第三节 三角恒等变换(含答案)

第三节 三角恒等变换
要点1 三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； (2)cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=+； (3)tan tan πtan(),,π,1tan tan 2k k αβαβαβαβαβ±⎛⎫
±=
±≠+ ⎪⎝⎭
∈Z ． 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1) sin22sin cos ααα=；
(2)2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-； (3)2tan tan 21tan 2α
αα
=
-．
3.辅助角公式（合二为一）
)
sin cos sin cos sin cos )a b αααααϕϕααϕ⎫+=+=+⎪⎪⎭
（其中
sin cos ϕϕ=
=
）
【规律总结】
常见形式有：
sin cos 4x x x π⎛
⎫
+=+
⎪⎝
⎭ （或sin cos 4x x x π⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭）；
sin 2sin 3x x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭；
cos 2sin 6x x x π⎛
⎫+=+ ⎪⎝⎭.
4．两角和与差正切公式的变式
tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；()()
tan tan tan tan tan tan 11tan tan αβαβ
αβαβαβ+-⋅=-
=-++.
5．降幂公式 21cos 2sin 2αα-=
；21cos 2cos 2αα+=；1
sin cos sin 22
ααα=. 6．升幂公式
2
2
1cos 2cos 1cos 2sin 22αα
αα+=-=；;22
1sin sin cos 1sin sin cos 2222 αααααα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭；
. 7．半角正切公式
2sin 2sin
cos
sin 22
2tan
2
1cos cos
2cos 2
2αα
α
α
αα
αα===+ ; 2
sin
2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222
α
α
αααααα-===. 8.三角函数式的化简要遵循“三看”原则
重点难点突破
考点1 三角函数式的化简求值 通法（1）直接套用公式.
（2）异名化同名、异次化同次（或降幂）、异角化同角、切划弦． 示例1：（2018•全国卷Ⅲ）若1
sin 3α=，则cos2α=
A ．89
B ．
79 C ．79-
D ．89
-
示例2：（2020•全国卷Ⅲ）已知πsin sin()13θθ++=，则π
sin()6
θ+=
A ．12
B
C ．
23
D
示例3：（2021•全国卷乙）2
2π5πcos cos 1212
-= A ．1
2 B
C
D
示例4：（2012•重庆卷）sin47sin17cos30
cos17
︒-︒︒
=
︒
A．
B．C．D
示例5：设sin20m
=，cos20n
=，化简
2
tan1011
1tan1012sin10︒
+
-=
--
A.
m
n
B．
m
n
-C．
n
m
D．
n
m
-
示例6：（2010•重庆卷）如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经
过同一点P（点P不在C上）且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为(1
i
i
α=，2，3)，则23
1
cos cos
33
αα
α+
-23
1
sin sin
33
αα
α+
=．
对点训练
1.（2017•山东卷）已知
3
cos
4
x=，则cos2x=
A．
1
4
-B．
1
4
C．
1
8
-D．
1
8
2.（2020•全国卷Ⅱ）若
2
sin
3
x=-，则cos2x=．
3.（2017•江苏卷）若
π1
tan()
46
α-=．则tanα=．
4.（2014•陕西卷）设
π
2
θ
<<，向量(sin2,cos)
θθ
=
a，(1,cos)θ
=-
b，若0
⋅=
a b，则tanθ=．
5.（2013•全国卷Ⅱ）已知
2
sin2
3
α=，则2
π
cos()
4
α+=
A．B．C．D．
1
2
-
1
2
1
6
1
3
1
2
2
3
6.（2013
•江西卷）若sin 2α
=
，则cos α=
A ．
B ．
C ．
D ．
7.（2012•陕西卷）设向量(1,cos )θ=a 与(1,2cos )θ=-b 垂直，则等于 A ．
B ．
C ．0
D ．
8.（2013•四川卷）设sin2sin αα=-，π
(2
