2019届安徽省江南十校高三3月综合素质检测数学(理)试题(解析版)
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三、解答题
17．已知数列 与 满足： ，且 为正项等比数列， ， .
（Ⅰ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，证明： .
【答案】（1） ； （2）见证明
【解析】（1）通过作差的方式得到 ，从而求解出公比 ，进而得到 ； 可利用等比数列求和推导得到；（2）通过裂项相消的方式，得到 ，通过放缩得到所证结果.
动点 落在以 为轴、底面半径为 的圆柱的侧面上
可知侧面与三棱锥侧面 的交线为椭圆的一部分
设其与 的交点为 ，此时 最大
由题意可得，点 到 的距离为：
则 到 的距离为 可知： 为 的中点
又
在 中，由余弦定理可得
本题正确结果：
【点睛】
本题考查立体几何中的直线与平面的位置关系，难点在于确定 点在侧面上的轨迹类型，锁定最值取得的点，对学生的空间想象能力要求较高.
附：线性回归方程 中， ， .
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）根据数据，确定考核优秀的年份数量，利用超几何分布来求解分布列和数学期望；（2）确定去掉 年数据后，公式各个构成部分的数值，代入公式求解回归直线.
【详解】
（1）由数据可知， ， ， ， ， 五个年份考核优秀
的所有可能取值为 ， ， ，
【点睛】
本题考查利用抛物线方程求焦点，易错点是忽略了原方程是否为标准方程，而直接去求解.
4．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理可推导出 的取值，再利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理可得：
即
本题正确选项：
【点睛】
16．如图，三棱锥 中， ， ， ，点 在侧面 上，且到直线 的距离为 ，则 的最大值是_______．
【答案】
【解析】通过点 到直线距离为定值，确定 点在圆柱侧面上，同时确定 点轨迹；根据椭圆性质可知，当 落在 上时， 最大；根据距离可确定 为 中点，然后利用余弦定理解出结果.
【详解】
动点 到直线 的距离为定值
12．计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应.现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第 个0和第 个0之间有 个1（ ），即 ，则该数的所有数字之和为（）
A．1973 B．1974 C．1975 D．1976
【答案】C
【解析】通过分组将问题变为等差数列求和的问题，先利用数位求解出分组的组数，再根据每组数字之和为首项为 ，公差为 的等差数列，求解出最终结果.
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】（1）利用等腰三角形三线合一和勾股定理分别证明 和 ，得到 平面 ，进而得到面面垂直；（2）利用空间向量法，得到所求正弦值等于 的值；也可以利用体积桥的方式，求出 到平面 的距离，从而求得正弦值.
【详解】
（1） ， ，
由余弦定理：
令 ，解得：
在 上单调递减，在 上单调递增
本题正确选项：
【点睛】
本题考查导数中的恒成立和能成立的综合问题，关键在于通过成立条件，将问题转化为最值之间的比较；难点在于求解 时，需要对 的范围进行讨论，才能最终确定取值.
11．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线（实线、虚线）画出的是某几何体的三视图，其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为（）
【详解】
（1）由 ……①
时， ……②
①-②可得：
， ，设 公比为
（2）证明：由已知：
当 时，
即：
【点睛】
本题考查等比数列以及裂项相消法求和，解题关键在于能够通过通项公式的形式确定可以进行裂项，从而可以前后相消，得到最终关系式.
18．斜三棱柱 中，底面是边长为2的正三角形， ， .
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
【详解】
为 上的奇函数
又
可知 与 在 上都单调递增，即 与 在 上都单调递增
当 时， ， ；假设
则
即： 在 上单调递增
又 为奇函数，则 在 上单调递增，即 在 上单调递增
由 可得：
即
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较.
选项：由 可知， 是对称轴的位置，则必不是对称中心. 错误.
本题正确选项：
【点睛】
本题考查 的图像与性质，处理此类问题的关键是采用整体代入的方式，将 范围代入函数，得到 整体所处的范围，进而与 图像相对应，确定最终结果.
8．设函数 ，则不等式 的解集是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】判断出 的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为 ，通过单调性变成自变量的比较，从而得到关于 的不等式，求得最终结果.
二、填空题
13．设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_______．
【答案】2
【解析】通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线 在 轴截距最小的问题，通过图像解决.
