2019-2020学年湘教版数学选修2-2新素养同步讲义：6.1.2 合情推理(二)——类比 Wo

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6．1。

2 合情推理(二)-—类比
1.通过具体实例理解类比的意义．2。

会用类比对具体问题作出判断．
类比的定义
根据两个不同的对象在某方面的相似之处，推测出这两个对象在其他方面也可能有相似之处的推理方法称为类比．
1．判断(对的打“√”，错的打“×")
（1)类比是由特殊到一般的推理．( )
（2）类比推理得到的结论可以作为定理应用．( )
答案：（1)×(2)×
2．下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的为( ）
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
答案：C
3．在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4。

类似地，在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
答案：错误!
几何问题中的类比推理
如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B,其中a，b，c分别为角A,B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
【解】如图所示，在四面体P。

ABC中,设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△
PBC，△PCA，△ABC的面积，α,β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面
ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S
3
·cos γ。

类比推理的一般步骤
（1)找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想)，如下表中平面图形与空间图形类比：
平面图形空间图形
点线
线面
边长面积
面积体积
线线角二面角
三角形四面体
已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则S△ABC＝错误!r(a＋b＋c)．类比这一结论有:若三棱锥A。

BCD的内切球半径为R，则三棱锥的体积V A。

BCD＝________．
解析:内切圆半径r错误!内切球半径R，
三角形的周长：a＋b＋c错误!三棱锥各面的面积和:
S
△ABC
＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD，
三角形面积公式系数错误!错误!三棱锥体积公式系数错误!.
所以类比得三棱锥体积
V A
­BCD
＝错误!R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD）．
答案：1
3
R(S
△ABC
＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)
代数问题中的类比推理
一个等差数列{a n｝，其中a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N ＋
)．一个等比数列{b n}，其中b15＝1，类比等差数列｛a n｝应有b1b2…b n＝________．【解析】因为在等差数列{a n｝中，a10＝0，
所以a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a8＋a12＝a9＋a11＝0，
即a19－n＋a n＋1＝0，
a
＋a n＋2＝0,
18－n
a
＋a n＋3＝0，
17－n
…
所以a1＋a2＋…＋a n
＝a1＋a2＋…＋a n＋a n＋1＋a n＋2＋…＋a19－n。

因为b15＝1，所以b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1，
即b29－n b n＋1＝b28－n b n＋2＝…＝b14b16＝1.
所以有b1b2…b n＝b1b2…b29－n（n〈29，n∈N＋)．
【答案】b1b2…b29－n(n<29，n∈N＋）．
错误!
在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．如通项公式：a n＝a1＋（n－1）d类比b n＝b1·q n－1。

设f(x)＝错误!，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法,求f（－5）＋f(－4）＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值．
解：因为f（x)＝错误!,
所以f（x）＋f(1－x)
＝错误!＋错误!
＝错误!＋错误!
＝错误!＝错误!＝错误!.
令S＝f(－5）＋f(－4）＋…＋f(5)＋f（6)，
则S＝f(6）＋f(5)＋…＋f（－4)＋f（－5）．
所以2S＝［f(－5）＋f（6)]＋［f(－4)＋f（5)]
＋…＋[f(5）＋f（－4)］＋[f（6）＋f(－5）］
＝12×错误!＝6错误!.
所以S＝3错误!.
合情推理的应用
我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？
（1）类比“等差数列"给出“等和数列”的定义;
（2)探索等和数列{a n｝的奇数项和偶数项各有什么特点？并加以说明；
（3)在等和数列｛a n｝中，如果a1＝a,a2＝b，求它的前n项和S n.
【解】(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫作等和数列．
（2)由(1）知a n＋a n＋1＝a n＋1＋a n＋2,所以a n＋2＝a n，所以等和数列的奇数项相等,偶数项也相等．
(3）当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈N＋,k≥2，则
S n＝S
2k－1
＝S2k－2＋a2k－1
＝2k－2
2
(a＋b)＋a
＝错误!(a＋b）＋a
＝错误!a＋错误!b；
当k＝1时，n＝1，S1＝错误!a＋错误!b＝a，
所以当n为奇数时，S n＝错误!a＋错误!b；
当n为偶数时，令n＝2k,k∈N＋,
则S n＝S2k＝k（a＋b）＝错误!(a＋b)．
所以它的前n项和
S n＝错误!
(1)本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理解,类比出等和数列的定义和性质,很好地考查学生类比应用的能力．
（2）本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．1。

