1996年考研数学三真题及全面解析

1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设方程y
x y =确定y 是x 的函数,则dy =___________. (2) 设()arcsin x f x dx x C =+⎰,则
1
()
dx f x =⎰
___________.. (3) 设()00,x y 是抛物线2
y ax bx c =++上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________. (4) 设
1
2322
2212
3
11111
23
111
1n n
n n n n n a a a a A a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,123n x x X x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1111B ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
, 其中(;,1,2,
,)i j a a i j i j n ≠≠=.则线性方程组T A X B =的解是___________.
(5) 设由来自正态总体2
~(,0.9)X N μ容量为9的简单随机样本,得样本均值5X =,则未
知参数μ的置信度为0.95的置信区间为___________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 累次积分cos 20
(cos ,sin )d f r r rdr π
θ
θθθ⎰
⎰
可以写成 ( )
(A) 1
0(,)dy f x y dx ⎰
(B) 1
0(,)dy f x y dx ⎰ (C)
1
1
(,)dx f x y dy ⎰⎰
(D) 10
(,)dx f x y dy ⎰
(2) 下述各选项正确的是 ( ) (A) 若
21
n
n u
∞
=∑和
21
n
n v
∞
=∑都收敛,则
21
()n
n n u
v ∞
=+∑收敛
(B)
1
n n
n u v
∞
=∑收敛,则
21
n
n u
∞
=∑与
21
n
n v
∞
=∑都收敛
(C) 若正项级数
1
n
n u
∞
=∑发散,则1n u n
≥
(D) 若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛,且(1,2,
)n n u v n ≥=,则级数1
n n v ∞
=∑也收敛
(3) 设n 阶矩阵A 非奇异(2n ≥),A *是矩阵A 的伴随矩阵,则 ( ) (A) 1
()n A A A -**= (B) 1
()n A A A +**= (C) 2()n A A
A -**= (D) 2
()n A A
A +**=
(4) 设有任意两个n 维向量组1,
,m αα和1,
,m ββ,若存在两组不全为零的数1,
,m λλ
和1,
,m k k ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-=,则
( )
(A) 1,,m αα和1,,m ββ都线性相关 (B) 1,
,m αα和1,
,m ββ都线性无关
(C) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性无关 (D) 1111,
,,,
,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关
(5) 已知0()1P B <<且()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+,则下列选项成立的是( ) (A) ()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+ (B) ()1212()()P A B A B P A B P A B +=+ (C) ()1212()()P A A P A B P A B +=+ (D) ()()1122()()()P B P A P B A P A P B A =+
三、(本题满分6分)
设(),0,()0,0,x
g x e x f x x
x -⎧-≠⎪
=⎨⎪=⎩
其中()g x 有二阶连续导数,且(0)1,(0)1g g '==-. (1)求()f x '；
(2)讨论()f x '在(,)-∞+∞上的连续性.
四、(本题满分6分)
设函数()z f u =,方程()()x
y
u u p t dt ϕ=+
⎰
确定u 是,x y 的函数,其中(),()f u u ϕ可
微；()p t ,()u ϕ'连续,且()1u ϕ'≠.求()()z z p y p x x y
∂∂+∂∂.
五、(本题满分6分)
计算
2
(1)
x
x xe dx e -+∞
-+⎰
.
六、(本题满分5分)
设()f x 在区间[0,1]上可微,且满足条件120
(1)2
()f xf x dx =⎰
.试证:存在(0,1)ξ∈使
()()0.f f ξξξ'+=
七、(本题满分6分)
设某种商品的单价为p 时,售出的商品数量Q 可以表示成a
Q c p b
=
-+,其中a b 、、 c 均为正数,且a bc >.
(1) 求p 在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.
(2) 要使销售额最大,商品单价p 应取何值?最大销售额是多少?
八、(本题满分6分)
求微分方程dy dx =
