则sinAsinB ( B ） （A)有最大值21和最小值0 (B ）有最大值2
1，但无最小值 （C ）即无最大值也无最小值 （D ）有最大值1，但无最小值 （7）在各项均为正数的等比数列}{n a 中,若965=a a ,则
2313log log a a +=++103log a （ B ）
（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）5log 23+ （8）)0)(()1
22
1()(≠-+
=x x f x F x
是偶函数,且)(x f 不恒等于零，则)(x f (A ）是奇函数 (B)是偶函数 （ A ） (C ）可能是奇函数也可能是偶函数 (D ）不是奇函数也不是偶函数
（9)曲线的参数方程为⎩⎨⎧≤≤-=+=)50(.
1,
232
2t t y t x ，则曲线是 （ A ) (A ）线段 （B ）双曲线的一支 （C)圆弧 （D)射线
（10）若b a ,是任意实数，且b a >，则 （ D ) (A ）22b a > （B)1<a
b （C ）0)lg(>-b a （D ）b a )2
1()2
1(< （11）已知集合}sin |{},20,sin cos |{θ<θθ=π≤θ≤θ<θθ=tg F E ，那么
F E ⋂为区间 （ A ）
（A ）),2(ππ （B))43,
4(ππ （C ）)23,(ππ （D ）)4
5,43(π
π (12)一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2—8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为 （ C ） （A ）抛物线 （B ）圆 （C)双曲线的一支 （D)椭圆 （13）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是．． （A ）三棱锥 （B ）四棱锥 (C ）五棱锥 (D)六棱锥（ D )
(14)如果圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 （ A )
（A ）π3)6
(l
（B ）π3)3
(l (C ）π3)4
(l （D ）π3)4
(41l
（15）由1003)23(+x 展开所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有 （ B ）
（A ）50项 （B)17项 （C ）16项 （D ）15项
（16）设c b a ,,都是正数,且c b a 643==，那么 （ B ) （A)b a c 111
+= （B ）b a c 122+= （C ）b a c 221+= （D ）b
a c 212+= （17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 （ B ） （A ）6种 (B ）9种 （C ）11种 （D ）23种 （18）已知异面直线
b a 与所成角为500，P 为空间一定点,则过点P 且与b a ,所成的角都是300的直线有且仅有 （ B ） (A ）1条 （B)2条 （C)3条 （D ）4条
二．填空题:本大题共6小题；每小题3分,共18分.把答案填在题中横线上。

（19）抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为34,则焦点到AB 的距离为________________。

［答］：2
(20)在半径为30m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为1200。

若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为________m （精确到0。

1m ）. ［答]:17。

3
（21）在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共_________种（用数字作答）。

［答］:4186
（22）建造一个容积为8m 3,深为2m 的长方体无盖水池。

如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为
_______元. ［答］：1760
（23）设124)(+-=x x x f ,则)0(1-f =__________ ［答］：1
(24)已知等差数列}{n a 的公差d 〉0，首项∑
=+=>n
i i i n a a S a 11
1,1
,0则=∞
→n n S lim ____________
［答]:
d
a 11 三．解答题:本大题共5小题;共48分.解答应写出文字说明、演算步骤。

(25)(本小题满分8分) 解不等式.01
log )5(log 22
2
1>+-+x
x 解：原不等式等价于
⎪⎩⎪
⎨⎧><><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>-.41,0,5.0)]5(41[log ,0,052
1x x x x x x x x 或解得 所以原不等式的解集为}54|{}10|{<<⋃<<x x x x （26）（本小题满分8分）
如图，A 1B 1C 1-ABC 是直三棱柱，过点A 1、B 、C 1的平面和平面ABC 的交线记作L.
(Ⅰ）判定直线A 1C 1和L 的位置关系，并加以证明;
(Ⅱ)若A 1A=1，AB=4，BC=3，∠ABC=900，求顶点A 1到直线L 的距离。

解：(Ⅰ）L ∥A 1C 1证明如下：
根据棱柱的定义知平面A 1B 1C 1和平面ABC 平行。

由题设知直线A 1C 1=平面A 1B 1C 1∩平面A 1BC 1， 直线L=平面A 1B 1C 1∩平面A 1BC 1，
根据两平面平行的性质定理 有L ∥A 1C 1
（Ⅱ）过点A 1作A 1E ⊥L 于E,则A 1E 的长为点A 1到L 的距离.连接AE ， 由直棱柱的定义知 A 1A ⊥平面ABC
∴直线AE 是直线A 1E 在平面ABC 上的射影。

