43分部积分法

1．求下列不定积分：
⑴ xsin xdx ；
【解】被积函数为两不同类型函数的乘积， 可以考虑套用分部积分公式，
应将乘积中的 sinx 作为先积分部份，得
x sin xdx xd( cosx)
⑵ arcsin xdx ；
【解】被积函数已经具有 udv 的结构，可以考虑直接套用分部积分公式， 得
arcsin xdx x arcsin x xd arcsinx
整理
x arcsinx 1 x 2 c
⑶ xln(x 1)dx ；
【解】被积函数为两不同类型函数的乘积， 可以考虑套用分部积分公式，
乘积中有不可独立积分的 ln(x 1) ，则应将另一部份 x 作为先积分部份，得
si nxdx cosx c
xcosx cos xdx -- udv uv vdu
xcosx sinx c
cosxdx si nx c
--- d(1 x 2 ) 2xdx
--- udv uv vdu
x arcsin x
x arcsin x
e x cosx e x dcosx
-- udv uv vdu
⑷ xe x dx ；
应将乘积中的 e x 作为先积分部份，得
xe x dx
xd( e x )
(x 1)e x c
⑸ e x cosxdx ；
xln(x 1)dx ln(x 1)d 1x 2
xdx
1
2 2
2
x
1
x 2 ln(x 1) 1 x 2dln(x 1)
-- udv uv vdu
21 dx x1 1 1 2 1 2
x ln(x 1) x 22
1 2 1
x 2 ln(x 1) (x 1 )dx 2 2 x 1
-- 整理
- 化假分式为多项式 +真分式
1 2 1 1 2
x 2 ln(x 1) ( x 2 x ln x 1) c 1
1
1 (x
2 1)ln( x 1)
x 2 x c 2
4 2
解】被积函数为两不同类型函数的乘积， 可以考虑套用分部积分公式，
e x dx e
x
c
xe
x e
x
dx
--- udv
uv vdu xx
xe e c
--- e x dx
e x c
解】被积函数为两不同类型函数的乘积， 可以考虑套用分部积分公式，
解法一】将乘积中的 e x 作为先积分部份，
得
e x
dx
c
e x cosx [ e x sinx e x dsinx] ----------------- udv uv vdu
e x (sin x cosx) e x cosxdx dsi nx coxsdx
即有 e x cosxdx e x (sin x cosx) e x cosxdx 移项、整理得 2 e x cosxdx e x (sin x cosx)
x
1 x
整理得积分结果 e x c o sxdx
e x ( sxi n xcosc )
2
解法二】将乘积中的 cosx 作为先积分部份，得
e x cosxdx e x dsinx --------------------------- cosxdx si nx c
e x sinx sin xde x ----------------------- udv uv vdu
e x sinx ( e x )sin xdx -------------------- de x e x dx
e x sinx e x ( cosx) ( cosx)de x
e x (sin x cosx) ( cosx)( e x )dx ------------------- de x e x dx
e x cosx e x sin xdx
--- dcosx si nxdx
e x cosx sin xd( e x )
e x dx e
x
c
e x sinx e x d( cosx)
si nxdx cosx c
-- udv uv vdu
e x (sin x cosx) e x cosxdx ---------------- 整理
即有 e x cosxdx e x (sin x cosx) e x cosxdx 将右边的积分项移到左边， 整理得 2 e x
c o xsdx e x ( sxi n xcos
最后得积分结果
x
1 x
e x cosxdx e x (sxi n xcosc )
2
2
⑹ x arctanxdx ；
【解】被积函数为两不同类型函数的乘积， 可以考虑套用分部积分公式，
乘积中有不可独立积分的 arctanx ，则应将另一部份 x 2 作为先积分部份，得
2 1 3
x 2dx I 3
x II
1 3 1 x 3
1x 3
arctanx 13
(x 1
x x
2)dx 化假分式为多项式 +真分式
1 3 1 1
2 x 13
x 3
arctanx 3
1(12
x 2 1
x x
