高中数学(苏教版,选修1-2) 第3章 3.3 习题课 课时作业(含答案)

习题课 课时目标 1.进一步理解复数的概念.2.通过具体实例理解复平面的概念，复数的模的概念.3.将复数的运算和复数的几何意义相联系．
1．复数相等的条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．
2．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )对应向量OZ →，复数z 的模|z |＝|OZ →|＝__________.
3．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的模|z |＝__________，在复平面内表示点Z (a ，b )到______________．
复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，在复平面内表示____________．
4．i 4n ＝______，i 4n ＋1＝______，i 4n ＋2＝______，
i 4n ＋3＝______ (n ∈Z )，1i
＝______.
一、填空题
1．复数⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－i 1＋i 2＝__________. 2．已知i 2＝－1，则i(1－3i)＝____________.
3．设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i
＝1＋i ，则a ＝________，b ＝______. 4．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i
的点是________．
5．若复数z ＝1－2i (i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝__________.
6．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为________．
7．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝______.
8．若|z －3－4i|＝2，则|z |的最大值是________．
二、解答题
9．已知复平面上的▱ABCD 中，AC →对应的复数为6＋8i ，BD →对应的复数为－4＋6i ，求向
量DA →对应的复数．
10．已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0 (a ∈R )有实数根b .
(1)求实数a ，b 的值；
(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的最小值．
能力提升
11．复数3＋3i ，－5i ，－2＋i 的对应点分别为平行四边形的三个顶点A ，B ，C ，求第四个顶点对应的复数．
12．(1)证明|z |＝1⇔z ＝1z
； (2)已知复数z 满足z ·z ＋3z ＝5＋3i ，求复数z .
1．复数的运算可以和多项式运算类比，出现i 2
换成－1.
2．复数可以和点、向量建立对应关系．
3．复数问题实数化是解决问题的重要原则．
习题课
答案
知识梳理
1．a ＝c ，b ＝d 2．a 2＋b 2
3．a 2＋b 2 原点的距离 点Z 1(a ，b )，Z 2(c ，d )两点间的距离
4．1 i －1 －i －i
作业设计
1．－3－4i
解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－i 1＋i 2＝⎣
⎡⎦⎤(3－i )(1－i )22 ＝(1－2i)2＝－3－4i.
2．3＋i
解析 i(1－3i)＝i ＋ 3.
3．32 12
4．H
解析 由题图知复数z ＝3＋i ，
∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝4－2i 2＝2－i. ∴表示复数z 1＋i
的点为H . 5．6－2i
解析 z ·z ＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝6－2i.
6．2
解析 考查复数的运算、模的性质．z (2－3i)＝2(3＋2i)，2－3i 与3＋2i 的模相等，z 的模为2.
7．34
＋i 解析 设z ＝x ＋y i ，则z ＋|z |＝x 2＋y 2＋x ＋y i ＝2＋i ，∴⎩⎨⎧ x 2＋y 2＋x ＝2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝34y ＝1， ∴z ＝34
＋i. 8．7
解析 |z －3－4i|≥|z |－|3＋4i|，
∴|z |≤2＋|3＋4i|＝7.
9．解 设▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点P ，由复数加减法的几何意义，得 DA →＝P A →－PD →＝12CA →－12BD →＝12
(CA →－BD →) ＝12
(－6－8i ＋4－6i)＝－1－7i ， 所以向量DA →对应的复数为－1－7i.
10．解 (1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0 (a ∈R )的实根，∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，
故⎩⎪⎨⎪⎧
b 2－6b ＋9＝0，a ＝b ， 解得a ＝b ＝3.
(2)设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，
由|z －3－3i|＝2|z |， 得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，
即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8.
∴Z 点的轨迹是以O 1(－1,1)为圆心，22为半径的圆．
如图，当Z 点在OO 1的连线上时，|z |有最大值或最小值．
∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，
∴当z ＝1－i 时，|z |min ＝ 2.
11．解 当四点顺序为ABCD 时，第四个顶点D 对应的复数为1＋9i ；当四点顺序为ADBC 时，第四个顶点D 对应的复数为5－3i ；当四点顺序为ABDC 时，第四个顶点D 对应的复数为－5－7i.
12．(1)证明 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，
则|z |＝1⇔x 2＋y 2＝1，
z ＝1z ⇔z ·z ＝1⇔(x ＋y i)(x －y i)＝1⇔x 2＋y 2＝1，
∴|z |＝1⇔z ＝
1z . (2)解 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ， 由题意，得(x ＋y i)(x －y i)＋3(x ＋y i) ＝(x 2＋y 2＋3x )＋3y i ＝5＋3i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋3x ＝5，3y ＝3∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1
或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4y ＝1. ∴z ＝1＋i 或z ＝－4＋i.。