又L 在平面ABC 上，根据三垂线定理的逆定理有AE ⊥L 由棱柱的定义知A 1C 1∥AC ，又L ∥A 1C 1，∴L ∥AC 作BD ⊥AC 于D ，
则BD 是Rt △ABC 斜边AC 上的高,且BD=AE ， 从而5
12
=⨯=
=AC BC AB BD AE 在Rt △A 1AE 中,∵A 1A=1,∠A 1AE=900， ∴.5
132121=
+=A A AE E A 故点A 1到直线L 的距离为
.5
13 （27）(本小题满分10分)
在面积为1的△PMN 中，2,2
1-==tgN tgM 。

建立适当的坐标系，求出
A 1
C 1 B 1 A
D
E L C B
以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程. 解：建立直角坐标系如图：以MN 所在直线为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴
设所求的椭圆方程为122
22=+b
y a x
分别记M 、N 、P 点的坐标为 （—c ，0），(c ，0）和（x 0，y 0) ∵tg α=tg(π—∠N ）=2 ∴由题设知
⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)
(2)
(210000c x y c x y 解得)34,35(343500c c P c y c x 即⎪⎩
⎪⎨⎧
== 在△PMN 中，MN=2c MN 上的高为c 3
4
∴S △PMN =)3
32,635(,23134221P c c c 即=
∴=⨯⨯ 3152)(||2
020=
++=y c x PM 3
15)(||2
020=
+-=y c x PN 32
15)||(|21222=-==+=
∴c a b PN PM a 从而 故所求椭圆方程为13
1542
2=+y x (28）（本小题满分12分）
设复数,2arg ,33||,1)(1),0(sin cos 4
4π
<ω=ω+-=
ωπ<θ<θ+θ=已知z z i z 求θ。

解:θ+θ+θ--θ--=θ+θ+θ-+θ--=ω4sin 4cos 1)
4()4cos(1]
sin [cos 1)]sin()[cos(14
4i i i ,
12
1125,332)2(,26arg ),6sin 6(cos 33,12712,332)1(,033
|2|||)4cos 4(sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222π
=θπ=θ-=θπ
<π=ωπ+π=ωπ
=θπ=θ=θπ<θ<=θ=ωθ+θθ=θ
θ+θθ
θ+θ=或得时当适合题意
得这时都有或得时当故有
tg i tg tg i tg i i
舍去不适合题意得这时都有,,2
611arg ),611sin 611(cos 33π>π=ωπ+π=
ωi .12
712)2(),1(π
=θπ=
θ或可知综合 （29)（本小题满分10分）
已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax+b=0有两个实数根α、β。

证明：（Ⅰ）如果|α｜<2,｜β｜<2,那么2|a|<4+b 且|b|<4;
(Ⅱ）如果2|a|〈4+b 且｜b|<4，那么|α｜〈2，｜β|<2。

证法一：依题意,设二次方程有两个实根βα,,所以判别式
.042≥-=∆b a 不妨取)(2
1
)(21∆+-=β∆--=
αa a (Ⅰ）4||||,2||,2||<αβ=∴<β<αb
b
a b a b a a b a a a b a a a a a +<∴+<<+-++<-+-<-+<∆≤-<∆≤<∆+-∆--<
-4||2),4(48)4(4,
8164,
8164,
40,40.2)(2
1
),(2122222由此得平方得且
（Ⅱ）,4|)|4(2
1||,4||,4||2<+<∴<+<b a b b a
.
2||,2||,22,44.
4,0,)4(168)4||2(44;
042222<β<α<β≤α<-∴<∆+-≤∆--<-±<∆∴≥∆±=+±=--<-=∆>±得得又且a a a a a a a a b a a
证法二:
（Ⅰ）根据韦达定理4||||<αβ=b
因为二次函数b ax x x f ++=2)(开口向上,.2||,2||<β<α 故必有,0)2(>±f
.
4||2.42,024);4(2,024b a b a b a b a b a +<∴+<>+-+->>++
（Ⅱ）由0244||2>+++<b a b a 得
)1(,
0)2(,0222>>++f b a 即
)
2(0
)2(,0)2()2(0
242
>->+-+->+-f b a b a 即及
由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间（—2，2）之内或者在区间（—2，2）之外
若两根α，β均落在（-2,2）之外则与4||||<αβ=b 矛盾
若α（或β）落在（—2，2）外,则由于4||||<αβ=b ,另一根β（或α）必须落在（-2，2)内，则与（1）,（2）式矛盾 综上所述α，β均落在（-2，2）内
.2||,2||<β<α∴
文科试题
一．选择题：本题共18个小题;每小题3分，共54分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