的通解.
九、(本题满分8分)
设矩阵01001
0000010012A y ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
. (1) 已知A 的一个特征值为3,试求y ； (2) 求矩阵P ,使()()T
AP AP 为对角矩阵.
十、(本题满分8分)
设向量12,,
,t ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系,向量β不是方程组
0AX =的解,即0A β≠.试证明:向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.
十一、(本题满分7分)
假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?
十二、(本题满分6分)
考虑一元二次方程2
0x Bx C ++=,其中B C 、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q .
十三、(本题满分6分)
假设12,,
,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本；已知(1,2,3,4)k k EX a k ==.
证明：当n 充分大时,随机变量2
1
1n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布,并指出其分布参数.
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】
()
1ln dx
x y +
【解析】方法1：方程y
x y =两边取对数得ln ln ln y
x y y y ==,再两边求微分,
()()
11ln 1ln 1dx y dy dy dx x x y =+⇒=+()()ln 10x y +≠. 方法2：把y
x y =变形得ln y y
x e =,然后两边求微分得
()()()ln ln 1ln 1ln y y y dx e d y y y y dy x y dy ==+=+,
由此可得 ()
1
.1ln dy dx x y =
+
(2)【答案】C
【解析】由()arcsin x f x dx x C =+⎰
,两边求导数有
()
1
()arcsin ()
xf x x f x '==
⇒
=
于是有
1()dx f x ⎰
21
2
==⎰ ()
2
112
x =-
-
C =.
(3)【答案】
0c a
≥(或2
ax c =),b 任意 【解析】对2
y ax bx c =++两边求导得()0022y ax b,y x ax b,''=+=+ 所以过()00x ,y 的切线方程为()()0002y y ax b x x ,-=+-即
()()()2
00002y ax bx c ax b x x .-++=+-
又题设知切线过原点()00,,把0x y ==代入上式,得
2200002ax bx c ax bx ,---=--即20ax c.=
由于系数0a ≠,所以,系数应满足的关系为0c a
≥(或2
ax c =),b 任意. (4)【答案】()1000T
,,,
【解析】因为A 是范德蒙行列式,由i j a a ≠知()0i
j
A a a =-≠∏.根据解与系数矩阵
秩的关系,所以方程组T A X B =有唯一解.
根据克莱姆法则,对于
21111121222221333
32111
111111n n n n n n
n
n x a a a x a a a x a a a x a a a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦, 易见 1230n D A ,D D D .===
==
所以T
A X
B =的解为12310n x ,x x x ===
==,即()1000T
,,,
,.
【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组
1111221121122222
1122,,.
n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩ 或简记为 1
12n
ij j
i j a x
b ,
i ,,,n ===∑
其系数行列式
11
1212122212
0n n n n nn
a a a a a a D a a a =
≠,
则方程组有唯一解
12j j D x ,j ,,,n.D
=
=
其中j D 是用常数项12n b ,b ,
,b 替换D 中第j 列所成的行列式,即
11
111111212122121
11
,j ,j n ,j ,j n j n n,j n
n,j nn
a a
b a a a a b a a D a a b a a -+-+-+=
.
(5)【答案】(4.412,5.588) 【解析】可以用两种方法求解：
(1)已知方差22
0.9σ=,对正态总体的数学期望μ进行估计,可根据 因2
(,0.9)X
N μ,设有n 个样本,
样本均值1
1n
i i X X n ==∑,
有20.9(,)X
N n μ,将其标准化,~(0,1)X
N 得：
)1,0(~1N n
X μ
-
由正态分布分为点的定义21P u
αα⎫⎪
<=-⎬⎪⎭
可确定临界值2
αu ,
进而确定相应的置信区间2
2
(x u x u α
α
-+.
(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值μ的置信区间问题. 由教材上已经求出的置信区间2