2 dx) ----------------------- 分别积分
1 3 1 1
2 1 1 2 2
x 3 arctanx [ x 2
2
d(1 x 2)] d(1 x 2 ) 2xdx
I 3 1 2 1 2
13
x 3
arctanx 6
1x 2 16
ln(1 x 2) c II 3 2 2 1 x 2
x 2 arctan xdx
arctanxd 1x 3
3
-- udv uv vdu
1x 3
arctanx 33
1
x 3
1
2 dx
1 x
2
1
-- dar ctaxn 2 dx
1 x
2
1x 3
arctanx 1[1 x 2 3 3 2
1
ln(1 x 2)] c
--- du ln u c u
1x 3
arctanx 3
x 3d arctanx
-- 整理
x
⑺ xcos dx ；
x
将乘积中的 cos 作为先积分部份，得
2
xx
xcos dx xd2sin --
22
x
- cos dx 2 2
xx cosd 22
x
2 si nc 2
2xsin x 2 sin x dx
--
22
- udv uv
vdu
2xsin x
2( 2cos x
) c -------------
22 si n x
dx 2
2
xx si nd 22
x 2 cosc 2
2xsin x 4cos x c
22
-- 整理
⑻ ln xdx ；
【解】积分式已经具有 udv 的形式，可以直接套用分部积分公式，得
lnxdx xlnx xdln x
-- udv uv vdu xln x x 1dx
--- dlnx 1dx
x
x
xln x dx - 整理
xln x x c
-- dx x c
x(ln x 1) c
⑼ xsinxcosxdx ；
【解】被积函数为两不同类型函数的乘积，
可以考虑套用分部积分公
式，
解法一】将乘积中的 cosx 作为先积分部份，得
x sin x cosxdx xsin xdsin x ----------------------- cosxdx si nx c
解】被积函数为两不同类型函数的乘积， 可以考虑套用分部积分公式，
xd sin2 x -- 仍为两不同类型函数的乘积xudu xd u
12
xsin 2 1
2
xsin
2
1
sin 2 xdx 2 2
1 cos2x
dx
2
2
1
xsin x (x
24 1 2 1 1
xsin x (x cos2xd2x) 2 4 2 1 2 1 1
xsin x (x sin2x) c 2 4 2
cos2xdx) 1
xsin 2 x 1 x 1sin2x c 2 4 8
本题解答案与课本后答案可以互化：
udv uv vdu
2
1 cosx
2 si nx
2
分别积分
d2x 2dx cosudu si nu c
- 整理
1
xsin 2x 1x 1sin2x c 1x 1 cos2x 1x 1sin2x c 2 4 8 2 2 4 8
1
1 1 1
1 1 x x cos
2 x x sin2x c x cos2x
sin2x c 】
4 4 4 8
4
8
1
x sin x cosxdx
x sin 2xdx 1 -- si nx coxs
sixn 2
2
2
11 xd( cos2x) -------------------
22
1
si nx2dx cosx2
2
c
1 1 1 [ xcos2x ( cos
2 x) dx] 2 2 2 --- udv uv vdu
1
【解法二】为利于积分的进行，先将乘积中的 sin x cos x 化简为 sin2x ，并将其作为先积 2 分部份，得
- 整理
11
x cos2x cos2xdx 44 11
x cos2x cos2xd2x
48
-- d2x 2dx
11
xcos2x sin2x c 48
--- cosudu si nu c
2
⑽ xtan2 xdx ；
ln3x
2 dx x2
解】被积函数为两不同类型函数的乘积，可以考虑套用分部积分公式，乘积中有不可独立积分的
31
ln3x ，则应将另一部份2作为先积分部份，得
x2
ln3x 3 1
2 dx ln xd xx
11
--- 2dx c
xx
解】被积函数为两不同类型函数的乘积，可以考虑套用分部积分公式，
为便于积分，先将乘积中的22
tan2x 化为易于积分的sec2x 1 ，得
xtan2 xdx x(sec2 x 1)dx 22
--- tan x sec x 1
(xsec2 x x)dx
1
2 2
x xsec xdx --------------- 2
1 x2xdtanx --------------- 2
12
x xtanx tan xdx
2
1 2 sinx
