江苏南通四所名校2011届高三数学一轮复习 直线与圆、圆与圆的位置关系课件

∴最长的弦为过A及圆心时， 即弦长为圆的直径4；
弦长最短时，是与AC垂直的弦， 弦长为22 .
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34
课堂互动讲练
考点四
直线与圆的综合问题
此类问题包含知识较多， 多与方程、向量、不等式相结 合，解决问题时，首先由直线 与圆的知识入手，然后转化为 方程等知识解决．
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35
课堂互动讲练
例4 (解题示范)(本题满分 14 分) 已知：过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆
答案：2 2 －1
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11
三基能力强化
4．(2008年高考重庆卷改编)圆O1： x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的 位置关系是________．
解析：圆O1：(x－1)2＋y2＝1， 圆O2：x2＋(y－2)2＝22， ∵O1O2＝ (1－0)2＋(0＋2)2 5
＝， 答∴案|2：－相1|交＜O1O2＜2＋1，∴两圆
【点评】 弦的相关问题不外乎用 代数法或几何法解决，几何法侧重于图 形特征，代数法侧重于运算，当条件具 备有几何图形的某些特征时，用几何法 解答会更方便快捷．
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33
课堂互动讲练
互动探究
3．已知点A(1,1)，求过点A的圆x2＋ y2－4y＝0的最长与最短的弦长．
解：圆x2＋y2－4y＝0圆心为 C(0,2)，r＝2，点A(1,1)在该圆内，h来自17课堂互动讲练
(2)设与l平行的直线是l1：x－3y ＋b＝0，
则圆|3心m－到3(直m－线1l)1＋的b距| 离|3＋为b|
10
d＝
10
＝
.
∵圆的半径为r＝5，
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18
课堂互动讲练
∴当d<r，即－510 －3＜b＜105 －3时，直线与圆相交；
当d＝r，即b＝±510 －3时， 直线与圆相切；
【点评】 圆与圆的位置关系主要 集中在相交问题上，本题构造圆与圆相 交，从而使问题能简便处理，圆C1：x2＋ y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，与圆C2：x2＋y2＋ D2x＋E2y＋F2＝0相交有公共弦，其直线 方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
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26
课堂互动讲练
跟踪训练
2．(2009年高考四川卷)若
消元Δ，>0 得到一元二次方程判别 式为ΔΔ＝，0 则
Δ<0
⇔直线与圆相交；
⇔直线与h 圆相切；
4
基础知识梳理
若过一点P作圆的切线，用 点斜式方程写出切线方程，并 与圆的方程联立，用Δ＝0来求 切线的斜率，若斜率有两解， 则切线有两条；若斜率有一解， 则切线只有一条，这种求切线 方程的方法对吗？
h
12
2
的距离2d＝2 ＝ ，2 而0< <1，
由d<r且d≠0，得直线与圆相交但不
答案：相交
过圆心．
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9
三基能力强化
2．从圆(x－1)2＋(y－1)2＝ 1外一点P(2,3)向这个圆引一条 切线，则切线长为________．
答案：2
h
10
三基能力强化
3．圆x2＋y2－4x－4y＋7 ＝0上的动点P到直线x＋y＝0 的最小距离为_____．
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40
课堂互动讲练
(3)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由① 得
x1＋x2＝41＋＋4kk2 x1x2＝1＋7 k2
，11 分
∴O→M·O→N＝x1x2＋y1y2 ＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝4k1(＋1＋k2k)＋8＝12.