2
x u x u α
α
⎛-+ ⎝
,
其中2
1,(0,1)P U u U
N αα⎧⎫<=-⎨⎬⎩
⎭
,可以直接得出答案.
方法1：由题设,95.01=-α,可见.05.0=α查标准正态分布表知分位点.96.12
=αu 本
题9n =, 5X =,
因此,根据 95.0}96.11{
=<-n
X P μ
,有 1.96}0.95P <=,即 {4.412 5.588}0.95P μ<<=,
故μ的置信度为0.95的置信区间是(4.412,5.588) .
方法2：由题设,95.01=-α,
2
2
2
2
2
{}{}2()10.95,()0.975P U u P u U u u u ααααα<=-<<=Φ-=Φ=
查得.96.12
=αu
2
0.9σ=,9n =
, 5X =代入2
2
(x u x u α
α
-+得置信区间(4.412,5.588).
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)
【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系cos ,sin x r y r θθ==中是
(),|0,0cos ,2D r r πθθθ⎧⎫
=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭
即是由2
21124x y ⎛
⎫-+= ⎪⎝
⎭与x 轴在第一象限所围成的
平面图形
,如右图.
由于D 的最左边点的横坐标是0,最右点的横坐标是1, 下边界方程是0y ,=
上边界的方程是y =从而D 的直角坐标表示是
(){010D x,y |x ,y ,=
≤≤≤≤
故(D)正确.
方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为
()1,|0,0sin ,2D r r πθθθ⎧⎫
=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭
而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分, (C)中的积分区域是正方形
(){}0101x,y |x ,y ,≤≤≤≤
所以,他们都是不正确的.故应选(D).
(2)【答案】(A) 【解析】由于级数
21
n
n u
∞
=∑和
21
n
n v
∞
=∑都收敛,可见级数
()221
n
n n u
v ∞
=+∑收敛.由不等式
22
2n n n n
u v u v ≤+
及比较判别法知级数
1
2n n
n u v
∞
=∑收敛,从而
1
2n n
n u v
∞
=∑收敛.
又因为()2
222n n n
n
n n u v u v u v ,+=++即级数
()
2
1
n n n u v ∞
=+∑收敛,故应选(A).
设()2
1
112n n u ,v n ,,n ===,可知(B)不正确. 设()211
12n u n ,,n n
=-=,可知(C)不正确.
设()()1
11
12n n
n u ,v n ,,n
n
--=
=-
=,可知(D)不正确.
注：在本题中命题(D)“若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛,且(1,2,
)n n u v n ≥=,则级数1n n v ∞
=∑也收敛.”
不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别. (3)【答案】(C)
【解析】伴随矩阵的基本关系式为AA A A A E **
==, 现将A *视为关系式中的矩阵A ,则有()A A A E ****=. 方法一：由1
n A A
-*
=及1
()
A
A A
*-=
,可得 1
2
1()().n n A A A A A
A A A
--****-=== 故应选(C).
方法二：由()A A A E ****=,左乘A 得
1
()()n AA A A
A -***=,即1
()()n A E A A
A -**=.
故应选(C). (4)【答案】(D)
【解析】本题考查对向量组线性相关、线性无关概念的理解.若向量组12,,,s γγγ线性
无关,即若11220s s x x x γγγ++
+=,必有120,0,,0s x x x ===.
既然1,
,m λλ与1,,m k k 不全为零,由此推不出某向量组线性无关,故应排除(B)、(C).
一般情况下,对于
1122110,s s s s k k k l l αααββ++
+++
+=
不能保证必有11220,s s k k k ααα+++=及110,s s l l ββ++=故(A)不正确.由已知条件,
有
()()()()1111110m m m m m m k k λαβλαβαβαβ++
+++-++-=,
又1,
,m λλ与1,,m k k 不全为零,故1111,,,,
,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关.
故选(D).
(5)【答案】(B) 【解析】依题意
()()()()()
12121212)(,.()()()()()
P A A B P A B P A B P A B A B P A B P A B P B P B P B P B P B +⎡⎤++⎣⎦
=+=
因()0P B >,故有()()1212)(P A B A B P A B P A B +=+.因此应选(B).