x xtanx dx
2 cosx
1 2 1
x xtanx dcosx 2 cosx
12
x xtanx ln cosx c
2 整理
分别积分
se2cxdx t anx c
--- udv uv vdu
si nx
--- t anx
cosx
--- dcosx si nxdx
1 du ln u c u
ln3x 1dln3x
x
-- udv uv vdu
32
ln x 1 3ln x
dx x x x
3 2 1 --- dln3x 3ln2x dx
x
ln3x 3ln2x dx
x2
-- 整理，并再次应用上面的方法
ln3x 3ln 2xd 1
x
11 --- 2dx c
xx
ln3x 2
3ln 2x
x 1d3ln 2x
x
-- udv uv vdu
ln3x 2
3ln 2x 11
6ln x dx
xx --- d3 l n2x 3 2 lxn1 dx
x
ln3x 3ln 2x
x 6ln x
2 dx x - 整理，并再次应用上面的方法
ln3x 2
3ln x
x 6ln xd
x
1
2 dx
x
32
ln 3x 3ln 2x 6ln x
x x x
d6ln x
x
-- udv uv vdu
ln 3x 3ln 2x
xx 6ln x
1
6 2 dx
x2
d6
lnx 6
dx
ln 3x 3ln 2x 6ln x 6
c x x x x 11
--- 2dx c
1 3 2
(ln 3 x 3ln 2 x 6ln x 6) c ---------------------- 整理 x
2
⑿ (arcsin x)2 dx ；
【解】积分式已经具有 udv 的形式，可以直接套用分部积分公式，得
(arcsin x) 2dx x(arcsin x) 2 xd(arcsinx)2 -------------- udv uv vdu
x(arcsin x)2 2 1 x 2 arcsin x 2x c
⒀ x 2e x dx ；
解】被积函数为两不同类型函数的乘积， 可以考虑套用分部积分公式，
x(arcsin x)2
2arcsin x
x dx --------------- 1 x
2 ---------------------------------
21 d (arcsin x) 2arcsin x dx
1 x 2
x(arcsin x)2
arcsin x 2x dx
1 x
2 整理
x(arcsin x)2
arcsin xd( 2 1 x 2 ) 2x
dx
1 x 2
1
d(1 x 2) 2 1 x 2 c
1 x
2
x(arcsin x)2
[ 2 1 x 2 arcsin x ( 2 1 x 2
)d arcsin x] udv uv
vdu
x(arcsin x)2
2 1 x 2 arcsin x 2 1 x 2
d arcsin x
1
1 x 2
dx
x(arcsin x)2
2 1 x 2 arcsin x 2 dx
- 整理
1
将乘积中的 e x 作为先积分部份，得
x 2e x dx x 2d( e x ) ----------------------------- e x dx e x c
x 2e x ( e x )dx 2 ----------------------- udv uv vdu
x 2e x e x 2xdx -------------------- 整理 x 2e x 2xd( e x ) -------------------------------- e x dx
e x c
x 2e x 2xe x ( e x )d2x --------------- udv uv vdu
x 2e x 2xe x 2 e x dx --------------------- 整理
x 2e x 2xe x 2e x c ---------------------------- e x dx
e x c
e x (x 2 2x 2) c --------------------------- 整理
⒁ e x dx ；
【解】 被积函数中含根式， 的直接变换法，去
掉根号后，再用分部积分法求解。

令 3 x u ，则 x u 3 ， dx 3u 2du
e x dx e u 3u 2du
3u 2de
u
3u 2e
u e u d3u
2
3u 2e
u
6ue u
du
3u 2e
u
6ude
u
且根指数与根号内多项式的次数不等， 可应用第二换元积分法
中 --- 3 x u ---
e u du e u c
--- udv uv vdu
2
--- d3u 6udu
--- e u du e u c
⒂ (x 2 1)sin 2xdx ；
