2019年四川省乐山中考数学试卷含答案

数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）
绝密★启用前
四川省乐山市2019年初中学业水平考试
数 学
本试题卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题),共8页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.考生作答时,不能使用任何型号的计算器.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分. 1.3-的相反数是
( ) A .3
B .3-
C .13
D .13-
2.下列四个图形中,可以由图1通过平移得到的是
( )
A B C D 3.小强同学从1-,0,1,2,3,4这六个数中任选一个数,满足不等式12x +<的概率是
( )
A .15
B .14
C .13
D .12
4.a -一定是
( ) A .正数 B .负数 C .0 D .以上选项都不正确 5.如图2,直线a b ∥,点B 在a 上,且AB BC ⊥.若135︒∠=,那么2∠等于
( )
A .45︒
B .50︒
C .55︒
D .60︒
6.不等式组2632105
4x x
x x -<⎧⎪
+-⎨-≥⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是 ( )
A
B
C
D
7.《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物,人出八,盈三；人出七,不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物,每人出8钱,会多3钱；每人出7钱,又差4钱。

问人数、物价各多少？”根据所学知识,计算出人数、物价分别是
( ) A .1,11
B .7,53
C .7,61
D .6,50 8.把边长分别为1和2的两个正方形按图3的方式放置.则图中阴影部分的面积为
( )
A .16
B .1
3
C .15
D .14
9.如图4,
在边长为的菱形ABCD 中,30B ∠=︒,过点A 作AE BC ⊥于点E ,现将
ABE △沿直线AE 翻折至AFE △的位置,AF 与CD 交于点G .则CG 等于 ( )
A
1
B .1
C .12
D
10.如图5,抛物线2
144
y x =
-与x 轴交于A 、B 两点,P 是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q 是线段PA 的中点,连结OQ .则线段OQ 的最大值是 ( )
毕业学校_____________姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------答--------------------
题--------------------
无--------------------
效
----------------
数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）
A .3
B
.
2
C .72
D .4
第Ⅱ卷(非选择题 共120分)
二、填空题：本大题共6个小题,每小题3分,共18分. 11.12
-的相反数是 .
12.某地某天早晨的气温是2- ℃,到中午升高了6 ℃,晚上又降低了7 ℃.那么晚上的温度是 ℃.
13.若392m n ==.则23=m n + .
14.如图6,在ABC △中,30B ∠=︒,2AC =,3
cos 5
C =
.则AB 边的长为 .
15.如图7,点P 是双曲线C ：4
(x>0)y x
=
上的一点,过点P 作x 轴的垂线交直线AB ：1
22
y x =
-于点Q ,连结OP ,OQ .当点P 在曲线C 上运动,且点P 在Q 的上方时,POQ △面积的最大值是 . 16.如图8.1,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,30B ︒∠=,直线l AB ⊥.当直线l 沿射线BC 方向,从点B 开始向右平移时,直线l 与四边形ABCD 的边分别相交于点E 、F .设直线l 向右平移的距离为x ,线段EF 的长为y ,且y 与x 的函数关系如图8.2所示,则四边形ABCD 的周长是 .
三、本大题共3个小题,每小题9分,共27分.
17.计算：()1
0120192sin 302π-︒⎛⎫
--+ ⎪⎝⎭
.
18.如图9,点A 、B 在数轴上,它们对应的数分别为2-,1
x
x +,且点A 、B 到原点的距离相等.求x 的值.
19.如图10,线段AC 、BD 相交于点E ,AE DE =,BE CE =.求证：B C ∠=∠.
四、本大题共3个小题,每小题10分,共30分.
20.化简：2222111x x x x
x x -+-÷
-+.
21.如图11,已知过点(1,0)B 的直线1l 与直线2l ：24y x =+相交于点(1,)P a -. (1)求直线1l 的解析式； (2)求四边形PAOC 的面积.
数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）
22.某校组织学生参加“安全知识竞赛”(满分为30分),测试结束后,张老师从七年级720名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图,如图12所示.试根据统计图提供的信息,回答下列问题：
(1)张老师抽取的这部分学生中,共有 名男生, 名女生； (2)张老师抽取的这部分学生中,女生成绩的众数是 ；
(3)若将不低于27分的成绩定为优秀,请估计七年级720名学生中成绩为优秀的学生
人数大约是多少.