【详解】
由题意可得可行域如下图所示：
令 ，则 即为在 轴截距的最小值
由图可知：
当 过 时，在 轴截距最小
本题正确结果：
【点睛】
本题考查线性规划中的 型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在 轴截距的问题.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】通过截面面积相等可求得 的长度，再利用三棱柱体积公式即可求解.
【详解】
由题意可知：在高为 处，截面面积为 ，且截面面积相等
本题正确选项：
【点睛】
本题考查空间几何体中柱体体积的求解，属于基础题.
7．已知函数 的最小正周期为 ，则下面结论正确的是（）
A．函数 在区间 上单调递增
， ，
6
6.5
年返修台数（台）
21
22
28
65
80
65
84
88
部分计算结果： ， ， ，
，
注：
（Ⅰ）从该公司2011-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以 表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润 （百万元）关于年生产台数 （万台）的线性回归方程（精确到0.01）.
本题考查正弦定理和二倍角公式的应用，属于基础题.
5．已知边长为1的菱形 中， ，点 满足 ，则 的值是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将 通过线性运算进行拆解，转变成与向量 和 相关的数量积和模长求解即可.
【详解】
由题意可得大致图像如下：
；
又 ，
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量的数量积的求解，处理此类问题的关键是将所求向量进行线性拆解，拆解为已知模长和夹角的两个向量的问题.
B．函数 在区间 上单调递减
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 的图象关于点 对称
【答案】C
【解析】 最小正周期为 ，可求得函数解析式；再依次将四个选项代入 ，与 进行对比，得到正确结果.
【详解】
由题意知：
选项和 选项：当 时， ，当 时， 单调递减； 时， 单调递增.因此， 和 都错误；
选项： 时， ； 是 的对称轴，则 是 的对称轴.因此， 正确；
【答案】240
【解析】将 变为 ，将所求问题转变为 的所有系数之和，通过赋值法可求得结果.
【详解】
则 展开式通项为：
含 的项的为：
则形如 项的系数之和即为 展开式的系数之和
令 ， ，则：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查二项式定理的相关知识，求解系数之和问题的关键方法是赋值法，通过赋值，消除变量的影响，得到系数之和.
由双曲线定义可知：
由角平分线性质定理可得：
本题正确选项：
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，关键在于能够熟练应用双曲线的定义表示长度，同时涉及角平分线问题时，角平分线定理是常用的比例关系.
10．已知函数 ， （ 是自然对数的底数），若对 ， ，使得 成立，则正数 的最小值为（）
A． B．1 C． D．
A．20 B． C． D．
【答案】B
【解析】通过三视图还原几何体后，用正方体表面积减掉去除的面积，再加上因割正方体而增加的面的面积即可得到结果.
【详解】
由三视图可得几何体如图所示：
由已知得原几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的组合体
本题正确选项：
【点睛】
本题考查组合体的表面积问题，关键在于能够通过三视图准确还原组合体.
即 或
故
取 中点 ，连接 ， ，如图所示：
是边长为 的正三角形
，可得： ，
由 得到
又 为 中点，
且
又 ， 平面
平面
平面 平面
（2）解法一：以 为原点， 所在的直线为 轴，取 中点 ，以 所在的直线为 轴，过 作 ，以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系
则 ， , ,
， ，
设平面 的一个法向量为
则
设所求角为 ，则
【答案】C
【解析】 ， ，使得 成立，说明 ，分别求出 与 的最小值，建立不等关系求解.
【详解】
“ ， ，使得 成立”等价于
当 时，令 ，解得： ，
在 上单调递减， 上单调递增
当 时，令 ，解得：
在 上单调递减， 上单调递增
当 时，此时 在 上单调递增， 上单调递增减
， ， 无最小值，不合题意
综上所述： ，
2019届安徽省江南十校高三3月综合素质检测数学（理）试题
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】求解出 集合的范围，根据补集定义求解.
【详解】
或
又 ，则
本题正确选项：
【点睛】
本题考查集合基本运算中的补集，属于基础题.
2．复数 （ 为虚数单位），则 （）
A． B． C． D．2
9．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为右支上一点且直线 与 轴垂直，若 的角平分线恰好过点 ，则 的面积为（）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【解析】根据双曲线几何性质及定义，可用 表示出 与 ，再利用角平分线定理，求得 ，即可用 表示出所求面积.