数列5,9，17，33,x，…中的x等于（)
A．47 B．65
C．63 D．128
答案：B
2．各项都为正数的数列｛a n}中，a1＝1，a2＝3，a3＝6,a4＝10，…，猜想数列｛a n｝的通项公式为________．
答案：a n＝错误!
1．类比结论的可靠程度，依赖于两个或两类对象的共有属性,一般说来，共有属性越多，结论的可靠程度也就越大,共有属性越是本质的，结论的可靠程度也越高．
2．合情推理的结论往往是超越了前提所包含的范围，带有猜测的成分，故其结论未必正确;但是，合情推理常常能帮助我们猜测和发现新的结论，证明一个数学结论前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的推理过程可以概括为：
从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想．
1．在R上定义运算：x⊗y＝x(1－y）．若不等式(x－a)⊗(x＋a)〈1对任意实数x成立,则（)
A．－1〈a<1 B．0〈a<2
C．－1
2
〈a〈错误!D．－错误!〈a〈错误!
解析：选C。

由题意得，（x－a）(1－x－a)〈1,即x2－x－（a2－a－1)〉0对于任意x恒成立，所以Δ＝1＋4（a2－a－1)<0，解得－错误!<a<错误!，故选C。

2．下面使用类比推理恰当的是( ）
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“（a＋b)c＝ac＋bc"类推出“a＋b
c
＝错误!＋错误!”
C．“（a＋b)c＝ac＋bc”类推出“错误!＝错误!＋错误!(c≠0）”
D．“（ab)n＝a n b n”类推出“(a＋b)n＝a n＋b n”
解析：选C。

由类比推理的特点可知．
3．对于命题：
若O是线段AB上一点，则有|错误!｜·错误!＋|错误!|·错误!＝0。

将它类比到平面的情形是：
若O是△ABC内一点,则S△OBC·错误!＋S△DCA·错误!＋S△OBA·错误!＝0,
将它类比到空间的情形应该是:
若O是四面体ABCD内一点，则有___________________________________________．
解析:将平面中的相关结论类比到空间,通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意得知:若O为空间四边形ABCD内一点，则有
V O。

BCD·错误!＋V O。

ACD·错误!＋V O。

ABD·错误!＋V O.ABC·错误!＝0。

答案：V O.BCD·错误!＋V O。

ACD·错误!＋V O。

ABD·错误!＋V O。

ABC·错误!＝0
[A 基础
达标］
1．给出下列三个类比结论：
①类比a x·a y＝a x＋y,则有a x÷a y＝a x－y；
②类比log a（xy)＝log a x＋log a y,则有sin（α＋β)＝sin αsinβ；
③类比（a＋b)＋c＝a＋(b＋c），则有(xy)z＝x(yz）．
其中结论正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C。

根据指数的运算法则知a x÷a y＝a x－y，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin（α＋β)≠sin αsin β，②不正确；根据乘法结合律知：(xy）z＝x(yz），③正确．2．在平面直角坐标系内，方程错误!＋错误!＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为m，n，c(mnc≠0)的平面方程为( ）
A.错误!＋错误!＋错误!＝1
B.错误!＋错误!＋错误!＝1
C。

错误!＋错误!＋错误!＝1
D．mx＋ny＋cz＝1
答案：A
3．关于x，y的二元一次方程组{x＋y＝a，x－y＝b的解是错误!。

则可类比猜想向量方程组错误!的解为（)
A.错误!
B.错误!
C。

错误! D.错误!
解析：选A。

类比实数的结果可得x＝错误!，y＝错误!,故选A.
4．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码的系统，其加密、解密原理如下图：明文错误!密文错误!密文错误!明文
现在加密密钥为y＝log a(x＋2)．如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6"．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到明文为（)
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：选C。

因为log a(6＋2）＝3,所以a＝2,
即加密密钥为y＝log2（x＋2)，
当接到的密文为4时，即log2(x＋2)＝4,所以x＋2＝24，所以x＝14.
5．类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等"的性质,可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等;
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等;
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．
A．①B．①②
C．①②③D．③
解析:选C。

因为正三角形的边和角可以与正四面体的面（或棱）和相邻的二面所成的二面角（或共顶点的两棱夹角）类比,所以①②③都恰当．
6．若S n是等差数列｛a n}的前n项和，则有S2n－1＝（2n－1)·a n，类似地，若T n是等比数列｛b n}的前n项积,则有T2n－1＝________．
解析:T2n－1＝b1·b2·b3·b4·…·b2n－1＝b2n－1，n。

