无锡滨湖区梅梁中学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试题(含答案解析)

一、选择题
1．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为BDE ，则图中全等三角形共有（ ）
A ．0对
B ．1对
C ．2对
D ．3对
2．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（ ）
A ．AE CF =
B ．DE BF =
C ．ADE CBF ∠=∠
D ．AB
E CD
F ∠=∠ 3．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点Р是对角线BD 上一动点（不与D ，B 重合），PF CD ⊥于点F ，PE BC ⊥于点E ，连接AP ，EF ．则下列结论错误的是（ ）
A ．2PD EC =
B ．AP EF =，且AP EF ⊥
C ．四边形PECF 的周长是8
D ．12
BD EF AB ≤< 4．如图，在平行四边形ABCD 中，90B ∠<︒，BC AB >．作AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，记EAF ∠的度数为α，AE a =，AF b =．则以下选项错误的是（ ）
A ．::a b CD BC =
B ．D ∠的度数为α
C ．若60α=︒，则四边形AECF 的面积为平行四边形ABC
D 面积的一半
D ．若60α=︒，则平行四边形ABCD 的周长为()433
a b + 5．已知矩形ABCD ，下列条件中不能判定这个矩形是正方形的是（ ）
A ．AC BD ⊥
B ．A
C B
D = C ．AC 平分BAD ∠ D ．ADB ABD ∠=∠ 6．下列命题中，错误的是 （ ）
A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形；
B ．对角线相等的菱形是正方形；
C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；
D ．一组邻边相等的矩形是正方形． 7．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定四边形ABCD
为平行四边形的是（ ）
A ．A
B ∥CD ，AD ∥BC
B ．AD ∥B
C ，AB ＝C
D C ．OA ＝OC ，OB ＝OD D ．AB ＝CD ，AD ＝BC
8．在菱形ABCD 中，∠ABC=60゜，AC=4，则BD=( )
A ．3
B ．23
C ．33
D ．43
9．下列命题中，正确的命题是（ ）
A ．菱形的对角线互相平分且相等
B ．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是
矩形
C ．矩形的对角线互相垂直平分
D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形
10．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（ ）
A ．BAD BDA ∠=∠
B ．AB DE =
C ．DF EF =
D ．D
E 平分ADB ∠
11．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作ME ⊥AC 于点E ，MF ⊥BC 于点F ，若点P 是EF 的中点，则CP 的最小值是（ ）
A ．1.2
B ．1.5
C ．2.4
D ．2.5 12．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ．若5AF =，3B
E =，则
EF 的长为（ ）
A ．23
B ．17
C ．25
D ．35
二、填空题
13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为DB 、BC 的中点，若AB ＝8，则EF ＝_____．
14．在正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，点P 在正方形的边上，若∠AEB=105°，AE=EP ，则∠AEP 的度数为_________．
15．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把点B 折叠到折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，则ABH ∠=______°．
16．在平面直角坐标系xOy 中，OABC 的三个顶点的坐标分别为
()()()0,0,3,0,4,3O A B ，则其第四个顶点C 的坐标为______．
17．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别在边,AB AC 上，且BD CE =，连接,CD DE ，点,,M N P 分别是,,DE BC CD 的中点，34PMN ∠=，则MPN ∠的度数是_______．
18．如图，将两个边长为1的小正方形，沿对角线剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长是______．
19．平行四边形的两条对角线长分别为6和8，其夹角为45︒，该平行四边形的面积为
_______．
20．如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A'，折痕为DE．若将∠B沿EA'向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B'，则AB＝_______．