【详解】
记 ，则 ，
由题意可知， 为双曲线通径长的一半，即
6．我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线 绕 轴旋转一周得几何体 ，将 放在与 轴垂直的水平面 上，用平行于平面 ，且与 的顶点 距离为 的平面截几何体 ，得截面圆的面积为 .由此构造右边的几何体 ：其中 平面 ， ， ， ，它与 在等高处的截面面积都相等，图中 为矩形，且 ， ，则几何体 的体积为（）
【答案】A
【解析】将 整理成 的形式， 与 模长相同，求 即可.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】
本题考查复数的基本运算，属于基础题.
3．抛物线 的焦点坐标是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将方程化为标准形式，然后可得焦点坐标.
【详解】
抛物线标准方程为 ，焦点在 轴上
焦点坐标为
本题正确选项：
14．已知 ，且 ，则 的值为______．
【答案】-1
【解析】通过 ， 的齐次式，求得 的值；再利用两角和差的正切公式求解 .
【详解】
又
解得：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查同角三角函数关系以及两角和差公式的应用，属于基础题.
15．在 的展开式中，所有形如 的项的系数之和是_____（用数字作答）.
【详解】
将数字从左只有以 为分界进行分组
第一组为 ，数字和为 ；
第二组为 ，数字之和为 ；
第三组为 ，数字之和为 ；以此类推
数字共 位，则，前 组共有 位
则 位数字之和为：
剩余数位为：
则所有数字之和为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查数列求和的问题，关键在于能够将数据进行合理分组，构建出等差数列的模型，从而解决问题.
19．某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2011-2018年的相关数据如下表所示：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年生产台数（万台）
2
3
4
5
6
7
10
11
该产品的年利润（百万元）
2.1
2.75
3.5
3.25
3
4.9
解法二：以 为原点， 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系
则 ， ， ，
设 ，由 可得
， ，
设平面 的一个法向量为
则 ，取 ，则
设所求角为 ，则
解法三：由（1）
设 到平面 的距离为 ，则由 面 知 到平面 的距离也为 ，则
设所求角为 ，则
【点睛】
本题考查立体几何中面面垂直的证明和直线与平面所成角问题.立体几何求解角度问题常常采用空间向量法来求解，线面角的正弦值即为直线与平面法向量所成角的余弦值；也可以求解出直线上的点到平面的距离，再利用直角三角形求解.
17．已知数列 与 满足： ，且 为正项等比数列， ， .
（Ⅰ）求数列 与 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ， 为数列 的前 项和，证明： .
【答案】（1） ； （2）见证明
【解析】（1）通过作差的方式得到 ，从而求解出公比 ，进而得到 ； 可利用等比数列求和推导得到；（2）通过裂项相消的方式，得到 ，通过放缩得到所证结果.
动点 落在以 为轴、底面半径为 的圆柱的侧面上
可知侧面与三棱锥侧面 的交线为椭圆的一部分
设其与 的交点为 ，此时 最大
由题意可得，点 到 的距离为：
则 到 的距离为 可知： 为 的中点
又
在 中，由余弦定理可得
本题正确结果：
【点睛】
本题考查立体几何中的直线与平面的位置关系，难点在于确定 点在侧面上的轨迹类型，锁定最值取得的点，对学生的空间想象能力要求较高.
附：线性回归方程 中， ， .
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）根据数据，确定考核优秀的年份数量，利用超几何分布来求解分布列和数学期望；（2）确定去掉 年数据后，公式各个构成部分的数值，代入公式求解回归直线.
【详解】
（1）由数据可知， ， ， ， ， 五个年份考核优秀
的所有可能取值为 ， ， ，
【点睛】
本题考查利用抛物线方程求焦点，易错点是忽略了原方程是否为标准方程，而直接去求解.
4．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦定理可推导出 的取值，再利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理可得：
即
本题正确选项：
【点睛】
16．如图，三棱锥 中， ， ， ，点 在侧面 上，且到直线 的距离为 ，则 的最大值是_______．
【答案】
【解析】通过点 到直线距离为定值，确定 点在圆柱侧面上，同时确定 点轨迹；根据椭圆性质可知，当 落在 上时， 最大；根据距离可确定 为 中点，然后利用余弦定理解出结果.
【详解】
动点 到直线 的距离为定值
12．计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应.现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第 个0和第 个0之间有 个1（ ），即 ，则该数的所有数字之和为（）
A．1973 B．1974 C．1975 D．1976
【答案】C
【解析】通过分组将问题变为等差数列求和的问题，先利用数位求解出分组的组数，再根据每组数字之和为首项为 ，公差为 的等差数列，求解出最终结果.