∴k＝1(代入①检验符合题意).14 分
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2
基础知识梳理
2．直线l∶Ax＋By＋C＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 的位置关系
(1)|几Aa＋ 何B方b＋法C|： 圆心(aA2，＋Bb2)到直线Ax＋By
＋Cd＝<r0的距离
d＝r
dd>＝r
，
⇔直线与h圆相交；
3
基础知识梳理
(2)A代x＋数By方＋法C＝：0， 由(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
5
基础知识梳理
【思考·提示】 不对．在以上的方法中， 还应注意点P的位置，点P在圆上时，切线只有一 条，点P在圆外时，切线一定有两条，若用以上 方法求斜率值时，只有一解，说明，另一条切线 的斜率不存在，即切线还是应该有两条，只不过 一条切线的斜率存在，一条切线的斜率不存在．
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6
基础知识梳理
3．圆与圆的位置关系
(1)几何方法：
两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝dr>1r21(＋r1r>2 0)
与心(距xd|dr－＝为＝1－|rardr11＋22－，|<)r2rd22＋<则| r1(＋yr－⇔2 b两2)圆2＝相⇔r2外2两(r切2圆>；0相)的离圆；
0≤d<|r1－r2|
⇔两圆相交；
⇔两圆内切；
⇔h两圆内含(d＝0时 7
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41
课堂互动讲练
【点评】 本题涉及的知识点很多， 虽然含有向量，但只是用到了平面向量 最基本的知识，最后还是很常规的用到 点到直线的距离、根与系数的关系等方 法，能否将问题合理地转换是解题的关 键．
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课堂互动讲练
自我挑战
4．(本题满分16分)已知过 点A(－1,0)的动直线l与圆C： x2＋(y－3)2＝4相交于P、Q两 点，M是PQ中点，l与直线m： x＋3y＋6＝0相交于N. 必过(((231圆)))当探求心索P证QCA→＝M；：·2A→当N3是时l与否，求与m直直垂线线直l l的的时方倾，程斜；l
C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 相交于 M、N 两点． (1)求实数 k 的取值范围； (2)求证：A→M·A→N为定值； (3)若 O 为坐标原点，且O→M·O→N＝12，求 k
的值．
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36
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)由于直线与圆 C 相交 于 M、N 两点，故利用直线与圆相交的条件 即可求得 k 的范围．
【思路点拨】 以PO为直径作圆， 写出圆的方程，AB为两圆的公共弦．
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24
课堂互动讲练
【解】 以PO为直径的圆(x－
3 13
1)2＋2(y－4 )2＝ 与圆x2＋y2＝1的
公共弦即为所求，
两圆方程联立消去x2，y2得2x＋ 3y－1＝0.
∴AB所在直线方程为：2x＋3y
－1＝0.
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25
课堂互动讲练
∴|OO1|＝5，而A、B关于OO1轴对
称，5所×以2 A5B为Rt△OAO1斜边上高
的2倍答，5案即：|4AB|＝2×
＝4.
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课堂互动讲练
考点三
圆的弦、中点、弦长问题
圆的弦长的求法：
(1)几何法：L 设圆的半径为r，
2
弦心距为d，弦长为L，则( )2
＝r2－d2.
y＝kx＋b
((x2－)代x0)数2＋法(y－：y0)设2＝直r2 线与圆相交
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21
课堂互动讲练
解析：向右平移1个单位后得圆的方
程为(x－1)2＋y2＝1.过点(3,0)的直线l方程
分为两种情况：(1)斜率不存在时x＝3，
与圆不相|k切－；0－(23)k斜| 率存在时，3设直线方
程为y＝k(x－k23＋)，1 即kx－y－3k3＝0，
＝1.∴答案k＝：±±
3 3
.
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课堂互动讲练
关系主要有两种方法：一是圆
心到直线的距离与圆的半径比
较大小；二是直线与圆的方程
组成的方程组解的h 个数．
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课堂互动讲练
例1 已知圆x2＋y2－6mx－2(m －1)y＋10m2－2m－24＝ 0(m∈R)．
(1)求证：不论m为何值， 圆心在同一直线l上；
(2)与l平行的直线中，哪些 与圆分别相交、相切、相离．
∴d
＝
|2k－2| k2＋1
<1
，
解
得
4－ 3
7
4＋ <k< 3
7 .5
分
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课堂互动讲练
(2)证明：设过 A 点的圆的切线为 AT， T 为切点，
则 AT2＝AM·AN， AT2＝(0－2)2＋(1－3)2－1＝7， ∴|A→M|·|A→N|＝7.7 分 根据向量的运算：
A→M·A→N＝|A→M|·|A→N|·cos0°＝7 为定 值.9 分
于A(x1，y1)，B(xh 2，y2)两点，解
29
课堂互动讲练
消y后得关于x的一元二次 方程，从(而1＋求k2)得[(xx1＋1＋x2)x2－2，4x1xx12]x2， 则弦长为
AB＝ (k为直线斜率)．
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课堂互动讲练
例3 (2009年高考陕西卷改编) 过原点且倾斜角为60°的直线 被圆x2＋y2－4y＝0所截得的 弦长【为思路__点_拨_】___由_点．到直线的距离，
结合Rt△解之．
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课堂互动讲练
【解析】 过原点且倾斜角为 60° 的直线方程为 3x－y＝0，圆 x2＋(y－2)2 ＝ 4 的 圆 心 (0,2) 到直 线的 距离 为 d ＝ | 3×3＋0－1 2|＝1，因此弦长为 2 R2－d2＝
2 4－1＝2 3.