把所选项前的字母填在题后括号内。

（1）若双曲线实半轴长为2，焦距为6，那么离心率是 ( C ） （A ）
23 （B ）26 （C ）2
3
（D ）2 (2）函数x
tg x
tg y 21212
2+-=的最小正周期是 ( B ) （A)4π (B ）2
π （C ）π (D ）π2 (3）当圆锥的侧面积和底面积的比值是2时,圆锥的轴截面顶角是 （A ）450 （B ）600 (C ）900 （D)1200 ( C ) （4)当2
1i z --
=时,150100++z z 的值等于 ( D )
(A ）1 （B)-1 （C ）i (D)-i (5）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是．． （A)三棱锥 （B ）四棱锥 （C)五棱锥 （D)六棱锥 （ D ） （6）在直角三角形中两锐角为A 和B ，则sinAsinB ( B ） (A ）有最大值21
和最小值0 （B)有最大值2
1，但无最小值 （C)即无最大值也无最小值 (D)有最大值1，但无最小值 （7）在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若965=a a ，则
2313log log a a +=++103log a （ B )
（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）5log 23+
（8）)0)(()1
22
1()(≠-+=x x f x F x 是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f （ A ）
（A)是奇函数 （B ）是偶函数
(C ）可能是奇函数也可能是偶函数 (D ）不是奇函数也不是偶函数
（9）设直线032=--y x 与y 轴的交点为P ，点P 把圆25)1(22=++y x 的直径分为两段,则其长度之比为 （ A ） (A)7
33
7或 （B ）7
44
7或 （C ）7
55
7或 （D)7
66
7或
（10)若b a ,是任意实数，且b a >,则 ( D ） (A ）22b a > （B ）1<a
b
（C ）0)lg(>-b a （D ）b a )2
1()2
1(< （11）已知集合}sin |{},20,sin cos |{θ<θθ=π≤θ≤θ<θθ=tg F E ，那么
F E ⋂为区间 ( A ）
（A ）),2(ππ (B ）)43,
4(ππ (C ）)23,(ππ （D ）)4
5,43(π
π (12）一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为 ( C ) （A ）抛物线 （B ）圆 （C ）双曲线的一支 （D ）椭圆 （13）若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限，则 （ D ） （A ）ab>0,bc>0（B)ab 〉0,bc 〈0（C ）ab<0，bc>0 （D ）ab 〈0,bc<0
(14）如果圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 （ A ）
(A ）π3)6
(l
（B ）π3)3
(l （C ）π3)4
(l （D ）π3)4
(41l
（15）由1003)23(+x 展开所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有 （ B ）
（A ）50项 （B ）17项 （C)16项 （D ）15项 （16)设c b a ,,都是正数，且c b a 643==，那么 ( B ） （A ）b a c 111+= （B ）b a c 122+= (C ）b a c 221+= (D ）b
a c 212+= （17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 （ B ) （A)6种 (B ）9种 （C ）11种 （D ）23种
（18）在正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，M 、N 分别为棱A 1A 和B 1B 的中点（如图）。

若θ为直线CM 与D 1N 所成的角，则=θsin （ D ） (A ）91 （B ）3
2 （C)
952 （D ）9
5
4 二．填空题：本大题共6小题;每小题3分，共18分.把答案填在题中横线上.
（19）抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为34,则焦点到AB 的距离为________________。

[答]：2
（20）在半径为30m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为1200。

若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为________m （精确到0.1m ）。

［答]：17.3
（21)在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共_________种（用数字作答）. ［答］：4186
D 1 C 1 A 1 B 1 M N D C A B
(22)建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池。

如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为_______元。

［答］：1760
（23）设124)(+-=x x x f ，则)0(1-f =__________ ［答］:1
（24）设=+->++∞→1
1
11lim
,1n n n a a a 则____________ ［答］：—1
三．解答题:本大题共5小题；共48分.解答应写出文字说明、演算步骤。

（25）（本小题满分8分） 解方程.1)3lg()264lg(2=---+x x x
解:原方程可化为,10lg 326
4lg
2=--+x x x 53;53103
26
4212+=-==--+x x x x x 解得
5
3,,53053,53:+=+=<-=--=x x x x 所以原方程的根是满足方程时所以是增根时检验
（26）（本小题满分8分)
已知数列 ,)
12()12(8,5328,31182
22222+-⋅⋅⋅⋅n n n
S n 为其前n 项和，计算得.81
80,4948,2524,9
8
4321===
=S S S S 观察上述结果,推测出计算S n 的公式，并用数学归纳法加以证明。