三、解答题
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB 的延长线上，且DE BF
=，连接AE，CF．
∠=∠；
（1）求证：E F
∠时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．（2）连接AF，CE，当BD平分ABC
22．如图，四边形ABCD ，//BC AD ，P 为CD 上一点，PA 平分BAD ∠且BP AP ⊥． （1）若80BAD ︒∠=，求ABP ∠的度数；
（2）求证：=+BA BC AD ；
（3）设3BP a =，4AP a =，过点P 作一条直线，分别与AD ，BC 所在直线交于点E 点F ．若AB EF =，求AE 的长（用含a 的代数式表示）．
23．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E ，F 分别是AD 和AB 上的点，2AE =，F 是AB 的中点，请使用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．
（1）在图1中，作一个以EF 为直角边的直角三角形；
（2）在图2中，作一个以EF 为边的平行四边形．
24．如图，在正方形ABCD 中，10cm AB BC CD AD ====，
90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，点E 在边AB 上，且4cm AE =，如果点P 在线段BC 上以2cm/秒的速度B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动，设运动时间为t 秒．
（1）若点Q 与点P 的运动速度相等，经过2秒后，BPE 与CQP 是否全等？请说明理由；
（2）若点Q 与点P 的运动速度不相等，则当t 为何值时，BPE 与CQP 全等？此时点Q 的运动速度为多少？
25．在ABC 中，23,AB CD AB =⊥于点,2D CD =．
（1）如图1，当点D 是线段AB 的中点时，
①AC 的长为________；
②延长AC 至点E ，使得CE AC =，此时CE 与CB 的数量关系是_______，BCE ∠与A ∠的数量关系是_______；
（2）如图2，当点D 不是线段AB 的中点时，画BCE ∠（点E 与点D 在直线BC 的异侧），使2BCE ∠=,A CE CB ∠=，连接AE ．
①按要求补全图形；
②求AE 的长．
26．如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD 的角平分线AE 交CD 于点F ，交BC 的延长线于点E ．
（1）求证：BE ＝CD ；
（2）若BF 恰好平分∠ABE ，连接AC 、DE ，求证：四边形ACED 是平行四边形．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
因为图形对折，所以首先△CDB≌△ABD，由于四边形是长方形，进而可得
△ABE≌△CDE，如此答案可得．
【详解】
解：∵△BDC是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，
∴CD=AB，AD=BC，
∵BD=BD，
∴△CDB≌△ABD（SSS），
∴∠CBD=∠ADB
∴EB=ED
∴CE=AE
又AB=CD
∴△ABE≌△CDE，
∴图中全等三角形共有2对
故选：C
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要由易到难，循序渐进．2．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理分别判断即可．
【详解】
，
解：A、∵AE CF
∴AO=CO，
由于四边形ABCD是平行四边形，则BO=DO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B、不能证明四边形DEBF是平行四边形；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，又∠ADE=∠CBF，
∴△DAE ≌△BCF （ASA ），
∴AE=CF ，同A 可证四边形DEBF 是平行四边形；
D 、同C 可证：△AB
E ≌△CD
F （ASA ），
∴AE=CF ，同A 可证四边形DEBF 是平行四边形；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
由三个直角的四边形是矩形，由此判断四边形PECF 是矩形，得到EC PF =，再结合正方形的性质，解得2PD EC =，由此判断A ；
过点P 作PN AB ⊥垂足为N ，过P 作//PM EF 交DC 于点M ，连接AM ，由角平分线的性质得到PN PE =，继而结合勾股定理证明AP EF =、证明四边形PEFM 是平行四边形，即可得到EF PM AP ==，设BE x =，结合勾股定理证明
222PM A M P A +=，即可判断B ；
根据等腰直角三角形的性质计算四边形PECF 的周长即可判断C ；
设BE x =，由勾股定理解得EF 的长，再结合04x ≤≤，解得EF 与BD AB 、的数量关系即可判断D ．
【详解】
解：A. ,PE BC PF CD ⊥⊥
90PEC PFC ∴∠=∠=︒
90C ∠=︒
∴四边形PECF 是矩形
EC PF ∴=
正方形ABCD 中
45PDF ∠=︒
