2017届新人教B版 指数与指数函数 配餐作业

配餐作业(九) 指数与指数函数
一、选择题
1．(2016·昆明模拟)设a ＝22.5
，b ＝2.50
，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122.5
，则a ，b ，c 的
大小关系是( )
A ．a ＞c ＞b
B ．c ＞a ＞b
C ．a ＞b ＞c
D ．b ＞a ＞c
解析：b ＝2.50
＝1，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122.5
＝2－2.5，
则2－2.5＜1＜22.5，即c ＜b ＜a 。

答案：C
2．(2016·洛阳模拟)已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )
A
B
C
D
解析：|f (x )|＝|2x
－2|＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －2，x ≥1，2－2x
，x ＜1， 易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1， 且过点(1,0)，(0,1)，⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，32。

又|f (x )|≥0，故选B 。

答案：B
3．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域( )
A ．[9,81]
B ．[3,9]
C ．[1,9]
D ．[1，＋∞)
解析：由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9。

可知C 正确，故选C 。

答案：C
4．(2016·太原模拟)函数y ＝2x －2－x 是( ) A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 C ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D ．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
解析：令f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，排除C ，D 。

又函数y ＝－2－x ，y ＝2x 均是R 上的增函数，故y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故选A 。

答案：A
5．(2016·丽水模拟)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x
＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－2,1)
B ．(－4,3)
C ．(－1,2)
D ．(－3,4)
解析：原不等式变形为m 2
－m ＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x。

∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
在(－∞，－1]上是减函数，
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1
＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2
－m ＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
恒成立等价于m 2－m ＜2，解
得－1＜m ＜2，故选C 。

答案：C
6．(2016·济宁模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，a ＜b ＜c 且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )
A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0
B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0
C ．2－a ＜2c
D ．2a ＋2c ＜2
解析：作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图。

∵a ＜b ＜c ，且f (a )＞f (c )＞f (b )，结合图象知 0＜f (a )＜1，a ＜0，c ＞0，∴0＜2a ＜1。

∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a ＜1， ∴f (c )＜1，∴0＜c ＜1。

∴1＜2c ＜2，∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1， 又∵f (a )＞f (c )，∴1－2a ＞2c －1，
∴2a ＋2c ＜2，故选D 。

答案：D 二、填空题
7．(2016·长春模拟)已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________。

解析：因为f (x )＝a －x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x ，
且f (－2)＞f (－3)，
所以函数f (x )在定义域上单调递增， 所以1
a ＞1，解得0＜a ＜1。

答案：(0,1)
8．(2016·济南模拟)若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________。

解析：g (x )在[0，＋∞)上为增函数， 则1－4m ＞0，即m ＜14。

若a ＞1，则函数f (x )在[－1,2]上单调递增， 最小值为1
a ＝m ，最大值为a 2＝4， 解得a ＝2，m ＝12，与m ＜1
4矛盾；
当0＜a ＜1时，函数f (x )在[－1,2]上单调递减， 最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4， 解得a ＝14，m ＝116，所以a ＝1
4。

答案：14
9．(2016·济宁月考)已知函数f (x )＝(a －2)a x (a ＞0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
＞0，则a 的取值范围是________。

解析：当0＜a ＜1时，a －2＜0，y ＝a x 单调递减，所以f (x )单调递增；当1＜a ＜2时，a －2＜0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a ＞2时，a －2＞0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增，又由题意知f (x )单调递增，故a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)。

答案：(0,1)∪(2，＋∞) 三、解答题
10．(2016·上海模拟)设常数a ≥0，函数f (x )＝2x ＋a
2x －a 根据a 的不
同取值，讨论函数y ＝f (x )的奇偶性，并说明理由。

解析：若f (x )为偶函数，则f (x )＝f (－x )对任意x 均成立，所以2x ＋a
2x
－a ＝2－x ＋a 2－x －a
， 整理可得a (2x －2－x )＝0，
因为2x －2－x 不恒为0，所以a ＝0， 此时f (x )＝1，x ∈R ，满足条件；
若f (x )为奇函数，则f (x )＝－f (－x )对任意x 均成立， 所以2x ＋a 2x －a ＝－2－x ＋a 2－x －a
，
整理可得a 2－1＝0，所以a ＝±1， 因为a ＞0，所以a ＝1，
此时f (x )＝2x ＋1
2x －1，x ≠0，满足条件；
综上所述，a ＝0时，f (x )是偶函数； a ＝1时，f (x )是奇函数。

11．已知定义在R 上的函数f (x )＝2x
－1
2|x |。

(1)若f (x )＝3
2，求x 的值；
(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范
围。

解析：(1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x －1
2x ，
由2x
－12x ＝3
2，得2·22x －3·2x －2＝0，
看成关于2x 的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x ＝－12， ∵2x ＞0，∴x ＝1。

(2)当t ∈[1,2]时， 2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t
－122t ＋m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0， ∴m ≥－(22t ＋1)，
∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)。

12．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1。

(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]的值域。

(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围。

解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，
x ∈[－3,0]，则t ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
18，1。

故y ＝2t 2
－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1，故值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－98，0。

(2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解， 设2x ＝m ＞0，
等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解。

记g (m )＝2am 2－m －1，
当a ＝0时，解为m ＝－1＜0，不成立。

当a ＜0时，开口向下，对称轴m ＝1
4a ＜0，
过点(0，－1)，不成立。

当a＞0时，开口向上，对称轴m＝1
4a＞0，过点(0，－1)，必有一个根为正，所以a＞0。