答案：b错误!
7．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________________________．解析：平面图形与立体图形的类比:周长→表面积,正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．
答案：表面积一定的所有长方体中,正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大
8．设等差数列{a n｝的前n项和为S n，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有:设等比数列{b n}的前n项积为T n,则T4，________,________，错误!成等比数列．解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关,等比数列与积商有关,因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性：
设等比数列｛b n｝的公比为q,首项为b1，
则T4＝b错误!q6，T8＝b错误!q1＋2＋…＋7＝b错误!q28，
T
＝b错误!q1＋2＋…＋11＝b错误!q66,
12
所以错误!＝b错误!q22，错误!＝b错误!q38.
即错误!错误!＝T4·错误!，故T4，错误!，错误!成等比数列．
同理可得错误!，错误!，错误!成等比数列．
答案：T
8
T
4
错误!
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°。

设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2。

类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
解：如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长
度，由勾股定理,得c2＝a2＋b2。

类似地,如图所示,在四面体PDEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°。

设S1，
S
2
,S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的两条直角边a，
b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S
1
，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构,我们猜想S2＝S错误!＋S错误!＋S错误!.
10．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中:
①三角形两边之和大于第三边．
②三角形的面积S＝错误!×底×高．
③三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的错误!.
请类比上述性质,写出空间中四面体的相关结论．
解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：
①四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
②四面体的体积V＝错误!×底面积×高．
③四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的错误!。

[B 能力提升]
11。

如图，椭圆中心在坐标原点，F1为左焦点，A1为椭圆的右顶点，当错误!
⊥错误!时，其离心率为错误!,此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，
可推算出“黄金双曲线”的离心率e为( )
A.错误!
B.错误!
C.错误!－1
D.错误!＋1
解析:选A。

如图,F为双曲线的左焦点，错误!⊥错误!,其中A为右顶点，B为虚轴上顶
点，设双曲线方程为错误!－错误!＝1(a，b>0）．
在Rt△ABF中,
|错误!｜2＝c2＋b2，
|错误!｜2＝a2＋b2＝c2，
|错误!|2＝（a＋c）2，由勾股定理得
（a＋c)2＝c2＋b2＋c2，即c2－a2－ac＝0，
所以错误!错误!－错误!－1＝0，解得e＝错误!。

12．根据图（1)的面积关系：错误!＝错误!·错误!，可猜想图(2）有体积关系:错误!＝________．
解析：题干两图中，与△PAB,△PA′B′相对应的是三棱锥P。

ABC，P.A′B′C′；与△PA′B′两边PA′,PB′相对应的是三棱锥P.A′B′C′的三条侧棱PA′，PB′,PC′。

与△PAB的两条边PA，PB相对应的是三棱锥P.ABC的三条侧棱PA，PB，PC.由此,类比题图(1）的面积关系，得到题图(2)的体积关系为错误!＝错误!·错误!·错误!.
答案：PA′
PA
·错误!·错误!
13．在公比为4的等比数列{b n}中，若T n是数列｛b n｝的前n项积，则有T 20
T
10
，错误!，错误!也是等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n}中,若S n是｛a n｝的前n项和，写出相应的结论，判断该结论是否正确,并加以证明．
解：结论：S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列且公差为300。

此结论是正确的，证明如下：
因为数列{a n}的公差d＝3。

所以(S30－S20)－(S20－S10)＝（a21＋a22＋…＋a30）－（a11＋a12＋…＋a20）＝10d＋10d＋10d ＋…＋10d10个
＝100d＝300.
同理：（S40－S30）－(S30－S20）＝300，
所以S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列且公差为300。

14．(选做题)观察下面两式：
（1）tan 10°·tan 20°＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1；
2019-2020学年湘教版数学选修2-2新素养同步讲义：6.1.2 合情推理（二）——类比 Word版含答案（2)tan 5°·tan 10°＋tan 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1。

分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论．
解：猜想：如果α＋β＋γ＝错误!，α,β,γ都不为错误!，
则tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α＝1。

证明如下：因为α＋β＋γ＝错误!，所以α＋β＝错误!－γ，
所以tan（α＋β)＝tan错误!＝错误!，
所以tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α
＝tan αtan β＋（tan α＋tan β）tan γ
＝tan αtan β＋tan（α＋β）(1－tan αtan β)tan γ
＝tan αtan β＋（1－tan αtan β）错误!tan γ
＝tan αtan β＋1－tan αtan β＝1。