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】（1）利用等腰三角形三线合一和勾股定理分别证明 和 ，得到 平面 ，进而得到面面垂直；（2）利用空间向量法，得到所求正弦值等于 的值；也可以利用体积桥的方式，求出 到平面 的距离，从而求得正弦值.
【详解】
（1） ， ，
由余弦定理：
令 ，解得：
在 上单调递减，在 上单调递增
本题正确选项：
【点睛】
本题考查导数中的恒成立和能成立的综合问题，关键在于通过成立条件，将问题转化为最值之间的比较；难点在于求解 时，需要对 的范围进行讨论，才能最终确定取值.
11．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线（实线、虚线）画出的是某几何体的三视图，其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一，则该几何体的表面积为（）
【详解】
（1）由 ……①
时， ……②
①-②可得：
， ，设 公比为
（2）证明：由已知：
当 时，
即：
【点睛】
本题考查等比数列以及裂项相消法求和，解题关键在于能够通过通项公式的形式确定可以进行裂项，从而可以前后相消，得到最终关系式.
18．斜三棱柱 中，底面是边长为2的正三角形， ， .
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
【详解】
为 上的奇函数
又
可知 与 在 上都单调递增，即 与 在 上都单调递增
当 时， ， ；假设
则
即： 在 上单调递增
又 为奇函数，则 在 上单调递增，即 在 上单调递增
由 可得：
即
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较.
选项：由 可知， 是对称轴的位置，则必不是对称中心. 错误.
本题正确选项：
【点睛】
本题考查 的图像与性质，处理此类问题的关键是采用整体代入的方式，将 范围代入函数，得到 整体所处的范围，进而与 图像相对应，确定最终结果.
8．设函数 ，则不等式 的解集是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】判断出 的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为 ，通过单调性变成自变量的比较，从而得到关于 的不等式，求得最终结果.
二、填空题
13．设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_______．
【答案】2
【解析】通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线 在 轴截距最小的问题，通过图像解决.
【详解】
由题意可得可行域如下图所示：
令 ，则 即为在 轴截距的最小值
由图可知：
当 过 时，在 轴截距最小
本题正确结果：
【点睛】
本题考查线性规划中的 型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在 轴截距的问题.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】通过截面面积相等可求得 的长度，再利用三棱柱体积公式即可求解.
【详解】
由题意可知：在高为 处，截面面积为 ，且截面面积相等
本题正确选项：
【点睛】
本题考查空间几何体中柱体体积的求解，属于基础题.
7．已知函数 的最小正周期为 ，则下面结论正确的是（）
A．函数 在区间 上单调递增
， ，
6
6.5
年返修台数（台）
21
22
28
65
80
65
84
88
部分计算结果： ， ， ，
，
注：
（Ⅰ）从该公司2011-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以 表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润 （百万元）关于年生产台数 （万台）的线性回归方程（精确到0.01）.
本题考查正弦定理和二倍角公式的应用，属于基础题.
5．已知边长为1的菱形 中， ，点 满足 ，则 的值是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将 通过线性运算进行拆解，转变成与向量 和 相关的数量积和模长求解即可.
【详解】
由题意可得大致图像如下：
；
又 ，
本题正确选项：
【点睛】
本题考查向量的数量积的求解，处理此类问题的关键是将所求向量进行线性拆解，拆解为已知模长和夹角的两个向量的问题.
B．函数 在区间 上单调递减
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 的图象关于点 对称
【答案】C
【解析】 最小正周期为 ，可求得函数解析式；再依次将四个选项代入 ，与 进行对比，得到正确结果.
【详解】
由题意知：
选项和 选项：当 时， ，当 时， 单调递减； 时， 单调递增.因此， 和 都错误；
选项： 时， ； 是 的对称轴，则 是 的对称轴.因此， 正确；
【答案】240
【解析】将 变为 ，将所求问题转变为 的所有系数之和，通过赋值法可求得结果.
【详解】
则 展开式通项为：
含 的项的为：
则形如 项的系数之和即为 展开式的系数之和
令 ， ，则：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查二项式定理的相关知识，求解系数之和问题的关键方法是赋值法，通过赋值，消除变量的影响，得到系数之和.
由双曲线定义可知：
由角平分线性质定理可得：
本题正确选项：
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质，关键在于能够熟练应用双曲线的定义表示长度，同时涉及角平分线问题时，角平分线定理是常用的比例关系.