注：有些考生错误地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何事件B 都成立,但是忽略了全概率公式中要求作为条件的事件12,A A 应满足12()0,()0P A P A >>,且12,A A 是对立事件.
【相关知识点】条件概率公式：()
(|)()
P AB P B A P A =.
三、(本题满分6分)
【解析】(1) 由于()g x 有二阶连续导数,故当0x ≠时,()f x 也具有二阶连续导数,此时,()f x '可直接计算,且()f x '连续；当0x =时,需用导数的定义求(0)f '.
当0x ≠时, 22
[()]()()()(1)().x x x
x g x e g x e xg x g x x e f x x x ---''+-+-++'=
= 当0x =时,由导数定义及洛必达法则,有
2000()()()(0)1
(0)lim lim lim 222
x x x x x x g x e g x e g x e g f x x ---→→→'''''-+--'==洛洛. 所以 2
()()(1),0,()(0)1,0.
2
x
xg x g x x e x x f x g x -'⎧-++≠⎪⎪'=⎨''-⎪=⎪⎩
(2) ()f x '在0x =点的连续性要用定义来判定.因为在0x =处,有
2
00()()(1)lim ()lim x
x x xg x g x x e f x x -→→'-++'=
0()()()(1)lim 2x x
x g x xg x g x e x e x --→''''+-+-+= 0()(0)1
lim
(0)22
x x g x e g f -→''''--'===. 而()f x '在0x ≠处是连续函数,所以()f x '在(,)-∞+∞上为连续函数.
四、(本题满分6分) 【解析】由()z f u =可得
(),()z u z u f u f u x x y y
∂∂∂∂''==∂∂∂∂. 在方程()()x
y
u u p t dt ϕ=+
⎰
两边分别对,x y 求偏导数,得
()(),()().u u u u u p x u p y x x y y
ϕϕ∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂ 所以
()(),1()1()
u p x u p y x u y u ϕϕ∂∂-==''∂-∂-. 于是 ()()()()()
()()01()1()z z p x p y p x p y p y p x f u x y u u ϕϕ⎡⎤∂∂'+=-=⎢⎥''∂∂--⎣⎦
.
五、(本题满分6分)
【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法. 【解析】方法1:因为
21(1)111x x x x x xe x dx
dx xd e e e e
-----=-++++⎰⎰⎰分部积分 1(1)1111ln(1),1x x
x x x x x
x x e x dx d e e e e e x e C e
---=-=-+++++=-+++⎰⎰
所以
20
lim ln(1)ln 2.(1)1x x x x x x xe xe dx e e e -+∞
-→+∞⎡⎤=-++⎢⎥++⎣⎦
⎰
而 lim ln(1)lim ln (1)11x x x x x
x
x x x xe xe e e e e e -→+∞→+∞⎡⎤⎧⎫⎡⎤-+=-+⎨⎬⎢⎥⎣⎦++⎣⎦⎩⎭
lim ln(1)1x x x
x xe x e e -→+∞⎧⎫=--+⎨
⎬+⎩⎭
lim 001x
x x
e →+∞-=-=+,
故原式ln 2=. 方法2:
220
001(1)(1)1x x x x x xe xe dx dx xd e e e
-+∞
+∞+∞-==-+++⎰
⎰⎰
000
00
11111(1)ln(1)ln 2.
1x
x
x x x
x x x
x dx dx e dx e e e e d e e e +∞
-+∞
+∞+∞-+∞+∞
---=-+==++++=-+=-+=+⎰
⎰⎰⎰
六、(本题满分5分)
【分析】由结论可知,若令()()x xf x ϕ=,则()()()x f x xf x ϕ''=+.因此,只需证明()x ϕ在
[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件.
【解析】令()()x xf x ϕ=,由积分中值定理可知,存在1
(0,)2
η∈,使
11220
1
()()()2
xf x dx x dx ϕϕη==⎰
⎰,
由已知条件,有120
1
(1)2
()2()(),2
f xf x dx ϕηϕη==⋅=⎰
于是
(1)(1)(),f ϕϕη==
且()x ϕ在(,1)η上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),ξη∈⊂使得
()0,ϕξ'=即()()0.f f ξξξ'+=
【相关知识点】1.积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[ ,]a b 上连续,则在[ ,]a b 上至少存在一个点ξ,使下式成立：
()()()()
b
a
f x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰
.
这个公式叫做积分中值公式. 2.罗尔定理：如果函数()f x 满足
(1)在闭区间[ ,]a b 上连续； (2)在开区间()a,b 内可导；
