吉林省长春市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题含答案

长春外国语学校2019-2020学年第一学期期末考试高一年级
数学试卷
出题人 ：王云峰 审题人：姜洋
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.ο210sin 的值为（ ）
A ．
21 B. 23 C. 2
1
- D. 23-
2.用二分法研究函数()331f x x x =+-零点的近似值，第一次计算()00f <，()0.50f >，可得其中一个零点0x ∈_____，第二次应计算_______. 以上横线上应填的内容为（ ） A.()0 , 0.5，()0.25f B.()0 , 1，()0.25f C.()0.5 , 1，()0.75f D.()0 , 0.5，()0.125f
3.设a ，b 都是单位向量，且a 与b 的夹角为60°，则|a +b |=( ) A.3
3
C.2
2
4.已知集合}821|{<<=x
x A ，集合}1log 0|{2<<=x x B ，则A B =I （ ）
A ．}31|{<<x x B. }21|{<<x x C. }32|{<<x x D. }20|{<<x x 5.一扇形的中心角为ο60，所在圆的半径为6 ，则它的面积是（ ）
A ．π6 B. π3 C. π12 D. π9 6.若a , b 是两个平面向量，则下列命题中正确的是 ( ) A.若 ，则或
B.若a 与 b 共线，则存在唯一实数λ，使
C.若a ，则或
D.若，则a 与b 共线 7.要得到)3
2cos(3π
-=x y 的图象，只需将x y 2cos 3=的图象（ ）
A ．右移
3π个单位 B. 左移3π个单位 C.右移6π个单位 D. 左移6
π
个单位 8.给出函数()()(
)()14214
x
x f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭
⎨⎪+<⎩，则()2log 3f 等于（ ） A.
238 B.111
C.119
D.1
24 9.若θ是△ABC 的一个内角，且8
1
cos sin -
=θθ，则cos sin θθ-的值为（ ） A ．23-
B
．2± C ．25- D ．2
5 10.已知O 为ABC ∆内一点，且2OA OC OB ++=u u u r u u u r u u u r
0，则AOC ∆与ABC ∆的面积之比为 ( )
A.1∶2
B.1∶3
C.2∶3
D.1∶1
11.函数1ln )(2
-++=a x x x f 在区间),1(e 内有唯一的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.)0,(2
e - B.)1,(2
e - C.),1(e D.),1(2
e
12.已知函数213
(),2
()24
log ,02
x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，若函数()()x f x k g =-有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是（ ）
A.01k <<
B.1k >
C.
314k << D.3
14
k k >=或 第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13.若2tan =α，则
α
αα
αcos sin cos sin +-的值为________________；
14.函数)1(log 2
2
1-=x y 的单调递增区间是_____________________；
15.向量 a =()2,3在向量b =()3,4-方向上的投影为_________；
16.已知定义域为R 的奇函数()f x 在()0,+∞上是增函数，且102f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，则不等式()4log 0f x >的解集是
__________.
三.解答题：本题共6小题，17题10分,18-22每小题12分. 17.（本小题满分10分）已知函数21
()log 1
x f x x -=+ （1）求函数的定义域； （2）判断并证明函数的奇偶性.
18.（本小题满分12分）已知点()1,2A -和向量a =()2,3
（1）若向量AB u u u r
与向量a 错误！未指定书签。