五、本大题共2个小题,每小题10分,共20分.
23.已知关于x 的一元二次方程2(4)40x k x k -++=.
(1)求证：无论k 为任何实数,此方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根为1x 、2x ,满足12113
4
x x +
=,求k 的值； (3)若Rt ABC △的斜边为5,另外两条边的长恰好是方程的两个根1x 、2x ,求
Rt ABC △的内切圆半径.
24.如图13,直线l 与O 相离,OA l ⊥于点A ,与O 相交于点P ,5OA =.C 是直线l 上
一点,连结CP 并延长交O 于另一点B ,且AB AC =. (1)求证：AB 是O 的切线； (2)若O 的半径为3,求线段BP 的长.
六、本大题共2个小题,第25题12分,第26题13分,共25分.
25.在ABC △中,已知D 是BC 边的中点,G 是ABC △的重心,过G 点的直线分别交AB 、
AC 于点E 、F .
(1)如图14.1,当EF BC ∥时,求证：
1BE CF
AE AF
+=； (2)如图14.2,当EF 和BC 不平行,且点E 、F 分别在线段AB 、AC 上时,(1)中的结论是否成立？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由.
(3)如图14.3,当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时,(1)中的结论是否成立？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由.
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------上--------------------答--------------------
题--------------------
无--------------------
效
----------------
毕业学校_____________姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）
26.如图15,已知抛物线(2)(6)y a x x =+-与x 轴相交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,
且3
an 2t CAB ∠=.设抛物线的顶点为M ,对称轴交x 轴于点N .
(1)求抛物线的解析式；
(2)P 为抛物线的对称轴上一点,(,0)Q n 为x 轴上一点,且PQ PC ⊥. ①当点P 在线段MN (含端点)上运动时,求n 的变化范围； ②当n 取最大值时,求点P 到线段CQ 的距离；
③当n 取最大值时,将线段CQ 向上平移t 个单位长度,使得线段CQ 与抛物线有两个交点,求t 的取值范围.
四川省乐山市2019年初中学业水平考试
数 学
第Ⅰ卷
一、选择题 1.【答案】A
【解析】负数的绝对值是它的相反数，故选A. 【考点】绝对值的理解 2.【答案】D
【解析】平移前后的图像的大小、形状、方向是不变的，故选D. 【考点】图像的平移 3.【答案】C
【解析】因为12x +＜的解集是1x ＜，六个数中满足条件的有2个，故概率是1
3
.
4.【答案】D
【解析】因为a 可正、可负、也可能是0，所以选D. 5.【答案】C
【解析】因为直线a b ∥，所以135BAC ∠=∠=︒，又因为90ABC ∠=︒，所以
903555
BCA ∠=︒-︒=︒，所以255BCA ∠=∠=︒，故选C. 6.【答案】B
【解析】因为263x x -<，解得：6x >-；因为21
054x x +-⎧-≥⎨⎩
，解得：13x ≤；所以不等式组的解集是：613x -<≤，故选B. 7.【答案】B
【解析】解设人数x 人，物价y 钱.
⎩⎨
⎧=+=-y
x y
x 4738 解得：7
53x y =⎧⎨=⎩
，故选B.
8.【答案】A
【解析】阴影部分面积211
1326
=⨯⨯=
9.【答案】A
【解析】因为30B ∠=︒
，AB =AE BC ⊥，所以32BE =
，所以3
2
EC
，则3CF =，又因为CG AB ∥，所以CG CF
AB BF
=
，所以1CG =，故选A. 10.【答案】C
【解析】因为抛物线2
144
y x =
-与x 轴交于A 、B 两点，所以(4,0), (4,0)A B -
，即
数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）
4OA =.又因为P 在圆C 上，且半径为2，即2,3CP OC ==，Q 是AP 上的中点.所以当AP 与圆C 相切时OQ 最大。

可得90APC ∠=︒，连接AC ，在Rt ACO △中由勾股定理得5AC =，连接BC ，可知BCP 在同一直线上，所以7BP BC CP =+=，
因为Q 为AP 中点，O 为AB 中点，所以17
22
OQ BP =
=. 第Ⅱ卷
二、填空题
11.【答案】1
2
【解析】12-的相反数是1
2
.