22PD PF EC ∴==
故A 错误；
B.过点P 作PN AB ⊥垂足为N ，过P 作//PM EF 交DC 于点M ，连接AM ，
BD 平分ABC ∠，PN AB ⊥，PE BC ⊥
PN PE ∴=
222222,AP AN PN EF EC PE =+=+且,AN EC PN PE ==
AP EF ∴=
//,//PM EF PE CD
∴四边形PEFM 是平行四边形
EF PM AP ∴==
设BE x =，则,42PE FC MF x DM x ====-，4EC PF x ==-
AP EF PM ===
222216(42)AD MD AM x +==+-
222AP PM AM +=
AP PM ∴⊥
AP EF ∴⊥
故B 正确；
C. BPE 为等腰直角三角形
PE BE ∴=
4PE PF BE EC BC ∴+=+==
故四边形PECF 的周长为2()8PE PF +=， 故C 正确；
D.设BE x =
EF ∴==
04x ≤≤
EF ∴≥
12
EF BD ∴≥ 4EF <
EF AB ∴<
12
BD EF AB ∴≤< 故D 正确，
故选：A ．
【点睛】
本题考查四边形的综合题，涉及勾股定理、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 4．C
解析：C
【分析】
由平行四边形的性质得出//AD BC ，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，得出180D C ∠+∠=︒，求出180EAF C ∠+∠=︒，得出B D EAF α∠=∠=∠=；由平行四边形ABCD 的面积得出::a b CD BC =；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，求出
30BAE DAF ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出BE AE =
=，
DF ，得出2AB BE =，2AD DF ==，求出平行四边形
ABCD 的周长2())AB AD a b =+=
+；求出ABE ∆的面积212BE AE =⨯=，
ADF ∆的面积2=，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=，得出四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积
22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半；即可得出结论． 【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，
180D C ∴∠+∠=︒，
AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，
360290180EAF C ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，
B D EAF α∴∠=∠=∠=；
平行四边形ABCD 的面积BC AE CD AF =⨯=⨯，AE a =，AF b =， BC a CD b ∴⨯=⨯，
::a b CD BC ∴=；若60α=︒，
则60B D ∠=∠=︒，
30BAE DAF ∴∠=∠=︒，
BE AE ∴==，DF =，
2AB BE ∴==，2AD DF ==，
∴平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；
ABE ∆的面积21122BE AE a =⨯=⨯=，ADF ∆的面积
21122DF AF b =⨯=⨯，平行四边形ABCD 的面积
BC AE a =⨯=
⨯=， ∴四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积
22233()ab a b =-+≠平行四边形ABCD 面积的一半； 综上所述，选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据矩形的性质及正方形的判定进行分析即可．
【详解】
解：四边形ABCD 是矩形，AC BD ⊥，
∴矩形ABCD 是正方形；
四边形ABCD 是矩形，
//AD BC ∴，
DAC BCA ∴∠=∠，
AC 平分BAD ∠，
BAC DAC ∴∠=∠，
BAC ACB ∴∠=∠，
∴AB BC =，
∴矩形ABCD 是正方形；
ADB ABD ∠=∠，
∴AB AD =，
∴四边形ABCD 是矩形，
∴矩形ABCD 是正方形；
故选：B ．
【点睛】
本题考查矩形的判定，解题的关键是掌握正方形的判定方法．
6．A
解析：A
【分析】
根据正方形的判定逐项作出判断即可求解．
解：A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意；
B. 对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意；
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意；
D. 一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意．
故选：A
【点睛】
本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据平行四边形的判定方法即可判断．
【详解】
A 、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定；