【解】被积函数为两不同类型函数的乘积， 可以考虑套用分部积分公式，
将乘积中的 sin2x 作为先积分部份，得
2 2
1
(x 2 1)sin 2xdx (x 2 1)d( cos2x)
1
sin 2xd2x
2
1 2 1 2
(x 2 1)cos 2x cos2x 2xdx d( x 2 1) 2xdx 22
3u 2e u [6ue u e u d 6u]
udv uv vdu
3u 2e
u
6ue
u
6e u
du
2 u u u
3u e 6ue 6e c
3(u 2
2u 2)e u
c
d6u 6du
uu
--- e du e c
- 整理
3(3x 2 23x 2)e x c
--- u 3 x
sin 2xdx
cos2x c 2 1
2
2
(x 2 12
1)cos2x ( cos2x) d ( x 2 1)
udv uv vdu
1
2
2
(x 2 1
2
2
(x 2
1)cos2 x x cos2xdx 整理
1
2
2
(x 2
1
1)cos2x xd sin2x
11 cos2xdx cos2xd2x
sin2x c
22
11
1)cos2x xsin2x sin 2xdx
22
udv uv vdu
1
2
2
(x 2 12 2
(x 2
11
1)cos2x xsin2x cos2x c
24 1
--- sin x2dx cosx2 c
2
3)cos2x 1 x sin 2x c --- 整理
⒃ ln(x 2 1)dx ；
【解】积分式已经具有 udv 的形式，可以直接套用分部积分公式，得
222
ln(x 1)dx xln(x 1) xdln( x 1) -------------------------- udv uv vdu
xln(x 3 4 1) x x
22x 1
dx ------------------------------ dln(x 2 1)x
22x 1
dx
x ln( x 2 1) 2 (1 21 )dx ---------------------- 化假分式为多项式 +真分式
x1
2
xln(x 1) 2(x arctan x) c
⒄ e 2x sin x dx ；
2
【解】被积函数为两不同类型函数的乘积， 可以考虑套用分部积分公式，
解法一】将乘积中的 e 2x 作为先积分部份，得
1e 2x
sin x ( 1e 2x )dsin x ------------------- udv uv vdu
2 2 2 2
1e
2x sin
x (
1e
2x )(1cos x
)dx ------------------------------------------------------------------------------------------------ dsi n
x 1
c o x
sdx
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2x
x 1 2x x e sin e cos dx 2 2 4 2 1 2x
x 1 x 1 2x e sin
cos d( e ) 2
2 4 2 2
3e 2x
sin x 1e 2x cos x ( 1e 2x )d 1cos x -- udv uv vdu 4 2 8 2 2 4 2
-- 整理
2x
1
2x
--- e dx e c
2
2x e 2x
sin x
dx
2
sin x 2
d( 12
e 2x
)
2x
1
2x
e dx e c 2
--- d 1cos x
1
sin x dx
4 2 8 2
即有
e 2x sin x 2
dx 8
1e 2x (cos 2
x 4sin 2
x ) 116
e 2x sin 2
x dx
将右边的积分项移到左边，整理得
17
2x
x 1 2x x
x e sin dx e (cos 4sin ) 16 2 8 2
2
最后得积分结果 e 2x sin x dx
2 e
2x
(cos
x 4sin
x ) c
2
17 2 2
解法二】将乘积中的 sin x 作为先积分部份，得
2
e 2x sin x dx e 2x d( 2cos x ) si n x dx
2 si x nd x 2 c x osc
2 2 2 2 2 2
2e 2x cos x 2
[4e 2x 2sin 2
x 4 2sin 2
x de 2x ] -- udv uv vdu 2e 2x cos 2
x 8e 2x sin 2
x 8sin x 2
( 2e 2x )dx] de 2x 2e 2x dx
1
2x
e
2
x sin
2
1 2x x e cos 82
(1e
2x ) 1sin x
dx
2 8 2 1e
2x sin
x 1e