【考点】相反数的概念 12.【答案】3-
【解析】因为2673-+-=-，所以答案是3-. 13.【答案】4
【解析】因为2233239224m n m n m n +=⨯=⨯=⨯=.
14.【答案】16
5
【解析】过A 作AD BC ⊥于D 点，因为3cos 5CD C AC =
=，2AC =，则6
5
CD =，由勾股定理得：85AD =，又因为30B ∠=︒，所以16
5
2AB AD ==
. 15.【答案】3
【解析】因为1
22
y x =-交x 轴为B 点，交y 轴于点A ，则(0,
2), (4,0A B -，42OB OA ==，.令PQ 与x 轴的交点为E ，因为P 在曲线C 上，所以OPE △的面积恒为2，所以当OEQ △面积最大时POQ △的面积最大，所以当Q 为AB 中点时
OEQ △为1，故答案是3.
16.
【答案】10+
【解析】由题意和图像易知5BC =，743AD =-=，当4BE =时（即F 与A 重合），
2EF =，又因为l AB ⊥且30B ∠=︒，
所以AB =因为当F 与A 重合时，把CD 平移到E 点位置可得三角形AED '为正三角形，所以2CD =
，故答案时10+.
三、
17.【答案】2
【解析】原式1
2122
=-+⨯
211=-+ 2=
18.【答案】2x =-
【解析】根据题意得：
21
x
x =+， 去分母，得2(1)x x =+， 去括号，得22x x =+， 解得2x =-
经检验，2x =-是原方程的解.
19.【答案】证明：在AEB △和DEC △中， AE DE =，BE CE =,AEB DEC ∠=∠ AEB DEC ∴△≌△， 故B C ∠=∠，得证. 四、
20.【答案】1
x
【解析】原式2(1)(1)
(1)(1)1
x x x x x x ÷--=
+-+ (1)1
(1)(1)
x x x x x -+=
⨯+- 1x
=
21.【答案】（1）1y x =-+
（2）52
【解析】（1）点(1,)P a -在直线224l y x =+：上， 2(1)4a ∴⨯-+=，即2a =， 则P 的坐标为(1,2)-，
设直线1l 的解析式为：(0)y kx b k =+≠， 那么02k b k b +=⎧⎨-+=⎩
，
解得：1
1k b =-⎧⎨=⎩
. 1l ∴的解析式为：1y x =-+.
（2）直线1l 与y 轴相交于点C ，
C ∴的坐标为)1,0(，
又 直线2l 与x 轴相交于点A ， A ∴点的坐标为(2,0)-，则3AB =，
而PAB BOC PAOC S S S =-△△四边形，
115
3211222
PAOC S ∴=⨯⨯-⨯⨯=四边形.
22.【答案】（1）40 40
（2）27 （3）396
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【解析】（3）27123244
7207203968080
+++⨯
=⨯=（人）
五、
23.【答案】（1）见解析 （2）2k = （3）1r = 【解析】（1）证明： 222(4)16816(4)0k k k k k ∆=+-=-+=-≥， ∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根. （2）由题意得：124x x k +=+，124x x k ⋅=，
12113
4x x +=，121234x x x x +∴=⋅，即4344k k +=， 解得：2k =.
（3）解方程得：14x =，2x k =， 根据题意得：22245k +=，即3k =，
设直角三角形ABC 的内切圆半径为r ，如图， 由切线长定理可得：(3)(4)5r r -+-=，
∴直角三角形ABC 的内切圆半径345
=12
r +-=.
24.【答案】（1）见解析
（2）BP =【解析】（1）如图，连结OB ，则OP OB =， OBP OPB CPA ∴∠=∠=∠，
AB AC =，ACB ABC ∴∠=∠， 而OA l ⊥，即90OAC ∠=︒， 90ACB CPA ∴∠+∠=︒， 即90ABP OBP ∠+∠=︒， 90ABO ∴∠=︒， OB AB ∴⊥， 故AB 是O 的切线.