B 、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
C 、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定；
D 、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定；
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
8．D
解析：D
【分析】
根据菱形的性质可得到直角三角形，利用勾股定理计算即可；
【详解】
如图，AC 与BD 相较于点O ，
∵四边形ABCD 是菱形，4AC =，
∴AC BD ⊥，2AO =，
又∵∠ABC=60゜，
∴30ABO ∠=︒，
∴24AB AO ==， ∴224223BO =-= ∴243BD BO ==；
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，结合勾股定理计算是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；
B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；
C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；
D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
先证明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四边形AEBD是平行四边形，再逐项依次分析即可．
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB=∠EBA，
∵点F是AB的中点，
∴AF=BF，
∵∠AFD=∠BFE，
∴△ADF≌△BEF，
∴AD=BE，
∵AD∥BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∠=∠时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合A、当BAD BDA
题意；
B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
∠时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；
D、当DE平分ADB
故选：D．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的
性质是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
先由勾股定理求出AB=5，再证四边形CEMF 是矩形，得EF=CM ，当CM ⊥AB 时，CM 最短，此时EF 也最小，则CP 最小，然后由三角形面积求出CM=2.4，即可得出答案．
【详解】
解：连接CM ，如图所示：
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴2222345AC BC ++=，
∵ME ⊥AC ，MF ⊥BC ，∠ACB=90°，
∴四边形CEMF 是矩形，
∴EF=CM ，
∵点P 是EF 的中点，
∴CP=12
EF ， 当CM ⊥AB 时，CM 最短，
此时EF 也最小，则CP 最小，
∵△ABC 的面积=
12AB×CM=12AC×BC ， ∴CM=
•AC BC AB =34 2.45⨯=， ∴CP=12EF=12
CM=1.2， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
如图，过E 作EM AD ⊥于M ，证明//,AD BC 90B ∠=︒，
四边形ABEM 为矩形，再证明5AE AF ==，
求解43ME AB AM BE ====，，可得：2MF =，再利用勾股定理可得
答案．
【详解】
解：如图，过E 作EM AD ⊥于M ，
矩形ABCD ，53AF BE ==，，
//,AD BC ∴ 90B ∠=︒， 四边形ABEM 为矩形，
,AFE CEF ∴∠=∠
由对折可知：,AEF CEF ∠=∠
,AFE AEF ∴∠=∠
5AE AF ∴==，
224AB AE BE ∴=
-=，
四边形ABEM 为矩形，
43ME AB AM BE ∴====，， 2MF ∴=，
22+2 5.EF ME MF ∴=
故选：.C
【点睛】
本题考查的是轴对称的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
13．2【分析】根据直角三角形的性质求出再根据三角形中位线定理计算即可
【详解】解：在中是斜边上的中线分别为的中点是的中位线故答案为：2【点睛】本题考查的是直角三角形的性质三角形中位线定理掌握三角形的中位线 解析：2
【分析】
根据直角三角形的性质求出CD ，再根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，8AB =，
118422
CD AB ∴==⨯=，
E 、
F 分别为DB 、BC 的中点，
EF ∴是BCD ∆的中位线， 114222
EF CD ∴==⨯=， 故答案为：2．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14．60°或90°或150°【分析】首先根据题意作出正方形以及∠AEB 再以E 为圆心EA 为半径作圆与正方形的交点即为满足条件的P 点分类讨论即可【详解】如图所示在正方形ABCD 中∠AEB=105°∵点P 在正
