2021年广东省深圳市数学中考专题复习 菱形、矩形和正方形 课件

对点练习 8：如图，在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直 线上有两点 E，F 且满足 BE＝DF，连接 AE、AF、CE、CF，如 图所示．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB， ∴∠ABE＝∠ADF， ∴△ABE≌△ADF(SAS)；
紧扣教材夯实基础立足深圳全面拓展紧扣考纲提升能力基于课程标准的知识点名称知识点1菱形的性质和判定混淆了矩形的性质判定和菱形的性质判定知识点2矩形的性质和判定把正方形的性质和判定与菱形矩形的性质和判定相混淆知识点3正方形的性质和判定知识点1
第一部分 单元知识复习
第五章 四边形
第2讲 菱形、矩形和正方形
对角线的交点 .
1.定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定 2．有三个角是 直角 的四边形是矩形．
3．对角线相等的 平行四边形 是矩形.
对点练习 3：以下性质中：①对角线互相垂直；②对角线相等； ③对角线互相平分；④四个角都是直角，矩形具有而菱形不一定 具有的性质是 ②④ (填写序号)．
对点练习 5：如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ABE，则∠DEB 的度数为 45 度．
对点练习 6：已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从①AB＝ BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD 四个条件中，选 两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，现有下列四 种选法，其中错误的是( B )
对点练习 4：已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定
这个平行四边形为矩形的是( B )
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
知识点 3：正方形的性质和判定
定义 有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
1.正方形的四条边 相等 . 2．正方形的四个角都是 直角 . 性质 3．正方形的对角线 互相垂直平分且相等
考点 2 正方形的性质和判定(6 年 6 考) 六年深圳 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年 2020 年
中考 第 12 题 第 12 题 第 12 题 第 15 题 第 15 题 第 22 题
1．(2020 年深圳中考第 23 题)背景：一次小组合作探究课上， 小明将两个正方形按如图所示的位置摆放(点 E、A、D 在同一条直 线上)，发现 BE＝DG 且 BE⊥DG.
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定 2． 四条边 相等的四边形是菱形．
3．对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形.
对点练习 1：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交 于点 O，若 AB＝5，AC＝6，则 BD 的长是 8 ．
对点练习 2：在四边形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AD∥BC，
思路分析：由菱形的性质得出 AE＝AG，AB＝AD，证明 △AEB≌△AGD(SAS)，由全等三角形的性质可得出结论；
正确解答：当∠EAG＝∠BAD 时，BE＝DG， 理由如下： ∵∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAB＝∠GAD， 又∵四边形 AEFG 和四边形 ABCD 为菱形， ∴AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD(SAS)， ∴BE＝DG；
对点练习 7：如图，在等腰△ABC 中，AB＝BC＝8，∠ABC ＝120°，BE 是∠ABC 的平分线，交 AC 于 E，点 D 是 AB 的中 点，连接 DE，作 EF∥AB 交 BC 于点 F.
(1)求证：四边形 BDEF 是菱形；
证明：∵AB＝BC，BE 是∠ABC 的平分线， ∴E 是 AC 的中点，且 BE⊥AC，又∵点 D 是 AB 的中 点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BF，又∵EF∥BD， ∴四边形 BDEF 是平行四边形，又∵在 Rt△ABE 中， 点 D 是 AB 的中点，∴DE＝12AB＝BD， ∴四边形 BDEF 是菱形；
(2)若 CE＝1，DE＝2，则菱形 ABCD 的面积是 4 ．
正确答案： 解：由(1)知，平行四边形 OCED 是矩形，则 CE＝OD＝1， DE＝OC＝2. ∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2， ∴菱形 ABCD 的面积为：12AC·BD＝12×4×2＝4.
易错点拨：解决此类题问题的关键是分清矩形的性质与菱形 的性质在边，角，对角线上的区别，切记混淆．而要判断其形状， 最好是先判定该四边形是平行四边形，然后再说明边或角或对角 线需满足的条件．
判定相混淆
知识点 1：菱形的性质和判定
定义 有一组邻边相等的 平行四边形 是菱形.
1.菱形具有平行四边形所有的性质．
2．菱形的四条边 相等 .
3．菱形的对角线 互相垂直且平分
性质 平分一组对角
.
，每一条对角线
4．菱形是轴对称图形，对称轴是 对角线所在直线 ；
菱形是中心对称图形，对称中心是 对角线的交点 .
(3)把背景中的正方形分别改写成矩形 AEFG 和矩形 ABCD， 且AAGE＝AADB＝23，AE＝4，AB＝8，将矩形 AEFG 绕点 A 按顺时针 方向旋转(如图 3)，连接 DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2 ＋BG2 的值是定值，请求出这个定值．
正确解答：证明：∵四边形 AEFG 为正方形， ∴AE＝AG，∠EAG＝90°， 又∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠EAB＝∠GAD， ∴△AEB≌△AGD(SAS)， ∴BE＝DG；
(2)把背景中的正方形分别改成菱形 AEFG 和菱形 ABCD，将 菱形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转(如图 2)，试问当∠EAG 与 ∠BAD 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论 BE＝DG 仍成 立？请说明理由；
(2)如图以 DF 为一边作矩形 DFHG，且点 E 是此矩形的对称 中心，求矩形另一边的长．
解：如下图， 连接 EH，∵点 E 是此矩形的对称中心， ∴D，E，H 在同一直线上，∵DE∥BF， ∴EH∥BF，∵BE⊥DF，FH⊥DF， ∴BE∥FH，
∴四边形 BEHF 是平行四边形， ∴BE＝FH，∵∠ABC＝120°，BE 平分∠ABC， ∴∠EBF＝60°，又∵∠BEC＝90°， ∴∠C＝30°，∴BE＝12BC＝4，∴FH＝4.