解:)()
12(1
)12(2
2N n n n S n ∈+-+= 证明如下：
(1）当n=1时，,98
3
13221=-=S 等式成立。

（2）设n=k 时等式成立，即2
2)12(1
)12(+-+=k k S k 2
22222
22
2
22222
21)32()12()1(8)32()32()12()32()12()
1(8)32](1)12[()32()12()1(8)12(1)12()32()12()1(8+++++-++=
+++++-+=
++++
+-+=++++
=+k k k k k k k k k k k k k k k k k k k S S k k 则
2
2222222]1)1(2[1]1)1(2[)32(1)32()32()12()12()32)12(++-++=
+-+=
+++-++=
k k k k k k k k k
由此可知,当n=k+1时等式也成立
根据（1），（2）可知，等式对任何N n ∈都成立。

（27）（本小题满分10分）
如图,A 1B 1C 1-ABC 是直三棱柱，过点A 1、B 、C 1的平面和平面ABC 的交线记作L 。

(Ⅰ)判定直线A 1C 1和L 的位置关系,并加以证明;
（Ⅱ)若A 1A=1，AB=4，BC=3,∠ABC=900,求顶点A 1到直线L 的距离. 解：（Ⅰ）L ∥A 1C 1证明如下： 根据棱柱的定义知 平面A 1B 1C 1和平面ABC 平行。

由题设知直线
A 1C 1=平面A 1
B 1
C 1∩平面A 1BC 1,
直线L=平面A 1B 1C 1∩平面A 1BC 1，根据两平面平行的性质定理 有L ∥A 1C 1
（Ⅱ）过点A 1作A 1E ⊥L 于E ，则A 1E 的长为点A 1到L 的距离.连接AE ，由直棱柱的定义知A 1A ⊥平面ABC
∴直线AE 是直线A 1E 在平面ABC 上的射影。

又L 在平面ABC 上，根据三垂线定理的逆定理有AE ⊥L 由棱柱的定义质A 1C 1∥AC ，又L ∥A 1C 1，∴L ∥AC 作BD ⊥AC 于D ，
则BD 是Rt △ABC 斜边AC 上的高,且BD=AE ， 从而5
12
=⨯=
=AC BC AB BD AE 在Rt △A 1AE 中，∵A 1A=1，∠A 1AE=900， ∴.5
132121=
+=A A AE E A 故点A 1到直线L 的距离为
.5
13 （28）（本小题满分10分）
在面积为1的△PMN 中，2,2
1
-==tgN tgM .建立适当的坐标系，求
A 1
C 1 B 1 A
D
E L C B
出以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程。

解：建立直角坐标系如图：
以MN 所在直线为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴
设所求的椭圆方程为122
22=+b
y a x
分别记M 、N 、P 点的坐标为 （-c,0），（c ，0）和(x 0,y 0) ∵tg α=tg(π—∠N ）=2 ∴由题设知
⎪⎩⎪⎨⎧
-=+=)
(2)
(2
10000c x y c x y 解得)34
,35(343500c c P c y c x 即⎪⎩
⎪⎨⎧== 在△PMN 中，MN=2c MN 上的高为c 3
4
∴S △PMN =)3
32,635(,23134221P c c c 即=
∴=⨯⨯ 3152)(||2
020=
++=y c x PM 3
15)(||2
020=
+-=y c x PN 32
15)||(|21222=-==+=
∴c a b PN PM a 从而 故所求椭圆方程为13
1542
2=+y x （29）（本小题满分12分）
Y
设复数,2arg ,33||,1)(1),0(sin cos 4
4π
<ω=ω+-=ωπ<θ<θ+θ=已知z
z i z 求θ. 解：θ+θ+θ--θ--=θ+θ+θ-+θ--=ω4sin 4cos 1)
4()4cos(1]
sin [cos 1)]sin()[cos(14
4i i i )4cos 4(sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 22
2θ+θθ=θ
θ+θθ
θ+θ=i tg i i ,
12
1125,332)2(,26arg ),6sin 6(cos 33,
12
712,332)1(,033
|2|||π
=θπ=θ-=θπ
<π=ωπ+π=ωπ
=θπ=θ=θπ<θ<=
θ=ω或得时当适合题意
得这时都有或得时当故有tg i tg tg
.
12712)2(),1(,,2611arg ),611sin 611(cos 33π
=θπ=θπ>π=ωπ+π=
ω或可知综合舍去不适合题意得这时都有i
新科目组“3＋2”（理科)
（注：新科目组即“3+2”考试，当年由北京、湖北、贵州、湖南、云南、海南六省市
采用）
考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分。

