2019年江西省宜春市楠木中学高三数学理联考试卷含解析

2019年江西省宜春市楠木中学高三数学理联考试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在等差数列中，已知，则（）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
参考答案：
D
2. 平面向量＝（1,1），＝（－1，m），若∥，则m等于（）
A．1 B.－1 C.0 D.±1
参考答案：
B
略
3. 一个几何体的三视图如图2所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（）
．C．D
C
4. 已知函数，若数列满足，且单调递增，则实数的取值范围为( )
A．B．C．
D．
参考答案：
【知识点】数列的函数特性．D1
【答案解析】A 解析：根据题意，a n=f（n）=；
要使{a n}是递增数列，必有；解可得，2＜a＜3；
故选A．
【思路点拨】根据题意，首先可得a n通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，
5. 直线与曲线相切于点A（1，3），则2a+b的值为（）
A.2
B.-1
C.1
D.-2
参考答案：
B
略
6. 已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）
A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且
|BC|=|CF2|，
∴|BF1|=2a，
设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得
∴x=，y=
∴B（，）
代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，
∴双曲线的渐近线方程为y=±（+1）x，
故选：C．
7. 已知球的表面积为，球心在大小为的二面角的内部，且平面
与球相切与点，平面截球所得的小圆的半径为，若点为圆上任意一点，
记两点在该球面上的球面距离为，则下列结论正确的是
（A）当取得最小值时，与所成角为
（B）当取得最小值时，点到平面的距离为
（C）的最大值为
（D）的最大值为
参考答案：
D
球半径,小圆的半径为，
,,
当取得最小值时 ,,与所成角为,
故A错；点到平面的距离为2，故B错当取得最大值时,, 的最大值为,故选D.
8. 如果复数(其中)的实部与虚部互为相反数，则＝（）
A．2 B．C．D． 1
参考答案：
B
9. 抛物线y=2x2的焦点坐标是( )
A．（0，）B．（，0）C．（0，）D．（，0）
参考答案：
C
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】将抛物线化为标准方程，结合抛物线的性质，可得答案．
【解答】解：抛物线y=2x2的标准方程为：x2=y，
故抛物线y=2x2的焦点坐标是（0，），
故选：C
【点评】本题考查的知识点是抛物线的性质，化为标准方程是解答圆锥曲线类问题的关键．
10. 在等差数列中，若,公差，那么等于（）
A．4 B．5 C．9 D．18
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对函数，若存在区间M=[a,b]使得=M，则称为“稳定函数”，给出下列函数
①=x2; ②③
其中为“稳定函数”的序号为
参考答案：
①②
12. 若是上的奇函数，则函数的图象必过定点 .
参考答案：
13. 函数的定义域是．
参考答案：
14. 已知函数若方程有两个大于零的实数根,
则实数的取值范围是▲ .
参考答案：
15. 梯形中，，若，则
__________．
参考答案：
－8
试题分析：
．
考点：平面向量的数量积．
【名师点睛】求两个向量的数量积，可把这两个向量通过向量的线性运算用已知关系（夹角、模）的向量表示出来，再由数量积的运算法则进行运算，也可建立直角坐标系，通过坐标运算来求得数量积．本题也可很方便地建立坐标系，并计算出数量积．
16. 设x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为________．
参考答案：
5
17. 已知函数，若方程在区间内有3个不等实根，则实数的取值范围是．
参考答案：
试题分析：结合题中所给的函数解析式，作出函数与的图像，利用两个图形的交点个数问题确定的取值范围，结合图形可以确定的取值范围是
.
考点：函数的零点与方程根的关系，方程根的个数的应用，函数与方程的思想，数形结合解决问题.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某高校从2016年招收的大一新生中，随机抽取60名学生，将他们的2016年高考数学成绩（满分150分，成绩均不低于90分的整数）分成六段[90，100），[100，110）…[140，150），后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校2016年招收的大一新生共有960人，试估计该校招收的大一新生2016年高考数学成绩不低于120分的人数；
（3）若用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[90，100）内的概率．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（1）由频率分布直方图能求出a的值．
（2）由频率分布直方图能估计该校招收的大一新生2016年高考数学成绩不低于120分的人数．
（3）用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，则数学成绩在[90，100）分数段内的学生抽取2人，数学成绩在[140，150]分数段内的学生抽取4人，至少有1人在分数段[90，100）内的对立事件是抽到的2人都在分数段[140，150]内，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在分数段[90，100）内的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图得：
（0.005+0.01×2+0.02+0.025+a）×10=1，解得a=0.03
（2）由频率分布直方图估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于1的人数为：（0.03+0.025+0.01）×10×960=624（人）．
（3）用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，
∵数学成绩在[90，100）分数段内的学生频率为0.005×10=0.05，
数学成绩在[140，150]分数段内的学生频率为0.010×10=0.10，
∴数学成绩在[90，100）分数段内的学生抽取2人，数学成绩在[140，150]分数段内的学生抽取4人，
∴将该样本看成一个总体，从中任取2人，基本事件总数n=15，
至少有1人在分数段[90，100）内的对立事件是抽到的2人都在分数段[140，150]内，
∴至少有1人在分数段[90，100）内的概率：P=．
19. 已知函数
（Ⅰ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）令是否存在实数a，当（e是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）当时，证明：
参考答案：
解：（Ⅰ）在[1，2]上恒成立，
令，有得
…………3分
所以
.
…………4分
（Ⅱ）假设存在实数a，使有最小值3，
. …………5分
①当时，g(x)在[0，e]上单调递减，
（舍去）.
②当时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以，满足条件.
③当时，g(x)在[0，e]上单调递减，（舍去）.
综上，存在实数，使得当时，g(x)有最小值3 (10)
分
(Ⅲ)令，由（2）知
，令，，
当时，，在上单调递增，
所以.
所以,即
. …………14分
略
20. 已知函数f（x）＝＋a lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）－在定义域内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
参考答案：
略
21. 已知曲线和定点，是此曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求直线的极坐标方程；
（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点，求
的值.
参考答案：
（1）曲线可化为其轨迹为椭圆，焦点为和，经过和的直线方程为
所以极坐标方程为
（2）由（1）知直线的斜率为，因为，所以的斜率为，倾斜角为，所以的参数方程为代入椭圆的方程中，得
因为点在两侧，所以
22. （本小题满分12分）
已知数列{}，其前n项和S n满足S n+1=2S n+1（是大于0的常数），且a1=1，a3=4.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；
参考答案：
解：（Ⅰ）由S n+1=2S n+1得
(2)
分
∴……………………………………6分
（Ⅱ）由S n+1=2S n+1整理得S n+1+1=2（S n+1），
∴数列{S n+1}是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，……………………8分
∴S n+1=2·2n-1，∴S n=2n-1，
∴a n=S n-S n-1=2n-1（n≥2）
∵当n=1时，a1=1满足a n =2n-1，∴a n =2n-1……………………………12分略。