用微分方程求二项式(1+x)^α的幂级数展开式

用微分方程求二项式(1+x)^α的幂级数展开
式
二项式展开是数学的重要结果之一，它表达了一般多项
式的计算方法，可以将非常复杂的问题简单化，用于许多确定解的问题。

本文将介绍如何用微分方程的方法求解(1+x)^α
的幂级数展开式。

首先，我们来看一下幂级数展开式的一般形式：
（1+x）^α = a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_nx^n
+ ...
其中，a_0，a_1，a_2，…，a_n是常数。

为了求解（1+x）^α的幂级数展开式，我们可以利用它们之间的关系。

给定α，则a_i的值可以通过以下的递推关系式求得：
a_i=(α)(α−1)(α−2)...(α−i+1)
（1+x）^α的幂级数具体表达式为：
(1+x)^α = (α)(α-1)(α-2)...(α-i+1)x^i +
(α)(α-1)(α-2)...(α-i+2)x^i+1 + … +αx^(n-1) + 1 要求出（1+x）^α的幂级数，仅需用上式解出a_i即可，例如a_2：
a_2 = (α)(α-1)x^2
综上所述，可以使用微分方程的方法求解(1+x)^α的幂
级数展开式，而且，由于它对于任何α都有效，所以可以将
非常复杂的多项式表达式简化为更容易处理的方程式。