2x
2 2 8
x1 cos 2 16
1 e
2x sin x
dx
2
-- 整理
2e 2x cos x 2
( 2cos x 2
)de 2x
udv uv vdu
2e
2x cos
x
( 2cos x )( 2e
2x
)dx
2x 2x
de 2e dx
2e
2x
cos
x
4cos x e
2x
dx
22
2e
2x cos
x
4e
2 x
d 2sin
x
22
- 整理
cos x dx
2
2 s 2
i x n c
⒅ cos(ln x)dx ；
cos(ln x)dx x cos(ln x) xd cos(ln x)
x cos(ln x) x[ sin(ln x) ]dx dcos(lxn ) si nx(ln d)x
xx
xcos(ln x) sin(ln x)dx --------------------- 整理 xcos(ln x) xsin(ln x)
xd sin(ln x)
1
xcos(ln x) x sin(ln x)
x cos(ln x) dx --
x
1
- d sin(ln x) cos(ln x) dx
x
xcos(ln x) x sin(ln x) cos(ln x)dx
-- 整理
即有
cos(ln x)dx x[cos(ln x) sin(ln x)] cos(ln x) dx
将右边的积分项移到左边，整理得
2 cos(xlndx) x [cosx(ln ) sxi n
即有
2x
x
2x x 2x 2e 2x cos x 8e 2x sin x 2
16e 2x sin x dx 2
-- 整理
e 2x sin x 2
dx 2e 2x cos 2
x 8e 2x sin 2
x 16e 2x sin 2
x dx
将右边的积分项移到左边，整理得
17 e
2x
sin
最后得积分结果
2x x
dx
2e 2 x (cos 4sin )
2 2 2
e
2x
sin x
dx
2 e
2x
(cos
x
4sin x
) c
2
17 2 2
2x
解】积分式已经具有
udv 的形式，可以直接套用分部积分公式，得
udv uv vdu
--- udv uv vdu
2
1e
x 1
2
e x cos2xdx
-- 分别积分
最后得积分结果
1
cos(lxnd)x x [ cosx( ln ) sxi n( lcn ) ]
⒆ ln(x 1 x 2 )dx ；
【解】积分式已经具有 udv 的形式，可以直接套用分部积分公式，得
ln(x 1 x 2)dx xln(x 1 x 2) xd ln( x 1 x 2)
-- udv uv vdu
xln(x 1 x 2) 1 1 d(1 x 2) d(1 x 2 ) 2xdx
2 1 x 2
⒇ e x sin 2 xdx 。

【解】被积函数为两不同类型函数的乘积， 可以考虑套用分部积分公式，
为便于积分，先将乘积中的 sin 2 x 化为易于积分的 1 c 2os2x ，得
e
x
sin
2
xdx
1 cos
2 x
e x
dx
xln(x 1 x 2
) x
dx
dl n(x 1 x 2
)
1
1
x 2
xln(x 1 x 2) 1 x 2
c
1
du 2 u u
2
1 cosx2
--- si nx
1
1 x 1 x e x e x cos2xdx 22
其中， e x cos2xdx cos2xde x ---------------------------- e x dx e x c
e x cos2x e x dcos2x ----------------------------- udv uv vdu
xx
e cos2x e ( 2sin 2x)dx ----------- dcos 2x 2 si nxd2x
e x cos2x 2sin 2xde x -------------------------- e x dx e x c
e x cos2x 2e x sin2x e x d2sin2x --------------------- udv uv vdu
e x cos2x 2e x sin 2x e x 4cos 2xdx d2 si nx2 2 2 c oxsd2x V
有
e x cos2 xdx e x cos2 x 2e x sin2x 4 e x cos2xdx
移项，整理得
x 1 x
e x cos2xdx e x (cos2x 2sin2x) c
于是，原积分为
e
x
sin
2
xdx
1e x 1
e x cos2xdx
22
1 1 1 e x e x (cos2x 2sin 2x) c
2 2 5
V
2
1e x 110
e x
(cos2x 2sin2x) c。