第Ⅰ卷(选择题共68分）
一．选择题：本题共17个小题；每小题4分,共68分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）函数f （x)=sinx+cosx 的最小正周期是 （ A ） （A ）π2 （B)π22 （C)π (D ）4
π
(2）如果双曲线的焦距为6,两条准线间的距离为4，那么双曲线的离
心率为 （ C ） (A ）2
3 （B ）
23 （D ）2
6
（D ）2 （3）和直线3x —4y+5=0关于x 轴对称的直线的方程为 （ B ) （A ）3x+4y-5=0（B ）3x+4y+5=0（C ）-3x+4y-5=0(D ）-3x+4y+5=0
（4）极坐标方程θ
-=
ρcos 534
所表示的曲线是 （ B ）
（A ）焦点到准线距离为54
的椭圆
(B)焦点到准线距离为54
的双曲线右支
（C ）焦点到准线距离为34
的椭圆
（D ）焦点到准线距离为3
4
的双曲线右支
（5）5
3
x y =在[—1,1]上是 （ A ） (A ）增函数且是奇函数 （B ）增函数且是偶函数 （C ）减函数且是奇函数 (D)减函数且是偶函数
（6）5
21
5lim 22+--∞→n n n n 的值为 （ D ） （A ）5
1
- （B)2
5
- (C)51 （D ）25
(7）集合},2
2|{},,42|{Z k k x x N Z k k x x M ∈π
+π==∈π+π==,则（ C ）
（A ）M=N （B ）M ⊃N (C ）M ⊂N （D ）M ⋂N=φ
（8）︒︒+︒︒50sin 10sin 70cos 20sin 的值是 （ A ） （A ）4
1 （B)
23 （C ）2
1
（D ）43 （9）参数方程)20().
sin 1(21
|,2sin 2cos |π<θ<⎪⎩
⎪⎨
⎧θ+=θ+θ=y x 表示 （ B ）
(A ）双曲线的一支,这支过点)2
1
,1( （B)抛物线的一部分，这部分过点)2
1,1( （C)双曲线的一支，这支过点)2
1,1(- （D ）抛物线的一部分，这部分过点)2
1,1(-
(10）若b a ,是任意实数，且b a >，则 （ D ） （A)22b a > （B ）1<a b (C ）0)lg(>-b a （D)22)2
1()21(> (11）一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为 ( C ) （A ）圆 (B ）椭圆 (C ）双曲线的一支 （D)抛物线 （12)圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 （A)π3)6(l （B ）π3)3(l (C)π3)4(l （D ）π3)4
(41l （ A ) （13）54)1()1(-+x x 展开式中4x 的系数为 （ D ） （A)—40 （B ）10 (C ）40 （D ）45
（14)直角梯形一个内角为450,下底长为上底长的2
3，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积为π+)25(,则旋转体的体积为 （ D ) （A)π2 （B ）
π+324 （C ）π+325 （D ）π3
7
(15）已知821,,,a a a 为各项都大于零的等比数列，公比1≠q ，则 （ A ）
（A ）5481a a a a +>+ （B ）5481a a a a +<+ (C ）5481a a a a +=+
（D ）5481a a a a ++和的大小关系不能由已知条件确定
（16)设有如下三个命题：
甲：相交两直线m l ,都在平面α内,并且都不在平面β内。

乙：m l ,之中至少有一条与β相交。

丙：α与β相交。

当甲成立时 ( C ) （A ）乙是丙的充分不必要的条件 (B)乙是丙的必要而不充分的条件 （C ）乙是丙充分且必要的条件
（D ）乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件
（17)将数字1,2，3，4填入标号为1，2,3，4的四个方格里,每格填
一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 ( B ）
（A ）6种 （B)9种 （C)11种 (D ）23种
第Ⅱ卷（非选择题共82分)
二．填空题:本大题共6小题;每小题4分，共24分。

把答案填在题中横线上。

（18）=+)3
1arccos 21sin(arccos ________________. [答]：
6
3
22+ （19）若双曲线11492222
22=+=-y x k
y k x 与圆没有公共点,则实数k 的取值
范围为____________. [答］：}3
1|||{>k k
（20）从1,2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有_________种取法(用数字作答)。

[答]:100
（21）设124)(+-=x x x f ，则)0(1-f =__________ [答］：1
（22）建造一个容积为8m 3,深为2m 的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低造价为_______元。

[答]:1760
（23)如图，ABCD 是正方形,E 是AB 的中点，如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起,使AE 和BE 重合,记A 和B 重合后的点为P ，则面PCD 与面ECD 所成的二面角为_______度. ［答]：30
三．解答题：本大题共5小题；共58分。

解答应写出文字说明、演算步骤。

(24）（本小题满分12分） 已知).1,0(11log )(≠>-+=a a x
x
x f a
（Ⅰ）求)(x f 的定义域;
（Ⅱ)判断)(x f 的奇偶性并予以证明; （Ⅲ）求使)(x f ＞0的x 取值范围。

