辽宁省沈阳市第一二〇中学高三数学理联考试卷含解析

辽宁省沈阳市第一二〇中学高三数学理联考试卷含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设变量x，y满足约束条件：的最大值为（）
A．10 B．8 C． 6 D． 4
参考答案：
C
略
2. 设全集为R，则
（）
A．B．C．
D．
参考答案：
B
略
3. 直线l过双曲线焦点F且与实轴垂直,A,B是双曲线C 的两个顶点, 若在l上存在一点P,使,则双曲线离心率的最大值为（）
A．B．C．2 D．3
参考答案：
A
由题设可知
,即,解之得,即,故.应选A.
4. 函数的图象大致是（）
A．B．C．
D．
参考答案：
D
【考点】函数的图象．
【分析】利用函数的奇偶性排除选项，特殊值的位置判断求解即可．
【解答】解：函数是偶函数，排除B，x=e时，y=e，即（e，e）在函数的图象上，排除A，
当x=时，y=，当x=时，y=﹣=，，
可知（，）在（）的下方，
排除C．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．
5. 若变量满足约束条件则的最大值等于（）
A．11 B．10 C．8 D．7
参考答案：
B
解析：本题考查线性规划问题。

在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由（0，0），（0，3），（2，3），（4，2），（4，0）组成的五边形。

由于该区域有限，可以通过分别代这五个边界点进行检验，易知当x=4，y=2时，z=2x+y取得最大值
10。

本题也可以通过平移直线，当直线经过（4，2）时，截距达到最大，即取得最大值10.故选答案B.
6. （5分）（2015?济宁一模）设变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣2y的取值范围为（）
A．[1/3,4] B．[1/2,4] C．[1,4] D．
参考答案：
D
【考点】：简单线性规划．
【专题】：不等式的解法及应用．
【分析】：由约束条件作出可行域，令t=x﹣2y，由线性规划知识求得t的范围，再由指数函数的值域得答案．
解：由约束条件作出可行域如图，
令t=x﹣2y，化为直线方程的斜截式得：，
联立，解得A（﹣2，﹣2），
联立，解得C（﹣1，2）．
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，t最大，最大值为2；
当直线过C时，直线在y轴上的截距最大，t最小，最小值为﹣5．
则t∈，
由z=2x﹣2y=2t t∈，
得z∈．
故选：D．
【点评】：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了指数函数的值域，是中档题．
7. 已知，则的值为 ( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
8. 已知函数的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4，8]，当x1＜x2时，都有＞0；
②f（x+4）=﹣f（x）；
③y=f（x+4）是偶函数；
若a=f（6），b=f（11），c=f（2017），则a，b，c的大小关系正确的是（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a
参考答案：
B
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】根据题意，由①分析可得函数f（x）在区间[4，8]上为增函数，由②分析可得函数f（x）的周期为8，由③分析可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣4和x=4对称，进而分析可得a=f（6），b=f（11）=f（3）=f（5），c=f（2017）=f（252×8+1）=f（1）=f （7），结合函数在[4，8]上的单调性，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，
若对任意的x1，x2∈[4，8]，当x1＜x2时，都有＞0，则函数f（x）在区间[4，8]上为增函数，
若f（x+4）=﹣f（x），则f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为8，
若y=f（x+4）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x=﹣4对称，又由函数的周期为8，则函数f（x）的图象也关于直线x=4对称，
a=f（6），b=f（11）=f（3）=f（5），c=f（2017）=f（252×8+1）=f（1）=f（7），
又由函数f（x）在区间[4，8]上为增函数，
则有b＜a＜c；
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的应用，关键是依据题意，分析函数的单调性和周期性．
9. 复数z满足z（1+i）=|1﹣i|，则复数z的虚部是（）
A．﹣1 B．1 C．﹣D．
参考答案：
C
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】解：∵z（1+i）=|1﹣i|，∴z（1+i）（1﹣i）=（1﹣i），∴z=﹣i，
则复数z的虚部是﹣，
故选：C．
10. 某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为
A．B．
C．D．
参考答案：
A
【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】该三棱锥的底面是以2为底，以为高的三角形，高为1，
所以
故答案为：A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量，若⊥，则的最大值
为．
参考答案：
12. 已知底面边长为, 各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-A B C 的四个顶点都在同一球面上, 则此球的表面积为。