（2）由（1）知：90ABO ∠=︒， 而5OA =，3OB OP ==， 由勾股定理，得：4AB =，
过O 作OD PB ⊥于D ，则PD DB =， 在ODP △和CAP △中，
OPD CPA ∠=∠，90ODP CAP ∠=∠=︒， ODP CAP ∴∽△△， PD OP PA CP
∴=， 又4AC AB ==，2AP OA OP =
-=，
PC ∴
，
OP PA PD CP ⋅∴
=
2BP PD ∴==. 六、
25.【答案】（1）G 是ABC △重心，1
2
DG AG ∴=, 又
EF BC ∥,
12BE DG AE AG ∴
==,1
2CF DG AF AG ==, 则
11
122BE CF AE AF +=+=. （2）（1）中结论成立，理由如下：
如图，过点A 作AN BC ∥交EF 的延长线于点N ，FE 、CB 的延长线相交于点M ，
则BE BM AE AN =，CF CM
AF AN
=，
BE CF BM CM BM CM
AE AF AN AN AN
+∴+=+=， 又BM CM BM CD DM +=++， 而D 是BC 的中点，即CD BD =， 2BM CM BM BD DM DM DM DM ∴+=++=+=,
2BE CF DM AE AF AN ∴+=， 又
12DM DG AN AG ==，1
212BE CF AE AF ∴+=⨯=，故结论成立. （3）（1）中结论不成立，理由如下：
当F 点与C 点重合时，E 为AB 中点，BE AE =, 点F 在AC 的延长线上时，BE AE >,
1BE AE
∴>,则
1BE CF AE AF +>， 同理：当点E 在AB 的延长线上时，1BE CF
AE AF
+>， ∴结论不成立.
26.【答案】（1）1
(2)(6)4
y x x =-+-
（2）①7
48
n ≤≤
②2
③49316
t ≤< 【解析】（1）根据题意得：)0,2(-A ,)0,6(B ，
在Rt AOC △中， 3
tan 2CO CAO AO ∠=
=,且2=OA ,得3=CO ， )3,0(C ∴,将C 点坐标代入(2)(6)y a x x =+-得：1
4
a =-，
4
l
数学试卷 第13页（共14页）
数学试卷 第14页（共14页）
故抛物线解析式为：1
(2)(6)4
y x x =-+-.
（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：2=x ，顶点(2,4)M ， 设P 点坐标为)2(m ，（其中40≤≤m ），
则2222(3)PC m =+-，222(2)PQ m n =+-，2223CQ n =+，
PQ PC ⊥,∴在Rt PCQ △中，由勾股定理得：222PC PQ CQ +=, 即2222222(3)(2)3m m n n +-++-=+，整理得：
221137
(34)()2228
n m m m =-+=-+（04m ≤≤），
∴当32m =时，n 取得最小值为7
8；当4m =时，n 取得最大值为4，
所以，7
48
n ≤≤.
②由①知：当n 取最大值4时，4=m ， (2,4)P ∴，)0,4(Q ，
则PC ,PQ =,5CQ =， 设点P 到线段CQ 距离为h ，
由11
22PCQ S CQ h PC PQ =⋅=⋅△，
得：2PC PQ
h CQ
⋅=
=，故点P 到线段CQ 距离为2； ③由②可知：当n 取最大值4时，(4,0)Q .
∴线段CQ 的解析式为：334
y x =-+，
设线段CQ 向上平移t 个单位长度后的解析式为：3
34
y x t =-++，
当线段CQ 向上平移，使点Q 恰好在抛物线上时，线段CQ 与抛物线有两个交点，
此时对应的点'Q 的纵坐标为：1
(42)(46)34
-+-=，
将'(4,3)Q 代入3
34
y x t =-++得：3t =，
当线段CQ 继续向上平移，线段CQ 与抛物线只有一个交点时，
联解1(2)(6)4
334y x x y x t ⎧=-+-⎪⎪⎨
⎪=-++⎪⎩ 得：13
(2)(6)344x x x t -+-=-++，化简得：
2
740x x t -+=，
由49160t ∆=-=，得49
16
t =，
∴当线段CQ 与抛物线有两个交点时，49316
t ≤<
.。