解析：60°或90°或150°
【分析】
首先根据题意作出正方形以及∠AEB ，再以E 为圆心，EA 为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P 点，分类讨论即可．
【详解】
如图所示，在正方形ABCD 中，∠AEB=105°，
∵点P 在正方形的边上，且AE=EP ，
∴可以E 为圆心，EA 为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P 点，
①当P 在AD 上时，如图，AE=EP 1，
∵∠EBA=45°，
∴∠EAB=180°-45°-105°=30°，∠EAP 1=60°，△EAP 1为等边三角形，
∴此时∠AEP 1=60°；
②当P 在CD 上时，如图，AE=EP 2，AE=EP 3，
由①可知∠DEP 1=180°-105°-60°=15°，
∴此时∠DEP 1=∠DEP 2=15°，∠CEP 2=∠AEP 1=60°，
∴此时∠AEP 2=60°+15°+15°=90°；∠AEP 3=2∠AED=2×(180°-105°)=150°，
故答案为：60°或90°或150°．
【点睛】
本题考查正方形的性质以及等腰三角形的判定，熟练运用尺规作图的方式进行等腰三角形的确定是解题关键．
15．75【分析】由将正方形纸片对折折痕为MN 可得MA=MD=由折叠得AB=AH
由四边形ABCD 是正方形得AD=AB 可推出AH=AD=2AM 可求∠AHM=30°利用平行线性质可求∠BAH=30°在△AHB
解析：75．
【分析】
由将正方形纸片对折，折痕为MN ，可得MA=MD=1AD 2
，由折叠得AB=AH 由四边形ABCD 是正方形得AD=AB ，可推出AH=AD=2AM ，可求∠AHM=30°，利用平行线性质可求∠BAH=30°，在△AHB 中，AH=AB 由内角和可求∠ABH=75︒即可．
【详解】
解:∵正方形纸片对折，折痕为MN ，
∴MN 是AD 的垂直平分线 ，
∴MA=MD=1AD 2
， ∵把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，
∴AB=AH ，
∵四边形ABCD 是正方形 ，
∴AD=AB ，
∴AH=AD=2AM ，
∵∠AMH=90°，AM=
1AH 2
， ∴∠AHM=30°，
∵MN ∥AB ，
∴∠BAH=30°，
在△AHB 中，AH=AB ， ∴∠ABH=
()()11180BAH 180307522
︒-∠=︒-︒=︒． 故答案为：75．
【点睛】 本题考查正方形折叠问题，涉及垂直平分线，正方形性质，等腰三角形性质，三角形内角和，关键是30°角所对直角边等于斜边一半逆用求角度．
16．【分析】由题意得出OA=3由平行四边形的性质得出BC ∥OABC=OA=3即可得出结果【详解】解：∵O （00）A （30）∴OA=3∵四边形OABC 是平行四边形∴BC ∥OABC=OA=3∵B （43）∴点
解析：()1,3
【分析】
由题意得出OA=3，由平行四边形的性质得出BC ∥OA ，BC=OA=3，即可得出结果．
【详解】
解：∵O （0，0）、A （3，0），
∴OA=3，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC=OA=3，
∵B（4，3），
∴点C的坐标为（4-3，3），
即C（1，3）；
故答案为：（1，3）．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17．【分析】根据点MNP分别是DEBCCD的中点可以证明MP是ΔDEC的中位线NP是ΔDBC的中位线根据中位线定理可得到MP=NP再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM最后根据三角形的内角和定理可
解析：112
【分析】
根据点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点，可以证明MP是ΔDEC的中位线，NP是
ΔDBC的中位线，根据中位线定理可得到MP=NP，再根据等腰三角形的性质得到
∠PMN=∠PNM，最后根据三角形的内角和定理可以得到∠MPN．
【详解】
解：如图
∵点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点
∴MP是ΔDEC的中位线，
∴MP=1
EC，
2
NP是ΔDBC的中位线
∴NP=1
BD，
2
又∵BD=CE
∴MP=NP
∴∠PMN=∠PNM=34∘
∴∠MPN=180∘-∠PMN-∠PNM=180∘-34∘-34∘=112∘
故答案位：112°
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理求线段的长度．
18．【分析】由题意和图示可知将两个边长为1的正方形沿对角线剪开将所得的四个三角形拼成一个大正方形大正方形的边长恰好是小正方形的对角线的长根据正方形的性质利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可【详解】∵如
【分析】
由题意和图示可知，将两个边长为1的正方形沿对角线剪开，将所得的四个三角形拼成一个大正方形，大正方形的边长恰好是小正方形的对角线的长，根据正方形的性质，利用勾股定理求出小正方形对角线的长即可．
【详解】
∵如图是两个边长为1的小正方形，
∴其对角线的长度
==，
∴