α∈，π)，则的值是 ．
9.（2013•上海卷）若1
cos cos sin sin 3
x y x y +=，则 ．
10.（2010•福建卷）计算212sin 22.5-︒的结果等于 A ．
12
B
C
D
11.（2013•重庆卷理）4cos50tan40︒-︒=
A
B
C
D
．1 12．（2020•江苏卷）已知2π2
sin ()43
α+=，则sin 2α的值是 ．
考点2 三角函数式求值（凑角拆角）
通法： 要用已知角和特殊角，通过运算来凑成所求的角． 示例1：（2015•重庆卷）若1tan 3α=，1
tan()2
αβ+=，则tan β=
A ．1
7
B ．
16
C ．
57
D ．
56
示例2：（2016•全国卷Ⅰ）已知θ是第四象限角，且π3sin()45θ+=，则π
tan()4
θ-= ．
23
-13-132
3
cos2
θ2
12
1-tan2αcos(22)x y -=
示例3：（2019•江苏卷）已知
tan 2
π3tan()4
α
α=-+，则πsin(2)4α+的值是 ．
对点训练
1.（2015•江苏卷）已知tan 2α=-，1
tan()7
αβ+=，则tan β的值为 ． 2. （2018•全国卷Ⅱ）已知5π1
tan()45
α-
=，则tan α= ． 3.（2012•江苏卷）设为锐角，若π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 212α⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值为 ．
考点3 辅助角公式在三角函数式求值的应用
示例1：化简
（1
）1cos 2x x -；
（2
cos x x +；（3
)sin cos x x -；（4
x x -.
示例2：（2013
•浙江卷理）已知,sin 2cos ααα∈+=R ，则tan2α= A ．
43
B ．
34 C ．34
-
D ．43
-
对点训练
1.化简
（1）sin cos x x +（2
）sin x x +（3）sin 2cos x x +（4
）cos x x -
2.
已知sin αα=tan α= A
． B
．C
．D
．
第三节 三角恒等变换
考点1 三角函数式的化简求值
α
示例1： 【解析】1sin 3
α=
， 217
cos212sin 1299
αα∴=-=-⨯=．
故选：B ． 示例2：
【解析】π
sin sin()13
θθ++=，
1sin sin 12θθθ∴+=，
即3sin 12θθ=
，得
1cos )12θθ=，
π)16
θ+=
，得πsin()6θ+=
故选：B ． 示例3：
【解析】法一：（降幂）2
2π5π
cos cos 1212
-π5π
1cos 1cos 6622++=
-11π115πcos cos 226226
=+--
11(22=⨯=
法二：（异角化同角）22
π5πcos cos 1212-2
2
ππcos sin 1212
=
-πcos 6== 故选：D ． 示例4：
【解析】（异角化同角）
sin 47sin17cos30cos17︒-︒︒
︒
． 故选：． 示例5：
【解析】（切化弦）∵sin 20m =，cos20n =， ∴
2tan1011
1tan1012sin 10︒+-
-- sin10cos101
=cos10sin10cos20+-
- ()
()()
2
sin10
cos10
1cos 20
cos10
sin10
sin10
cos10
+=
-
-+221+2sin10cos101
=cos 10sin 10cos20
-
-1+sin 201sin 20
cos20cos20cos20=
-=
=m n。

故选：A ． 示例6： 【解析】23
23
1
1
cos
cos
sin
sin
3333
αααααα++-
1
23
cos 3
ααα++=，可令同过P 点的三圆的交点分别是A ，B ，C ，连接PA ，PB ，PC ，可得得出
2πAPB APC BPC ∠+∠+∠=，
由于在圆中同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍，故1234πααα++=，所以 123
4π1
cos
cos
3
32
ααα++==-． 故答案为：1
2
-．
对点训练
1.【解析】∵根据余弦函数的倍角公式 2cos22cos 1x x =-，且3
cos 4
x =， 231
cos22()148
x ∴=⨯-=．
故选：D ．
sin(1730)sin17cos30cos17︒+︒-︒︒
=
︒sin17cos30cos17sin30sin17cos30cos17︒︒+︒︒-︒︒
=
︒
1sin302
=︒=
C
2. 【解析】2
sin 3
x =-，
2221
cos212sin 12()39x x ∴=-=-⨯-=．
故答案为：1
9
．
3.【解析】
π
tan tan πtan 114tan()π4tan 16
1tan tan 4ααααα---=
==++，
6tan 6tan 1αα∴-=+，解得7
tan 5α=.