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32
课堂互动讲练
【答案】 2 3
相交．
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三基能力强化
5．(2008年高考陕西卷改编3) 若直线 x－y＋m＝0与圆x2＋ y2－2x－2＝0相切，则m＝ ___答_案__：_－_3. 3或 3
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课堂互动讲练
考点一
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有相
离(没有公共点)、相切(只有一
个公共点)、相交(有两个公共
点)三种，判断直线与圆的位置
⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－ m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、
B两点，且两圆在点A处的切线
互相垂直，则线段AB的长度是
______．
解析：由题意⊙O1与⊙O在A处 的切线互相垂直，则两切线分别过
另一圆的圆心，所以h O1A⊥OA.
27
课堂互动讲练
又∵|OA|＝ 5 ，|O1A|＝52 ，
得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.①
由题4－意7：Δ＝4＋[－47(1＋k)]2－4×(1＋
k2)×7>0，3
3
得
<k< h .5分
38
课堂互动讲练
法二：同法一得直线方程为 y＝kx
＋1，
即 kx－y＋1＝0.2 分
又圆心到该直线的距离 d＝
|2k－k23＋＋11|＝ |2kk2－＋21| ，
当d＞r，即b＜－510 －3或b 10 ＞5 －3时，直线与圆相离．
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课堂互动讲练
【点评】 直线与圆的位置关系可 以根据它们构成的方程组的实数解的个 数进行判断，也可以根据圆心到直线的 距离与半径的关系进行判断．
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20
课堂互动讲练
跟踪训练
1．(2010年山东枣庄模拟) 将圆x2＋y2＝1沿x轴正方向平 移1个单位后得圆C，若过点 (3,0)的直线l和圆C相切，则直 线l的斜率为________．
考点二
圆与圆的位置关系
1．判断两圆的位置关系常 用几何法，即用两圆圆心距与 两圆半径和与差之间的关系， 一般不采用代数法．
2．若两圆相交，则两圆公
共弦所在直线的方程可由两圆
的方程作差消去x2，y2项即可
得到．
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课堂互动讲练
例2 过点P(2,3)向圆上x2＋y2＝ 1作两条切线PA、PB，则弦 AB所在直线方程为 ________．
基础知识梳理
(2)代数方法：
x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
方程组x2＋y2＋D2x＋E2y＋相F2交＝0， 有两组不同的实数解⇔相切两
圆；
相离或内含
有两组相同的实h 数解⇔两
8
三基能力强化
1．(2009年高考重庆卷改编)直线y＝ x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为_____．
解析：圆心(0,0)到直线y＝x＋1
第四节 直线与圆、 圆与圆的位置关系
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1
基础知识梳理
1．点P(x0，y0)与圆(x－a)2 ＋(y－b)2＝r2的位置关系
外 (1)当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 时，点P在圆 ；
上 (2)当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 时内，点P在圆 ；
(3)当(x0－a)2＋(y0－b)2<r2 时，点P在圆 ．
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课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)用配方法将圆的 一般方程配成标准方程，求圆心坐标， 消去m.(2)比较圆心到直线的距离与圆半 径的大小．
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课堂互动讲练
【解】 (1)证明：配方得： (x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25，
x＝3m
设圆心为(x，y)，则y＝m－1 ，
消去m得l：x－3y－3＝0， 则不论m为何值，圆心恒在直 线l：x－3y－3＝0上．
(2)A→M·A→N＝|A→M|·|A→N|cos0°＝|A→M|·|A→N|， 故而想到切割线定理即可证得结论．
(3)O→M·O→N＝x1x2＋y1y2，联想根与系数的 关系即可解决．
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课堂互动讲练
【解】 (1)法一：∵直线l过点 A(0,1)且斜率为k，
∴直线l的方程为y＝kx＋1.2分
将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝ 1，
角有关？若无关，请求出其值；若有关，
请说明理由．
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43
课堂互动讲练
解：(1)证明：∵l与m垂直，且
1
km＝3－ ，∴kl＝3，
故直线l方程为y＝3(x＋1)，即 3x－y＋3＝0.2分
∵圆心坐标(0,3)满足直线l方程， ∴当l与m垂直时，l必过圆心 C.4分