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和勾股定理，熟练运用和掌握以上两个知识点是解题的关键．19．【分析】画出图形证明四边形EFGH是平行四边形得到∠EHG=45°计算出MG得到四边形EFGH的面积从而得到结果【详解】解：如图四边形ABCD是平行四边形EFGH分别是各边中点过点G作EH的垂线垂足
解析：
【分析】
画出图形，证明四边形EFGH是平行四边形，得到∠EHG=45°，计算出MG，得到四边形EFGH的面积，从而得到结果．
【详解】
解：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是各边中点，
过点G作EH的垂线，垂足为M，AC=6，BD=8，
可得：EF=HG=1
2
AC=3，EH=FG=
1
2
BD=4，EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC和BD夹角为45°，
可得∠EHG=45°，
∴△HGM为等腰直角三角形，又∵HG=3，
∴MG=2332
=，
22
⋅=62，
∴四边形EFGH的面积=MG EH
∴平行四边形ABCD的面积为122，
故答案为：122．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形的性质解决问题．
20．【分析】利用矩形和折叠的性质证明
∠ADE=∠ADE=∠ADC=30°∠C=∠ABD=90°推出△DBA≌△DCA那么DC=DB设AB=DC=x在Rt△ADE中通过勾股定理可求出AB的长度【详解】解：3
【分析】
利用矩形和折叠的性质，证明∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°，∠C=∠A'B'D=90°，推出
△DB'A'≌△DCA'，那么DC=DB'，设AB=DC=x，在Rt△ADE中，通过勾股定理可求出AB的长度．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=∠C=∠B=90°，AB=DC，
由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E=∠B=∠A'B'D=90°，
∴∠AED=∠A'ED，∠A'EB=∠A'EB'，BE=B'E，
∴∠AED=∠A'ED=∠A'EB=1
×180°=60°，
3
∴∠ADE=90°-∠AED=30°，∠A'DE=90°-∠A'EB'=30°，
∴∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°，
又∵∠C=∠A'B'D=90°，DA'=DA'，
∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），
∴DC=DB'，
在Rt△AED中，
∠ADE=30°，AD=2，
∴
3
， 设AB=DC=x ，则
∵AE 2+AD 2=DE 2，
∴222233
x x +=+-（（ 解得，x 1
（负值舍去），x 2
，
【点睛】
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质等，解题关键是通过轴对称的性质证明
∠AED=∠A'ED=∠A'EB=60°．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）四边形AFCE 是菱形，理由见解析
【分析】
（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可以得到AD=CB ，AD ∥BC ，从而可以得到∠ADE=∠CBF ，然后根据SAS 证明△ADE ≌△CBF ，从而得出结论；
（2）根据BD 平分∠ABC 和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD 是菱形，从而可以得到AC ⊥BD ，然后即可得到AC ⊥EF ，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE 是平行四边形，然后根据AC ⊥EF ，即可得到四边形AFCE 是菱形．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=CB ，AD ∥BC ，
∴∠ADB=∠CBD ，
∴∠ADE=∠CBF ，
在△ADE 和△CBF 中，
AD CB ADE CBF DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADE ≌△CBF （SAS ），
∴∠E=∠F ；
（2）当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是菱形，
理由：∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠CBD ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC ，OB=OD ，AD ∥BC ，
∴∠ADB=∠CBD ，
∴∠ABD=∠ADB ，
∴AB=AD ，
∴平行四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，
∴AC ⊥EF ，
∵DE=BF ，
∴OE=OF ，
又∵OA=OC ，
∴四边形AFCE 是平行四边形，
∵AC ⊥EF ，
∴四边形AFCE 是菱形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（1）50︒；（2）证明见解析；（3）
52a 或3910a 【分析】
（1）根据已知条件PA 平分BAD ∠且BP AP ⊥以及三角形内角和，即可求得ABP ∠的度数；