D C D C
P A B E E
解：（Ⅰ)由对数函数的定义域知011>-+x
x
如果;11,
01,
01<<-⎩⎨
⎧>->+x x x 则
如果.,01,01则不等式组无解⎩
⎨⎧<-<+x x
故)(x f 的定义域为（-1，1） （Ⅱ）),(11log 11log )(x f x
x
x x x f a a
-=-+-=+-=- )(x f ∴为奇函数
（Ⅲ）（i ）对)1(,111011log ,1>-+>-+>x
x
x x a a
等价于
而从（Ⅰ)知,01>-x 故（1）等价于x x ->+11又等价于0>x 故对)1,0(,1∈>x a 当时有)(x f >0 (ii)对)2(,1110011log ,10<-+<>-+<<x
x x x a a
等价于
而从(Ⅰ)知,01>-x 故（2）等价于01<<-x 。

故对)0,1(,10-∈<<x a 当时有)(x f ＞0. （25）（本小题满分10分)
已知数列 ,)12()12(8,5328,31182
22222+-⋅⋅⋅⋅n n n
S n 为其前n 项和，计算得.81
80
,4948,2524,9
8
4321===
=S S S S 观察上述结果，
推测出计算S n 的公式，并用数学归纳法加以证明。

解：)()
12(1
)12(2
2N n n n S n ∈+-+= 证明如下：
（1)当n=1时，,98
3
13221=-=S 等式成立.
（2）设n=k 时等式成立，即2
2)
12(1
)12(+-+=k k S k 2
21)32()12()
1(8++++
=+k k k S S k k 则
2222)32()12()
1(8)12(1)12(++++
+-+=k k k k k 2
222)32()12()
1(8)32](1)12[(+++++-+=k k k k k 2
2222)32()12()
1(8)32()32()12(+++++-++=
k k k k k k 2
2222222]1)1(2[1]1)1(2[)32(1)32()32()12()12()32)12(++-++=
+-+=
+++-++=
k k k k k k k k k
由此可知，当n=k+1时等式也成立
根据（1），(2）可知,等式对任何N n ∈都成立。

（26）（本小题满分12分）
已知：平面βα=β⋂α,a 直线平面同垂直于平面γ，又同平行于直线b .求证：（Ⅰ）γ⊥a ;
（Ⅱ）γ⊥b .
证：(Ⅰ）
设AC AB =γ⋂β=γ⋂α 作直线PM ⊥
在γ内任取一点P 并于γ内AB,PN ⊥AC
.,,a PM a PM ⊥∴α⊂α⊥∴α⊥γ而
a α β 2a 1a
b Q A M B γ N P C
同理a PN ⊥
又γ⊥∴γ⊂γ⊂a PN PM ,,
（Ⅱ）于a 上任取一点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线1a ，交β于直线2a 。

.//,//1a b a b ∴
同理.//2a b
,,21b Q a a 且平行于同过 ,,.,2121β⊂α⊂∴a a a a 又重合
21,a a ∴都是βα,的交线，即都重合于a γ⊥∴γ⊥∴b a a b a b ,.//,//1而
（27）（本小题满分12分）
在面积为1的△PMN 中，2,2
1-==tgN tgM .建立适当的坐标系，求出以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程。

解:建立直角坐标系如图： 以MN 所在直线为x 轴， 线段MN 的垂直平分线为y 轴
设所求的椭圆方程为122
22=+b
y a x
分别记M 、N 、P 点的坐标为 (—c ，0），（c ，0)和（x 0,y 0） ∵tg α=tg （π-∠N ）=2 ∴由题设知
Y
⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)
(2)
(210000c x y c x y 解得)34,35(343500c c P c y c x 即⎪⎩
⎪⎨⎧
== 在△PMN 中，MN=2c MN 上的高为c 3
4
∴S △PMN =)3
32,635(,23134221P c c c 即=
∴=⨯⨯ 3152)(||2
020=
++=y c x PM 3
15)(||2
020=
+-=y c x PN 3
215)||(|21222=-==+=
∴c a b PN PM a 从而 故所求椭圆方程为13
1542
2=+y x (28）(本小题满分12分）
设复数,2arg ,33||,1)(1),0(sin cos 4
4π
<ω=ω+-=
ωπ<θ<θ+θ=已知z z i z 求θ。