紧扣教材 夯实基础
紧扣考纲 提升能力
立足深圳 全面拓展
——基于课程标准的5个复习要点
序号 知识点 1
知识点 2 知识点 3
知识点名称 菱形的性质和判定
矩形的性质和判定 正方形的性质和判定
序号
知识点名称
混淆了矩形的性质、判 易错点 1 定和菱形的性质、判定
把正方形的性质和判定
易错点 2 与菱形、矩形的性质和
分一组对角．
，每条对角线平
4．正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴有
4 条，对称中心是 对角线的交点 .
1.定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边
形是正方形．
判定 2．有一组邻边相等的 矩形 是正方形．
3．有一个角是直角的 菱形 是正方形．
4．对角线 互相垂直平分且相等
的四边形是正方形.
(2)试判断四边形 AECF 的形状，并说明理由． 解：连接 AC 交 BC 于点 O，四边形 AECF 是菱形． 理由：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF， ∴OB＋BE＝OD＋DF，即 OE＝OF， ∵OA＝OC，OE＝OF， ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形 AECF 是菱形．
(2)求四边形 ACDB 的面积． 解：设菱形的边长为 a，即 AB＝AC＝a，则 FA＝6－a， ∵AB∥CE，∴△FAB∽△FCE，∴AFFC＝ACBE， 即(6－a)∶6＝a∶12，∴a＝4， 如图，过点 A 作 AG⊥CE，垂足为点 G， 在 Rt△CAG 中，∠ACG＝45°，
∴AG＝ 22AC＝2 2， ∴S 菱形 ACDB＝CD·AG＝8 2，即四边形 ACDB 的面积为 8 2.
——基于深圳考纲的2个中考考点
考点 1 菱形的性质和判定(6 年 2 考)
六年深圳 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年 2020 年
中考
第 20 题 第 12 题
1．(2019 年深圳中考第 12 题)如图，已知菱形 ABCD，E、F 是动点，边长为 4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确 的有几个( D )
方法总结：本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质、 等边三角形性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．(2018 年深圳中考第 20 题)已知菱形的一个角与三角形的一个 角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这 个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE 中，CF＝6，CE＝12，∠FCE
︵ ＝45°，以点 C 为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点 A 和点 D 为圆心，大于12AD 长为半径作弧，交 EF 于点 B，AB∥CD．
(1)求证：四边形 ACDB 为△FEC 的亲密菱形； 证明：由尺规作图可知 CB 平分∠ACD， ∴∠ACB＝∠DCB， ∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB，∴∠ABC＝∠ACB， ∴AC＝AB，又∵AC＝CD，AB＝BD， ∴AC＝CD＝DB＝AB， ∴四边形 ACDB 是菱形， ∵∠FCE 与∠ACD 重合，点 B 点 FE 上， ∴菱形 ACDB 为△FEC 的“亲密菱形”；
添加一个条件 AB＝BC或AC⊥BD
，即可判定该四边
形是菱形．
知识点 2：矩形的性质和判定 定义 有一个角是 直角 的平行四边形是矩形.
1.矩形具有平行四边形所有的性质．
2．矩形的四个角都是 直角 .
性质
3．矩形的对角线 相等且互相平分
.

4．矩形是轴对称图形，对称轴是连接一组对边中点的
直线
；矩形是中心对称图形，对称中心是
【易错题型 2】把正方形的性质和判定与菱形、矩形的性质和 判定相混淆
例 2：已知：如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 BC 上一点， DE 平分∠ADC，EF∥DC 交 AD 边于点 F，连接 BD．求证：四 边形 FECD 是正方形；
易错点拨：需熟练掌握正方形与矩形、菱形的区别与联系．
正确答案： 证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝ 90°，∵EF∥DC， ∴四边形 FECD 为平行四边形，∵DE 平分∠ADC，∴∠ADE ＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC， ∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴四边形 FECD 是菱形， 又∵∠C＝90°， ∴平行四边形 FECD 是正方形．
小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转(如图 1)，还能 得到 BE＝DG 吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；
思路分析：由正方形的性质得出 AE＝AG，∠EAG＝90°， AB ＝ AD ， ∠ BAD ＝ 90 ° ， 得 出 ∠EAB ＝ ∠GAD ， 证 明 △AEB≌△AGD(SAS)，则可得出结论；
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
易错讲练 【易错题型 1】混淆了矩形的性质、判定和菱形的性质、判定 例 1：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O.过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两直线相交 于点 E.
(1)求证：四边形 OCED 是矩形； 正确答案： 证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°. ∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形 OCED 是平行四边形，又 ∠COD＝90°， ∴平行四边形 OCED 是矩形；
①△BEC≌△AFC；②△ECF 为等边三角形； ③∠AGE＝∠AFC；④若 AF＝1，则EGGF＝13. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
思路分析：①△BEC≌△AFC(SAS)，正确；②由△BEC≌△AFC， 得 CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，由∠BCE＋∠ECA＝∠BCA＝60°， 得∠ACF＋∠ECA＝60°，所以△CEF 是等边三角形，正确；③因为 ∠AGE＝∠CAF＋∠AFG＝60°＋∠AFG，∠AFC＝∠CFG＋∠AFG ＝60°＋∠AFG，所以∠AGE＝∠AFC，故③正确；④过点 E 作 EM∥BC 交 AC 于点 M，易证△AEM 是等边三角形，则 EM＝AE＝3， 由 AF∥EM，则GEGF＝EAHF＝13.故④正确．