故答案为：7
5
．
4.【解析】
22sin 2cos 2sin cos cos 0θθθθθ⋅=-=-=a b ，
π
02
θ<<，
2sin cos 0θθ∴-=，1tan 2
θ∴=
， 故答案为：
1
2
． 5.【解析】2sin 23
α=
， 2π1π
cos ()[1cos(2)]
422
αα∴+=++1121(1sin 2)(1)2236
α=-=⨯-=． 故选：．
6.【解析】由二倍角的余弦公式可得 故选：．
7.【解析】(1,cos ),(1,2cos )θθ==-a b ，且两向量垂直，0⋅a b = ，即， 则． 故选：．
8.【解析】sin22sin cos sin αααα==-，
π
(2α∈，π)，，
，则
．
9.【解析】，
． 故答案为：．
10.【解析】由二倍角公式可得 212sin 22.5cos(222.5)cos45-︒=⨯︒=︒=
故选：B ． 11.【解析】
4cos50tan404sin40tan40︒-︒=︒-︒
4sin 40cos40sin 40cos40︒︒-︒
=
︒
12cos10cos102sin80sin(3010)22cos 40cos 40︒-︒︒
︒-︒+︒==
︒︒
3cos1022cos 40︒︒
===︒．
故选：C ．
12.【解析】因为2π2
sin ()43
α+=，则
2π
1cos(2)
π1sin 222sin ()4223
ααα-+++===， 解得1
sin 23
α=
， 故答案为：1
3
考点2 三角函数求值（凑角拆角）
示例1：
【解析】1tan 3α=，1
tan()2
αβ+=，则
A 2
cos 12sin 2
α
α=-211
121233
=-⨯=-⨯=C ∴212cos 0θ-+=2cos22cos 10θθ=-=C 1cos 2α∴=-sin α=tan α∴=22tan tan 21tan ααα=
=-1
cos cos sin sin cos()3x y x y x y +=-=27cos(22)cos2()2cos ()19
x y x y x y ∴-=-=--=-7
9
-
tan tan[()]βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβα
αβα
+-=++
11123117123
-=
=+⨯， 故选：A ． 示例2：
【解析】θ是第四象限角，
∴π
2π2π2k k θ-+<<，则πππ
2π2π,444
k k k θ-+<+<+∈Z ，
又π3
sin()45
θ+=
，πcos()4θ∴+=
4
5
==．
又∵πππ
()=()442θθ-+-，
πππcos()cos ()442θθ⎡
⎤∴-=+-⎢⎥⎣
⎦π3sin()45θ=-+=-，
同理πππsin()sin ()442θθ⎡
⎤-=+-⎢⎥⎣⎦π4cos()45θ=+=，
则4π
sin()π454tan()π343cos()45θθθ--=-
==---． 故答案为：4
3
-．
示例3：
【解析】解法一：凑角拆角
π
sin cos()
tan 24ππ3tan()cos sin()44
αααααα+=
=-++，则 π2π
sin cos()=cos sin()434
αααα+-+①；
又∵ππ=+44αα⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，∴ππsin =sin +44αα⎡⎤
⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，
即
ππsin +cos cos +sin 244αααα⎛⎫⎛
⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭②
由①②得πsin +cos 4αα⎛
⎫ ⎪⎝⎭
πcos +sin =4αα⎛
⎫-
⎪⎝
⎭ 故ππs +4in(2)=sin 4ααα⎛⎡⎤
+⎢⎥⎣⎫+ ⎝⎭⎦
⎪
ππ+cos cos +sin 4n 4=si αααα
⎛⎫⎛
⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=
=
解法二：套公式 由
tan 2
π3tan()
4
α
α=-+，得
tan 2π3tan tan 4π
1tan tan
4ααα=-+-， ∴
tan (1tan )2
1tan 3
ααα-=-+，
解得tan 2α=或1tan 3α=-． 当tan 2α=时，
222sin 22tan 4
sin 2sin cos 15
tan αααααα=
==
++， 222222cos sin 13
cos2sin cos 15
tan tan ααααααα--===-
++， πsin(2)4α∴+ ππ
sin 2cos cos2sin 44
αα=+
43525210
=⨯-⨯=
； 当1tan 3α=-时，2
2tan 3
sin 215
tan ααα==-+， 2214
cos215tan tan ααα-==+，
πsin(2)4α∴+ ππ
sin 2cos cos2sin 44
αα=+
3455=-+ 综上，sin(2)4
π
α+
的值是10．