（2）延长BP 交AD 的延长线于点G ，由已知条件即可证明ABP AGP ≌，即可得到BA GA =，BP GP =，进而即可证明BCP GDP △≌△，即可得到=BC GD ，通过相等关系，即可证明=+BA BC AD ；
（3）根据题意可知，可以分两种情况进行讨论，分别为：①当//AB EF 时，延长BP 交AD 的延长线于点G ，可知此时四边形ABFE 是平行四边形，可以求得AB 的长度，由（2）中证明的ABP AGP ≌，BCP GDP △≌△，可得BA GA =，BP GP =，
=CP DP ，=BC GD ，进而可以证明CFP ≌DEP ，可得CF DE =，进而通过线段
的等量关系求得AE 的长；②如图3，过B 作BH AD ⊥交AD 于H ，过F 作FI AD ⊥交AD 于I ，
同①可得PFC PED △≌△，则CF DE =，则可得5BF AE BC AD AB a +=+==，
由ABP △和梯形ABCD 的面积关系可得BH 的长度，通过勾股定理即可得到AH 的长度，通过证明Rt BHA △≌Rt FIE △，可得75AH EI a ==，进而通过等量关系即可得到AE 的长．
【详解】
（1）∵PA 平分BAD ∠，BP AP ⊥，
∴11804022
BAP DAP BAD ∠=∠=
∠=⨯︒=︒,90APB ∠=︒， ∴在Rt ABP 中，180180409050ABP BAP APB ∠=︒-∠-∠=-︒-︒=︒； （2）如图1，延长BP 交AD 的延长线于点G ，
∵BP AP ⊥，PA 平分BAD ∠，
∴90APB APG ∠=∠=︒，BAP GAP ∠=∠，
在ABP △和AGP 中，
BAP GAP ∠=∠，AP AP =，APB APG ∠=∠，
∴ABP AGP ≌， ∴BA GA =，BP GP =，
∵//BC AD ，
∴CBP DGP ∠=∠，
在BCP 和GDP △中，
CBP DGP ∠=∠，BP GP =，CPB DPG ∠=∠，
∴BCP GDP △≌△，
∴=BC GD ，
∴BA GA AD GD AD BC ==+=+；
（3）分两种情况讨论，
①当//AB EF 时，如图2，延长BP 交AD 的延长线于点G ，
∴由已知条件可知，此时四边形ABFE 是平行四边形，
∴AE BF =，
∵3BP a =，4AP a =，BP AP ⊥，
∴在Rt ABP 中，222AB BP AP =+，解得，5AB a =，
由（2）可知，ABP AGP ≌，
∴5BA GA a ==，3BP GP a ==，
由（2）可知，BCP GDP △≌△，
∴=CP DP ，=BC GD ，
∵//BC AD ，
∴BFP GEP ∠=∠，
在CFP 和DEP 中，
CFP DEP ∠=∠，=CP DP ，CPF DPE ∠=∠，
∴CFP ≌DEP ，
∴CF DE =，
∵=BC GD ，
∴BC CF GD DE +=+,
∴BF EG =，
又∵四边形ABFE 是平行四边形，
∴BF AE =,
∴BF AE EG ==,
∴25AG AE a ==， ∴52
AE a =；
图2
②如图3，过B 作BH AD ⊥交AD 于H ，过F 作FI AD ⊥交AD 于I ，
同①可得PFC PED △≌△，
∴CF DE =，
∴BF AE BF AD DE BF AD CF BC AD +=++=++=+，
∴5BF AE BC AD AB a +=+==，
在Rt ABP 中，2162
ABP S BP AP a =⋅=△， 由（2）可知，梯形ABCD 的面积2212ABP S a ==△，
梯形ABCD 的面积2122BC AD BH a +=
⨯=， 解得，245
BH a =， 在Rt ABH 中，2275AH AB BH a =
-=，
∵//BC AD ，
∴BH FI =，BF HI =，
∵在Rt BHA △和Rt FIE △中，
BH FI =，AB EF =，
∴Rt BHA △≌Rt FIE △， ∴75AH EI a ==， ∴2()BF AE BF AH EI HI BF AH +=+++=+，
∴2()BF AE BF AH +=+，
∴1110
BF a =， ∴3910AE AB BF a =-=
．
图3
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的证明和性质、三角形面积、梯形面积、线段的和差、三角形内角和等知识，解答本题的关键是正确的作出辅助线，证明三角形全等．
23．（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】
(1)连接CE ，CF ，先利用勾股定理计算EF ，EC ，CF 的长，再利用勾股定理的逆定理，判定三角形的形状即可；
(2)过点E 作BC 的垂线E 1G ，连接1G D ，取CD ，C 1G 的中点即可，过点E 作E 1H ⊥1G D ，垂足为1H ，也可以得到符合题意的平行四边形.
【详解】
解：（1）在图1中，连接CE ，CF ，
则EFC 即为所作；理由如下：
∵4AB =，6AD =，2AE =，F 是AB 的中点，
∴AF=BF=2，ED=4，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，
∴2EF =22AE AF +=8，
2EC =22DE DC +=32，
2CF =22BC BF +=40，
∵2EF +2EC =2CF ，
∴EFC 是直角三角形.
（2）如图2，四边形EFGH 即为所作．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定定理是解题的关键.