(3)在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在()a,b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.
七、(本题满分6分)
【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x 的某个区间上导函数()0f x '≥,则函数()f x 单调递增,反之递减.
【解析】(1)设售出商品的销售额为R ,则
()()
2
2
(),().ab c p b a
R pQ p c R p p b p b -+'==-=++ 令0,R '=得
00p b =
=>.
当0p <<
时,0R '>,所以随单价p 的增加,相应销售额R 也将增加.
当p >
时,有0R '<,所以随单价p 的增加,相应销售额R 将减少. (2)由(1)可知,
当p =
时,销售额R 取得最大值,最大销售额为
2max
R b c ⎡⎤
⎫⎥==⎪⎪⎥⎭⎥⎦
.
八、(本题满分6分) 【解析】令y z x =
,则dy dz
z x dx dx
=+. 当0x >时,
原方程化为dz
z x
z dx +=-,
dx x =-,其通解为
1ln(ln z x C =-+ 或
C z x
+=
. 代回原变量,
得通解(0)y C x =>.
当0x <时,原方程的解与0x >时相同,理由如下: 令t x =-,于是0t >,而且
dy dy dx dy
dt dx dt dx =⋅=-===
.
从而有通解(0)y C t +=>,
即(0)y C x =<.
综合得,
方程的通解为y C =.
注：由于未给定自变量x 的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数y
z x
=
后得
x =,
从而,应当分别对0x >和0x <求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.
九、(本题满分8分)
【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题. 【解析】(1)因为3λ=是A 的特征值,故
3
10013003
13138(2)0,0031
13110
1
1y E A y y ------=
=
⋅=-=-----
所以2y =.
(2)由于T
A A =,要2
()()T T AP AP P A P ==Λ,而
21000010000540
04
5A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
是对称矩阵,故可构造二次型2T x A x ,将其化为标准形T
y y Λ.即有2
A 与Λ合同.亦即
2T P A P =Λ.
方法一：配方法.
由于 22222
123434558T x A x x x x x x x =++++
22222
212334444
2222
12344816165()55255
495(),
55
x x x x x x x x x x x x x =+++++-=++++
那么,令1122334444
,,,,5
y x y x y x x y x ===+
=即经坐标变换
1122334410000100,400150
001x y x y x y x y ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
有 2
2
2
2
2
1234955
T
x A x y y y y =+++
. 所以,取 10000100400150
001P ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢
⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,有 2
11()()5
95T T AP AP P A P ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
. 方法二：正交变换法.
二次型22222
123434558T x A x x x x x x x =++++对应的矩阵为
21000010000540
04
5A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其特征多项式
2
31
0001
0(1)(9)005
4
4
5
E A λλλλλλλ---=
=------.
2A 的特征值12341,1,1,9λλλλ====.由21()0E A x λ-=,即
123400
0000000004400
0440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,
和2
4()0E A x λ-=,即
123480
00080000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,
分别求得对应1,2,31λ=的线性无关特征向量
123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)T T T ααα===-,
和49λ=的特征向量4(0,0,1,1)T
α=.
对123,,ααα用施密特正交化方法得123,,βββ,再将4α单位化为4β,其中：
1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),,T T T T
ββββ====. 取正交矩阵
[
]12341
000010
00