． 对点训练
1.【解析】tan 2α=-，1
tan()7
αβ+=
，可知 tan tan 1tan()1tan tan 7αβαβαβ++==-，即2tan 1
12tan 7
ββ-+=+，
解得tan 3β=． 故答案为：3． 2.【解析】
5π1tan()45α-
=，π1tan()45
α∴-=， 则ππtan tan()44αα=-+ππ
tan()tan
44ππ
1tan()tan 44
αα-+=
-- 1
1
153********++===--⨯， 故答案为：3
2
．
3.【解析】
∵π02α<<
，∴ππ2π
+663α<<， 又∵π4cos 65α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，∴π6α+在第一象限；
即ππsin 2sin 236αα⎡⎤⎛
⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦
ππ242sin cos 6625αα⎛⎫⎛
⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
同理2ππ722cos cos 1=3625αα⎛⎫⎛
⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
πππsin 2sin 21234αα⎛⎫⎛
⎫+=+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭ππππsin 2cos cos 2sin 3434αα⎛⎫⎛
⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=．
考点3 辅助角公式在三角函数式求值的应用
示例1：
【解析】（1）1πcos =cos 23x x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭； （2πcos =2sin 6x x x ⎛
⎫++ ⎪
⎝
⎭ （3)πsin cos =2sin 4x x x ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭ ；
（4π3x x x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭.
示例2：
【解析】方法一：辅助角公式 由辅助角公式得
()sin 2cos αααϕ++=
tan 2ϕ=），即()sin αϕ+=
， 故()π=2π4k k αϕ++∈Z 或()3π
=2π4
k k αϕ++∈Z ；
当()π
=2π4
k k αϕ+
-∈Z 时， ππ2π4tan tan tan 4k ϕϕα⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝+-⎭
-π
tan
tan 14π31tan tan 4
ϕϕ-==-+⋅； 当()3π
=2π4
k k αϕ+
-∈Z 时， 3π3π2π4tan tan t 4an k ϕϕα⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝+-⎭
-3π
tan
tan 433π
1+tan tan 4
ϕϕ
-==⋅； 故22tan 3
tan 21tan 4
ααα=
=-
-. 方法二：齐次化切 由sin 2cos αα+=
，则25
(sin 2cos )2
αα+=，即225
sin 4sin cos 4cos 2
αααα++=，
可得22sin 4sin cos 4cos αααα++ 2222sin 4sin cos 4cos =
sin cos αααα
αα+++224tan 45=12
tan tan ααα++=+，
解得tan 3α=或13-．那么22tan 3tan 214
tan ααα==-
-．
故选：C ． 对点训练
1.【解析】（1
）πsin cos 4x x x ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭；
（2
）πsin =2sin 3x x x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭；
（3
）()sin 2cos x x x ϕ++
（其中sin ϕ=
，
cos ϕ）; （4
）πcos =2sin 6x x x ⎛
⎫--+ ⎪⎝
⎭.
2.【解析】
由(
)sin αααϕ-=-=
中sin ϕ=
，cos ϕ=），即()sin 1αϕ-=，π
=2π2
k αϕ-+，
π
=2π2
k αϕ++，即
ππsin sin 2πsin cos 22k αϕϕϕ⎛⎫⎛⎫
=++=+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 同理
ππcos cos 2πcos 22k αϕϕ⎛⎫⎛⎫
=++=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
sin ϕ=-=，
故sin tan cos ααα==。