参考答案：
13. 已知，其中为锐角，则的值为．参考答案：
；
14. 已知直线l1： x﹣y+2=0，l2：3x+y﹣5=0，则直线l1与l2的夹角是．
参考答案：
【考点】两直线的夹角与到角问题．
【分析】先根据直线的斜率求出直线的倾斜角，再利用两条直线的倾斜角的大小求出这两条直线的夹角．
【解答】解：因为直线l1的斜率为，故倾斜角为60°，直线l2的斜率为﹣，倾斜角为120°，故两直线的夹角为60°，
即两直线的夹角为，故答案为．
15. 已知函数，则满足不等式的的取值范围是.
参考答案：
当时，函数，且单调递增。

所以由可得或者，即或，所以或
，即或，所以，即满足不等式
的的取值范围是。

16. (理)在极坐标系中，定点，点在直线上运动，则线段的最短长度为．
参考答案：
17. 已知数列中，，则
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．
【解答】解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y均为整数．
由图知直线y=﹣x+P过M（4，9）时，纵截距最大．
这时P也取最大值P max=6×4+8×9=96（百元）．
故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
19. （08年全国卷2理）（本大题满分12分）
设数列的前n项和为.已知，，.
(Ⅰ)设，求数列的通项公式；
(Ⅱ) 若，，求a的取值范围.
参考答案：
解：（Ⅰ）依题意，，即，
由此得．
因此，所求通项公式为
，．①
（Ⅱ）由①知，，
于是，当时，
，
，
当时，
．
又．
综上，所求的的取值范围是．
20. (本小题满分12分)
某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目(每名大学生只参加一个项目的服务)。

(1)求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率；
(2)设X，Y分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).
参考答案：
【知识点】古典概型的概率；离散型随机变量的分布列、均值和方差 K2 K6 K8【答案解析】
解：
（Ⅰ）设5名大学生中恰有i名被分到体操项目的事件为Ai，（i＝0，1，2，3，4，5），
则．
…4分
（Ⅱ）ξ的所有可能取值是1，3，5．
…12分
【思路点拨】（Ⅰ）设5名大学生中恰有i名被分到体操项目的事件为Ai，（i=0，1，2，3，4，5），由此利用等可能事件概率计算公式能求出5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率．
（Ⅱ）ξ的所有可能取值是1，3，5．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）
21. (本小题满分13分)
已知函数.
(1) 若函数的定义域和值域均为，求实数的值；
(2) 若在区间上是减函数，且对任意的，
总有，求实数的取值范围；
(3) 若在上有零点，求实数的取值范围.
参考答案：
解：（1）在上的减函数，
在上单调递减
且………………………………2分
……………………………………………………………………4分（2）在区间上是减函数，
在上单调递减，在上单调递增
，………6分
对任意的，总有
，……………………………………………………8分
即又， (9)
分
（3）在上有零点，在上有解。

在上有解……………………………………………11分
……………………………………13分
略
22. 已知椭圆：=l（a＞b＞0）的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心率等于．
（1）求椭圆的方程．
（2）Q是椭圆上位于x轴下方的一点，F1F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为，求△QF1F2的面积；
（3）以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，判断这样的三角形存在吗？若存在，有几个？若不存在，请说明理由．
参考答案：
（1）易知b=1，由离心率为，得，再由a2=b2+c2可求得a，于是得到椭圆方程；
（2）易求直线QF1的方程，与椭圆方程联立可求得点Q的坐标，由三角形面积公式得=，代入即可求得答案；
（3）假设这样的三角形存在，设AB的方程为y=kx+1（k＞0），则BC的方程为
y=﹣x+1，分别于椭圆方程联立可求得点A、C的横坐标，由|AB|=|BC|得点A、C 的横坐标的方程，综上可得关于k的方程，解出即可；
解：（1）依题意，b=1，因为离心率等于，
所以，解得a2=4，
所以椭圆方程为：；
（2）F1（﹣，0），直线QF1：y=，代入中，
得，，又，
所以==；
（3）假设这样的三角形存在，设AB的方程为y=kx+1（k＞0），则BC的方程为y=﹣x+1，
由，得（4k2+1）x2+8kx=0，解得①，
由，得（k2+4）x2﹣8kx=0，解得②，
因为|AB|=|BC|，得：，
将y A=kx A+1，代入得：
，，
将①②代入得：k2（4+k2）2=（4k2+1）2，即[k（4+k2）+1+4k2][k（4+k2）﹣（1+4k2）]=0，
因为k＞0，k（4+k2）+1+4k2＞0，得（k﹣1）（k2﹣3k+1）=0，
解得k=1，k=，k=，
所以存在这样的等腰直角三角形．。