00,,,P ββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
==⎢⎢⎢⎢⎣
, 则 1221119T P A P P A P -⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦, 即 211()()19T T AP AP P A P ⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
.
十、(本题满分8分)
【解析】证法1： (定义法)若有一组数12,,,
,,t k k k k 使得
1122()()()0,t t k k k k ββαβαβα+++++
++= (1)
则因12,,
,t ααα是0AX =的解,知0(1,2,,)i A i t α==,用A 左乘上式的两边,有
12()0t k k k k A β+++
+=. (2) 由于0A β≠,故120t k k k k ++++=. 对(1)重新分组为121122()0t t t k k k k k k k βααα++++++++=. (3)
把(2)代入(3)得 11220t t k k k ααα+++=.
由于12,,
,t ααα是基础解系,它们线性无关,故必有120,0,
,0t k k k ===.
代入(2)式得:0k =. 因此向量组12,,,
,t ββαβαβα+++线性无关.
证法2： (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列,有
()()1212,,,
,,,,,.t t ββαβαβαβααα+++→ 因此 ()()1212,,,
,,,,
,.t t r r ββαβαβαβααα+++=
由于12,,,t ααα是基础解系,它们是线性无关的,秩()12,,
,t r t ααα=,又β必不能
由12,,
,t ααα线性表出(否则0A β=),故()12,,,,1t r t αααβ=+.
所以 ()12,,,, 1.t r t ββαβαβα+++=+
即向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.
十一、(本题满分7分)
【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X ,则X 服从二项分布即(5,0.2)B . 由二项分布的概率计算公式,有
{}500.80.32768,P X ===
{}1
4510.80.20.4096,P X C ==⋅= {}232520.80.20.2048,P X C ==⋅=
{}{}{}{}310120.05792.P X P X P X P X ≥=-=-=-==
设一周内所获利润Y (万元),则Y 是X 的函数,且
10,
0,5,1,()0,2,2,
3.
X X Y f X X X =⎧⎪=⎪
==⎨
=⎪⎪-≥⎩若若若若
由离散型随机变量数学期望计算公式,
100.3276850.409620.05792 5.20896EY =⨯+⨯-⨯=(万元).
【相关知识点】1.二项分布的概率计算公式：
若(,)Y B n p ~,则{}(1)
k
k
n k
n P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.
2.离散型随机变量数学期望计算公式：{}1
()n
k
k k E X x
P X x ==⋅=∑.
十二、(本题满分6分)
【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.
设事件1A =“方程有实根”,2A =“方程有重根”,则{}22
1404B A B C C ⎧⎫
=-≥=≤⎨⎬⎩
⎭.
用列举法求有利于i A 的样本点个数(1,2i =),具体做法见下表:
有利于的意思就是使不等式2
4
B C ≤尽可能的成立,则需要B 越大越好,C 越小越好.
当B 取遍
由古典型概率计算公式得到
11246619(),3636p P A ++++==
=2111
().3618
q P A +===
【相关知识点】古典型概率计算公式：().i i A P A =有利于事件的样本点数
样本空间的总数
十三、(本题满分6分) 【解析】依题意,12,,
,n X X X 独立同分布,可见222
12,,,n X X X 也独立同分布.由
(1,2,3,4)k k EX a k ==及方差计算公式,有
224222
24222
2
2422
11
,(),
11
1,().
i i i i n n
n i n i
i i EX a DX EX EX a a EZ EX a DZ DX a a n n
n ====-=-====-∑∑ 因此,根据中心极限定理
n U =
的极限分布是标准正态分布,即当n 充分大时,n Z 近似服从参数为2
42
2(,)a a a n
-的正态分布.
【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限定理,又称独立同分布的中心极限定理：
设随机变量12,,
,n X X X 独立同分布,方差存在,记μ与2σ()0σ<<+∞分别是它们
相同的期望和方差,则对任意实数x ,恒有
1lim )(),n
i n i P X n x x μ→∞
=⎫-≤=Φ⎬⎭
∑ 其中()x Φ是标准正态分布函数.
2.方差计算公式：2
2
()()()D X E X E X =-.
物业管理执行方案（赠送文档）
一、 物业管理人员要具备服务意识
1、 物业管理人员形象。