24．（1）全等，理由见解析；（2）52t =
秒，点Q 的运动速度为12cm/s 5
． 【分析】
（1）由题意可得BP ＝CQ ，BE ＝CP ，由“SAS”可证△BPE ≌△CQP ；
（2）由全等三角形的性质可得BP ＝CP ＝5，BE ＝CQ ＝6，即可求点Q 的速度．
【详解】
解：（1）全等．
理由：由题意：2BP CQ t ==，
当2t =时，4BP CQ ==， 10AB BC ==，4AE =，
1046BE CP ∴==-=，
在BPE ∆与CQP ∆中
BP CQ B C BE CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
BPE CQP ∴∆≅∆；
（2）P 、Q 运动速度不相等，
BP CQ ∴≠，
90B C ∠=∠=︒，
∴当BP CP =，CQ BE =时，BPE CPQ ∆≅∆，
152
BP CP BC ∴===，6CQ BE ==， ∴当5522
t =÷=（秒）时，BPE CPQ ∆≅∆， 此时点Q 的运动速度为5126(/)25cm s ÷
=． 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质解决问题是本题的关键．
25．（1）
②CE=CB ；∠BCE=2∠A ；（2）①补全的图形见解析；
②
【分析】
（1）①由D 是BC 的中点及CD ⊥AB ，根据勾股定理即可求解；②证明△ADC ≌△BDC ，继而得到BC=CE ，根据∠BCE=∠CAB+∠CBA ，∠CAB=∠CBA ，即可得到∠BCE=2∠A ； （2）①根据题干补全图形即可；②作∠ACM=∠BCE ，在射线CM 上截取CF=CA ，连接BF 、AF ，过点C 作CG ⊥AF 于点G ，利用已知条件先证△ACE ≌△FCB ，得到AE=BF ，然后再证四边形ADCG 是矩形，可求得AG=CD=2AF ，Rt △BAF 中，利用勾股定理即可求出BF ，继而可得AE 的长．
【详解】
解：（1）①∵D 是BC 的中点，CD ⊥AB ，
∴
∠ADC=∠BDC =90°，
∴在Rt △ADC
中，可得：AC ==
②如图，延长AC 至点E ，使CE=AC ，
在△ADC 和△BDC 中，
DC DC AD BD
ADC BDC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ADC ≌△BDC ，
∴AC=BC ，
又∵AC=CE ，
∴CB=CE ，
∵∠BCE=∠CAB+∠CBA ，∠CAB=∠CBA ，
∴∠BCE=∠CAB+∠CAB=2∠CAB ，
即∠BCE=2∠A ；
（2）①补全的图形见下图：
②如图，作∠ACM=∠BCE ，在射线CM 上截取CF=CA ，连接BF 、AF ，过点C 作CG ⊥AF 于点G ，
∴∠ACM+∠FCE=∠BCE+∠FCE，即∠ACE=∠FCB，
∵CE=CB，
∴△ACE≌△FCB，
∴AE=BF，
又∵CG⊥AF，
∴∠CGF=90°，
∵CF=CA，
∴∠ACF=2∠ACG，AF=2AG，
又∵∠BCE=2∠BAC，∠ACF=∠BCE，
∴∠ACG=∠BAC，
∴CG∥AD，
∴∠AGC=∠BAF=∠ADC=90°，
∴四边形ADCG是矩形，
∴2，
∴AF=2，
在Rt△BAF中，∠BAF=90°，AB=23，AF=2
∴222025
=+==
BF AB AF
又∵AE=BF，
∴AE=25
即AE的长为5
【点睛】
本题考查全等三角形、等腰三角形、矩形的判定和性质、勾股定理及尺规作图，解题的关键是综合运用这些知识．
26．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AB ＝CD ，∠DAE ＝∠AEB ，利用AE 平分∠BAD ，推出∠BAE ＝∠AEB ，得到BE=AB ，即可得到结论；
（2）根据BE ＝AB ，BF 平分∠ABE ，得到AF ＝EF ，证明△ADF ≌△ECF ，推出DF ＝CF ，即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AB ＝CD ，
∴∠DAE ＝∠AEB ，
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE ＝∠DAE ，
∴∠BAE ＝∠AEB ，
∴BE ＝AB ，
∴BE=CD ；
（2）∵BE ＝AB ，BF 平分∠ABE ，
∴AF ＝EF ，
在△ADF 和△ECF 中，
DAE AEB AF EF
AFD EFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ADF ≌△ECF ，
∴DF ＝CF ，
又∵AF ＝EF ，
∴四边形ACED 是平行四边形．
【点睛】
此题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．。