解：θ+θ+θ--θ--=θ+θ+θ-+θ--=ω4sin 4cos 1)
4()4cos(1]
sin [cos 1)]sin()[cos(14
4i i i )4cos 4(sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 22
2θ+θθ=θ
θ+θθ
θ+θ=i tg i i ,
12
1125,332)2(,26arg ),6sin 6(cos 33,
12
712,332)1(,033
|2|||π
=θπ=θ-=θπ
<π=ωπ+π=ωπ
=θπ=θ=θπ<θ<=
θ=ω或得时当适合题意
得这时都有或得时当故有tg i tg tg
.
12712)2(),1(,,2611arg ),611sin 611(cos 33π
=θπ=θπ>π=ωπ+π=
ω或可知综合舍去不适合题意得这时都有i
新科目组“3＋2”（文科）
第Ⅰ卷(选择题共68分)
一．选择题:本题共17个小题；每小题4分,共68分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）函数f(x)=sinx+cosx 的最小正周期是 （ A ） （A)π2 (B ）π22 （C ）π （D ）4
π
（2）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4,那么双曲线的离心率为 ( C ） （A ）2
3
（B ）
23 （D)2
6
（D ）2 （3）和直线3x —4y+5=0关于x 轴对称的直线的方程为 （ B ） （A ）3x+4y —5=0(B ）3x+4y+5=0（C)—3x+4y —5=0（D ）-3x+4y+5=0 （4）32121232++--+++n n n n i i i i 的值为 （ B ） （A ）-2 (B ）0 （C ）2 （D ）4
（5）5
3
x y =在[-1，1]上是 （ A ) (A ）增函数且是奇函数 (B ）增函数且是偶函数 （C ）减函数且是奇函数 (D ）减函数且是偶函数
（6)5
21
5lim 22+--∞→n n n n 的值为 ( D ）
（A ）5
1
- (B)2
5
- （C ）51 (D)25
（7）集合},2
2|{},,42|{Z k k x x N Z k k x x M ∈π
+π==∈π+π==，则（ C )
(A)M=N （B)M ⊃N （C ）M ⊂N （D ）M ⋂N=φ
（8）︒︒+︒︒50sin 10sin 70cos 20sin 的值是 （ A ） （A ）4
1 （B ）
23 （C ）2
1
(D)43 （9）圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是 (A)6 (B ）4 （C ）5 （D ）1 （ B ) (10)若b a ,是任意实数，且b a >，则 ( D ） （A ）22b a > （B ）1<a b (C)0)lg(>-b a （D)22)2
1()21(>
(11）一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为 （ C ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D)抛物线 （12）圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 （A ）π3)6(l （B ）π3)3(l （C ）π3)4(l （D ）π3)4
(41l ( A ） (13）54)1()1(-+x x 展开式中4x 的系数为 （ D ） (A)—40 （B ）10 (C)40 （D)45
（14）直角梯形一个内角为450,下底长为上底长的2
3，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积为π+)25(，则旋转体的体积为 （ D ） （A ）π2 （B ）
π+324 （C)π+325 （D)π3
7
(15）已知821,,,a a a 为各项都大于零的等比数列，公比1≠q ，则
（ A ）
(A ）5481a a a a +>+ （B ）5481a a a a +<+ （C ）5481a a a a +=+
（D)5481a a a a ++和的大小关系不能由已知条件确定 （16）设有如下三个命题：
甲：相交两直线m l ,都在平面α内，并且都不在平面β内。

乙：m l ,之中至少有一条与β相交。

丙：α与β相交。

当甲成立时 （ C ） (A ）乙是丙的充分不必要的条件 （B ）乙是丙的必要而不充分的条件 （C ）乙是丙充分且必要的条件
(D ）乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件
（17）将数字1，2，3，4填入标号为1,2，3,4的四个方格里，每格
填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 （ B )
(A ）6种 （B ）9种 （C)11种 (D)23种
第Ⅱ卷（非选择题共82分)
二．填空题：本大题共6小题;每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上。

(18）设1>a ，则=+-++∞→1
1
11lim
n n n a a ________________.
[答］：2a -
（19）若双曲线11492222
22=+=-y x k
y k x 与圆没有公共点，则实数k 的取
值范围为____________. [答］:}3
1|||{>k k
（20）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有_________种取法（用数字作答）。

［答]：100
(21)设124)(+-=x x x f ，则)0(1-f =__________ [答］：1
（22)建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池。

如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为_______元. ［答］：1760
（23）如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起,使AE 和BE 重合，记A 和B 重合后的点为P,则面PCD 与面ECD 所成的二面角为_______度。