仪容、仪表要具有亲和力，着装整齐，面带微笑。

2、 服务观念的培养。

物业管理各单位是营业现场创造和维护良好购物环境的重要部门，所以各项配合工作都要以不影响营业销售为前提。

3、物业管理人员虽然没有直接参与到营业现场的服务工作中，但很多配合工作也要直面消费者，如卖场保洁人员、保安员、设备维护人员都会与顾客接触。

怎样从公司利益出发，更好地为顾客服务是工作执行的要点。

故服务意识就是如何为现场管理单位做好配合、协助。

更好地使消费者感觉便利和满意，是我们工作的出发点。

二、开店、闭店物业管理配合事项
1、工程设备人员：
每天8：00开启通道口和办公区照明；8：10开启卖场主通道照明；8：25开启卖场所有照明.空调、电梯等各项使用设备开启时间另行规定，同时检查各项设备的使用状况。

2、保洁人员
每天按时进入卖场进行通道的清洁工作，开业后进行细部保洁工作。

3、保安人员
每天7：30进入卖场，与夜班交接工作后负责门岗，8：30协助营业单位开门进入卖场。

闭店流程：
送宾曲结束后，工程设备人员关闭主场照明及各项使用设备，保留各通道灯带。

保安员协助现场营业主管，对滞留顾客委婉送宾，营业员统一退出卖场后，营业主管和保安人
员一同对卖场仓库电器设备进行检查，检查完毕后一同锁门，封场、做好记录并签名。

三、营业中维护保养工作执行要点
1、营业时间卖场设备出现问题影响现场正常营业，如
电梯停运、停电、陈列道具损坏等，需要现场维修。

要设置维修指示牌：“不便之处敬请谅解。

”尽量快
速完成，不影响顾客购物。

如果因设备损坏造成人
员伤害，应立刻根据实际情况，送往医院治疗，并
妥善处理。

2、如各项使用设备需检修，但不影响营业使用，尽量
打烊后再行维护。

四、紧急突发事件的应对措施
1、停电
对于临时性的停电，在发电机未启用，各部门根据自己的岗位职责，立刻到现场维护现场秩序。

（1）营业单位加强巡场，各柜位营业人员照看好自己的商品，同时对顾客宣导电路检修暂时停电
表示道歉，并稳定顾客情绪。

同时安排人员在
电扶梯口疏导顾客，防止跌倒，并致歉。

（2）财务单位立刻派人到各收银台督导收银员保管好现金，并使用手工收银单。

（3）保安人员协助现场营业单位疏导顾客，加强现
场保卫，防止有人趁火打劫，对各通道口做好
警卫，做好引导工作。

（4）工程人员检查应急灯使用情况，尽快检修线路故障，使发电机迅速启动，并做好各项设备维
护工作，使通电后能够正常工作。

2、火灾
有火情发生时，保安人员和消防责任组立刻赶到现场补救，并根据火灾情况进行人员疏导，如火灾无法控制，消防联动系统立刻启动，并协助营业现场做好疏导工作，收银台现金收集携带，各通道口保持畅通，人员顺利疏散，同时通知消防单位进行补救。

3、商品丢失
营业现场发生抢劫、偷窃事件时，保安接报警后，及时到现场了解情况，并及时报警请公安人员来处理。

同时利用监控设备，查找嫌疑人，协助公安人员开展后续工作。

五、大型活动配合准备事项
公司在举行“五·一”、“十·一”、“周年庆”等大型促销活动时，工程设备单位事前做好各项卖场设备的检查维护工作，使各项设备都能保证活动期间正常使用，并对临时促销场所做好电源、照明的设备的检测安装。

保安员加强商场进出通道口的引导工作，使人员安全、顺利通过。

同时协助
卖场做好商品及收银的安全防范工作。

保洁人员加强营业现场各通道清洁维护，保证洗手间干净整洁正常使用。

精品文档，可以任意编辑。