同向，且AB =u u u r B 错误！未指定书签。

的坐
标；
（2）若向量a 与向量b =()3,k -的夹角是钝角,求实数k 的取值范围.
19.（本小题满分12分）已知
图象的一部分如图所示：
（1）求的解析式；
（2）求的单调增区间及函数图象的对称轴．
20.（本小题满分12分）已知两个不共线的向量a ，b 的夹角为θ，且|a |2=，|b |1=. （1）若a +b 与a －3b 垂直，求tan θ；
（2）若x a +b 与3a －2b 平行，求实数x 并指出此时x a +b 与3a －2b 同向还是反向.
21．（本小题满分12分）已知幂函数21
(18)3
2
()(1)m m f x m m x --=-+的图象与x 轴和y 轴都无
交点.
（1）求f x ()的解析式；
（2）解不等式(1)(2)f x f x +>-.
22．（本小题满分12分）已知()()2
=sin 2cos 1f x x m x -+-，2[,]33
x ππ
∈-
（1）当函数()f x 的最小值为1-时，求实数m 的值； （2）在（1）的条件下求函数()f x 的最大值及相应的x 的值.
长春外国语学校2019-2020学年第一学期期末考试高一年级
数学试卷参考答案
一、选择题
二.填空题 13.
13 14. (,1)-∞- 15. 65- 16. ()1,12,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
U 三.解答题
17.解：（1）函数应满足：
1
01
x x ->+ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2分） 解得：1x <-或1x > ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（5分） 所以函数的定义域为()(),11,-∞-+∞U . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（6分） （2）由（1）知定义域关于原点对称 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（7分）
又1
22221111()log log log log ()1111x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫
-====-=- ⎪
-+-++⎝⎭
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（9分） 所以函数是奇函数. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（10分）
18.解：（1）设(),B x y ，则()1,2AB x y =-+u u u r
，由已知得：
()()()()22
31220
1252
x y x y --+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2分） 解得：54x y =⎧⎨=⎩
或38x y =-⎧⎨=-⎩ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（4分）
当5
4
x y =⎧⎨=⎩时，()()4,622,3AB ==u u u r ，与a 同向，
当3
8x y =-⎧⎨=-⎩
时，()()4,622,3AB =--=-u u u r ，与a 反向
故()5,4B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（6分） （2）令a b g 6302k k =-+<⇒< ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（9分） 当a 与b 共线时，9
2902
k k +=⇒=-
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（11分） 所以a 与b 的夹角是钝角时，99,,222k ⎛⎫⎛⎫
∈-∞-
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
U ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（12分） 19.解：（1）由图象可知：2A = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1分）
741234T T ππππ=-=⇒=，又22T ππωω
==⇒= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（3分） 所以()()2sin 2f x x ϕ=+ 又772sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7sin 16πϕ⎛⎫
+=-
⎪⎝⎭
7713730,666623ππππππ
ϕπϕϕϕ<<∴
<+<⇒+=⇒=Q ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（5分） 所以()2sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（6分） （2）令2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+，解得：51212
k x k ππ
ππ-
+≤≤+ 所以函数的增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
()k Z ∈ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（9分）
令23
2
12
2
k x k x π
π
π
ππ+
=
+⇒=
+
所以对称轴为()12
2
k x k Z π
π
=+
∈. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（12分）
20.解：（1）因为a +b 与a －3b 垂直.
所以（a +b ）·（a －3b ）= a 2
－2a ·b －3b 2
=0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2分）
1
422cos 30cos 4
θθ-⨯-=⇒= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（4分）
[]
0,,sin tan θπθθ∈∴=
=Q ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（6分） （2）因为x a +b 与3a －2b 平行，所以存在R λ∈使得：
（x a +b ）=λ（3a －2b ） ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（8分）
又a 与b 不共线，故313
,1222x x λλλ
=⎧⇒=-=-⎨=-⎩ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（10分）
因为102λ=-
<，所以3
2
x =-，此时x a +b 与3a －2b 是反向. ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（12分） 21. 解：（1）由已知()f x 是幂函数，{}3
110,1m m m -+=⇒∈± ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2分） 又()f x 的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验1m =，此时4
()f x x -=.⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（6分）
（2）4
()f x x -=是偶函数且在()0,+∞递减，所以要使得(1)(2)f x f x +>-只需
12x x +<-，解得：1
2
x <
， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（9分） 又()f x 的定义域为{}
0x x ≠，所以1x ≠-且2x ≠ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（11分） 综上，不等式的解集为}1
,12
x x x ⎧<
≠-⎨⎩
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（12分） 22.解：（1）()()
()()22=1cos 2cos 1cos 2cos 1f x x m x x m x m --+-=+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（2分） 设cos t x =，21[,
],,1332x t ππ
⎡⎤
∈-
∴∈-⎢⎥⎣⎦
Q ()()()21=21,,12f x g t t mt m t ⎡⎤
=+-+∈-⎢⎥⎣⎦
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（4分）
对称轴t m =- ①当12m -≤-
，即1
2
m ≥时， ()()min 11
1=1124
8f x g m m m ⎛⎫-=--+=-⇒= ⎪⎝⎭，不合题意,舍去 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（5分）
②当1m -≥，即1m ≤-时
()()()min =112111f x g m m m =+-+=-⇒=- ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（6分）
③当112
m -
<-<，即1
12m -<<时
()()()22min =2110f x g m m m m m -=--+=-⇒=或1m =-（舍） ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（7分）
综上0m =或1m =- ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（8分） （2）①0m =时，()()21=1,,12f x g t t t ⎡⎤
=-∈-
⎢⎥⎣⎦
可见()f x 的最大值为()10g =，此时10=⇒=cosx x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（10分）
②1m =-时，()()21=2,,12f x g t t t t ⎡⎤
=-∈-
⎢⎥⎣⎦
可见()f x 的最大值为11
5124
4g ⎛⎫-=+= ⎪
⎝⎭，此时1223cosx x π=-⇒=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（12分）。