［答]：30
三．解答题:本大题共5小题；共58分.解答应写出文字说明、演算步骤。

（24）（本小题满分10分）
D C
D C P A B
E E
求︒+︒40sin 420tg 的值。

解：︒+︒40sin 420tg
︒︒+︒=
︒
︒
︒+︒=
20cos 40sin 220sin 20cos 20cos 20sin 420sin
︒
︒
+︒+︒=
20cos 40sin )40sin 20(sin
.360sin 220cos 20cos 60sin 220cos 40sin 80sin 20cos 40sin )10cos 30sin 2=︒=︒︒︒=
︒
︒+︒=
︒
︒
+︒︒=
（25）（本小题满分12分）
已知).1,0(11log )(≠>-+=a a x
x
x f a
(Ⅰ）求)(x f 的定义域;
(Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性并予以证明; （Ⅲ）求使)(x f ＞0的x 取值范围。

解:（Ⅰ）由对数函数的定义域知011>-+x
x
如果;11,01,
01<<-⎩
⎨⎧>->+x x x 则
如果.,
01,
01则不等式组无解⎩⎨
⎧<-<+x x
故)(x f 的定义域为（—1，1） （Ⅱ）),(11log 11log )(x f x
x
x x x f a a
-=-+-=+-=- )(x f ∴为奇函数
（Ⅲ）(i)对)1(,111011log ,1>-+>-+>x
x
x x a a
等价于
而从(Ⅰ）知,01>-x 故（1)等价于x x ->+11又等价于0>x 故对)1,0(,1∈>x a 当时有)(x f 〉0 （ii)对)2(,1110011log ,10<-+<>-+<<x
x x x a a
等价于
而从(Ⅰ）知,01>-x 故（2）等价于01<<-x . 故对)0,1(,10-∈<<x a 当时有)(x f ＞0. （26）（本小题满分12分）
已知数列 ,)12()12(8,5328,31182
22222+-⋅⋅⋅⋅n n n
S n 为其前n 项和，计算得.81
80,4948,2524,9
8
4321===
=S S S S 观察上述结果,推测出计算S n 的公式,并用数学归纳法加以证明.
解：)()
12(1
)12(2
2N n n n S n ∈+-+= 证明如下：
(1）当n=1时，,98
3
13221=-=S 等式成立.
（2）设n=k 时等式成立,即2
2)
12(1
)12(+-+=k k S k 2
21)
32()12()
1(8++++
=+k k k S S k k 则 2
222)32()12()
1(8)12(1)12(+++++-+=k k k k k 2222)32()12()
1(8)32](1)12[(+++++-+=
k k k k k 2
2222)
32()12()
1(8)32()32()12(+++++-++=k k k k k k
222
22
222]1)1(2[1]1)1(2[)32(1)32()32()12()12()32)12(++-++=+-+=+++-++=k k k k k k k k k
由此可知，当n=k+1时等式也成立 根据(1），(2）可知，等式对任何N n ∈都成立。

(27)(本小题满分12分）
已知:平面βα=β⋂α,a 直线平面同垂直于平面γ，又同平行于直线b 。

求证：（Ⅰ）γ⊥a ；
(Ⅱ）γ⊥b 。

证：（Ⅰ）设AC AB =γ⋂β=γ⋂α 在γ内任取一点P 并于γ内作直线PM ⊥AB ，PN ⊥AC .,,a PM a PM ⊥∴α⊂α⊥∴α⊥γ而
同理a PN ⊥
又γ⊥∴γ⊂γ⊂a PN PM ,,
（Ⅱ）于a 上任取一点Q ，过
b 与Q 作一平面交α于直线1a ,
交β于直线2a 。

.//,//1a b a b ∴ 同理.//2a b
,,21b Q a a 且平行于同过
,,.,2121β⊂α⊂∴a a a a 又重合
21,a a ∴都是βα,的交线，即都重合于a a α β 2a 1a b Q A M B γ N P C
γ⊥∴γ⊥∴b a a b a b ,.//,//1而
（28）（本小题满分12分）
在面积为1的△PMN 中,2,2
1
-==tgN tgM .建立适当的坐标系，求出以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程。

解：建立直角坐标系如图： 以MN 所在直线为x 轴， 线段MN 的垂直平分线为y 轴 设所求的椭圆方程为12222=+b y a x
分别记M 、N 、P 点的坐标为
(-c ，0）,（c,0）和(x 0，y 0）
∵tg α=tg(π—∠N ）=2
∴由题设知
⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)(2)(210000c x y c x y 解得)3
4,35(34
35
00c c P c y c
x 即⎪⎩⎪⎨
⎧
== 在△PMN 中,MN=2c MN 上的高为c 34
∴S △PMN =)33
2,635(,23
134221
P c c c 即=∴=⨯⨯
315
2)(||2
020=++=y c x PM
315
)(||2020=+-=y c x PN
3
215
)||(|21
222=-==+=∴c a b PN PM a 从而
Y
故所求椭圆方程为13
1542
2=+y x。