10．已知函数 ， （ 是自然对数的底数），若对 ， ，使得 成立，则正数 的最小值为（）
A． B．1 C． D．
A．20 B． C． D．
【答案】B
【解析】通过三视图还原几何体后，用正方体表面积减掉去除的面积，再加上因割正方体而增加的面的面积即可得到结果.
【详解】
由三视图可得几何体如图所示：
由已知得原几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的组合体
本题正确选项：
【点睛】
本题考查组合体的表面积问题，关键在于能够通过三视图准确还原组合体.
即 或
故
取 中点 ，连接 ， ，如图所示：
是边长为 的正三角形
，可得： ，
由 得到
又 为 中点，
且
又 ， 平面
平面
平面 平面
（2）解法一：以 为原点， 所在的直线为 轴，取 中点 ，以 所在的直线为 轴，过 作 ，以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系
则 ， , ,
， ，
设平面 的一个法向量为
则
设所求角为 ，则
【答案】C
【解析】 ， ，使得 成立，说明 ，分别求出 与 的最小值，建立不等关系求解.
【详解】
“ ， ，使得 成立”等价于
当 时，令 ，解得： ，
在 上单调递减， 上单调递增
当 时，令 ，解得：
在 上单调递减， 上单调递增
当 时，此时 在 上单调递增， 上单调递增减
， ， 无最小值，不合题意
综上所述： ，
2019届安徽省江南十校高三3月综合素质检测数学（理）试题
一、单选题
1．设集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】求解出 集合的范围，根据补集定义求解.
【详解】
或
又 ，则
本题正确选项：
【点睛】
本题考查集合基本运算中的补集，属于基础题.
2．复数 （ 为虚数单位），则 （）
A． B． C． D．2
9．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为右支上一点且直线 与 轴垂直，若 的角平分线恰好过点 ，则 的面积为（）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【解析】根据双曲线几何性质及定义，可用 表示出 与 ，再利用角平分线定理，求得 ，即可用 表示出所求面积.
【详解】
记 ，则 ，
由题意可知， 为双曲线通径长的一半，即
6．我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线 绕 轴旋转一周得几何体 ，将 放在与 轴垂直的水平面 上，用平行于平面 ，且与 的顶点 距离为 的平面截几何体 ，得截面圆的面积为 .由此构造右边的几何体 ：其中 平面 ， ， ， ，它与 在等高处的截面面积都相等，图中 为矩形，且 ， ，则几何体 的体积为（）
【答案】A
【解析】将 整理成 的形式， 与 模长相同，求 即可.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】
本题考查复数的基本运算，属于基础题.
3．抛物线 的焦点坐标是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将方程化为标准形式，然后可得焦点坐标.
【详解】
抛物线标准方程为 ，焦点在 轴上
焦点坐标为
本题正确选项：
14．已知 ，且 ，则 的值为______．
【答案】-1
【解析】通过 ， 的齐次式，求得 的值；再利用两角和差的正切公式求解 .
【详解】
又
解得：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查同角三角函数关系以及两角和差公式的应用，属于基础题.
15．在 的展开式中，所有形如 的项的系数之和是_____（用数字作答）.
【详解】
将数字从左只有以 为分界进行分组
第一组为 ，数字和为 ；
第二组为 ，数字之和为 ；
第三组为 ，数字之和为 ；以此类推
数字共 位，则，前 组共有 位
则 位数字之和为：
剩余数位为：
则所有数字之和为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查数列求和的问题，关键在于能够将数据进行合理分组，构建出等差数列的模型，从而解决问题.
19．某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2011-2018年的相关数据如下表所示：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年生产台数（万台）
2
3
4
5
6
7
10
11
该产品的年利润（百万元）
2.1
2.75
3.5
3.25
3
4.9
解法二：以 为原点， 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系
则 ， ， ，
设 ，由 可得
， ，
设平面 的一个法向量为
则 ，取 ，则
设所求角为 ，则
解法三：由（1）
设 到平面 的距离为 ，则由 面 知 到平面 的距离也为 ，则
设所求角为 ，则
【点睛】
本题考查立体几何中面面垂直的证明和直线与平面所成角问题.立体几何求解角度问题常常采用空间向量法来求解，线面角的正弦值即为直线与平面法向量所成角的余弦值；也可以求解出直线上的点到平面的距离，再利用直角三角形求解.