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九年级思维拓展：中点
【知识点睛】
中点是初中数学几何问题中的常见特征．在实际解决问题时，应用与中点有关的定理，也可以看作是中点与其他几何特征进行的组合搭配． 1. 与中点有关的定理
①
② ③
等腰+中点 直角+中点
多个中点
考虑
2. 与中点有关的构造
（1） 将中点看作是对称中心，构造中心对称图形
平行夹中点
见中点，要倍长
考虑
（2） 将中点看作线段间的比值关系，考虑相似或者面积转化；
3. 其他背景下的中点
（1） 坐标系中见到中点，考虑中点坐标公式；
如图，已知 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段 AB 的中点 M 的坐标为
⎛ x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ⎫
．
2 2 ⎪ ⎝ ⎭
（2） 圆背景下的中点，考虑圆中的相关定理；如：①圆中四组量关系定理；②垂径定理；③圆
周角定理等；
D
E
D
M
N M
N 21
【精讲精练】
1. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 垂直平分 AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC =
．
A
A
A
D
C
B
B
F
C
E
B
C
第 1 题
第 2 题
第 3 题
2. （2016·鄂尔多斯）如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，M 为 AB 边的中点，将 Rt △ABC 绕点 M 旋转， 使点 C 与点 A 重合得△DEA ，AE 交 CB 于点 N ，若 AB 2 13 ，AC =4，则 CN 的长为（ ）
A. 10
3
B. 2 3
C. 4 3
D. 5 3
3. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC =90°，AC =AD ，M ，N 分别为 AC ，CD 的中点，连接 BM ，MN ，
BN ．若∠BAD =60°，AC 平分∠BAD ，AC =2，则 BN 的长为
．
4. （2019·包头）如图，在 Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BC =3，D 为斜边 AC 的中点，连接 BD ，F 是
BC 边上的动点（不与点 B ，C 重合），过点 B 作 BE ⊥BD 交 DF 延长线于点 E ，连接 CE ，下列结 论：
A
①若 BF =CF ，则 CE 2+AD 2=DE 2；
②若∠BDE =∠BAC ，AB =4，则 CE = 15
；
D 8
③△ABD 和△CBE 一定相似；
F
C
④若∠A =30°，∠BCE =90°，则 DE = ； 其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
B
E
5. （2018·哈尔滨）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，AB =OB ，点 E ，F
分别是 OA ，OD 的中点，连接 EF ，∠CEF =45°，EM ⊥BC 于点 M ，EM 交 BD 于点 N ，FN = 10 ， 则线段 BC 的长为
．
D
C A
E
F
N
O
B
C G
M
E
M
M
E
C
6. （2014·包头）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 的中点，EF ⊥EC 交 AD 于点 F ，连接 CF （AD
＞AE ），下列结论：①∠AEF =∠BCE ；②AF +BC ＞CF ；③S △CEF =S △EAF +S △CBE ；
④△AEF ∽△ECF ．其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
A
F
D
E
B
C
第 6 题
第 7 题
CE ⊥AB 于点 E ，F 为 AD 的中点，连接 CF ，则下列结论： △BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF
8. （2018·十堰改编）已知正方形 ABCD 与正方形 CEFG ，M 是 AF 的中点，连接 DM ，EM ．
（1） 如图 1，点 E 在 CD 上，点 G 在 BC 的延长线上，请判断 DM ，EM 的数量关系与位置关系， 并直接写出结论；
（2） 如图 2，点 E 在 DC 的延长线上，点 G 在 BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结
论；
（3） 将图 1 中正方形 CEFG 旋转至图 3 中位置，则（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由．
A
D
A
D
F
B
C
G
F E
图1
图2
A
D
B
F
A
B
D
C
C
E
C
E
2
E F
O 9. 如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，若 AB =5，AC =13，AD =6，则 BC 的长为
．
10. （2018·武汉）如图，在△ABC 中，∠ACB =60°，AC =1，D 是边 AB 的中点，E 是边 BC 上一点．若
DE 平分△ABC 的周长，则 DE 的长是
．
A
D
B A
D
B
11. （2019·河南）如图，在四边形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠D =90°，AD =4，BC =3，分别以点 A ，C 为
圆心，大于 1
AC 长为半径作弧，两弧交于点 E ．作射线 BE 交 AD 于点 F ，交 AC 于点 O ．若点 O
2
是 AC 的中点，则 CD 的长为（ ）
A ． 2
B ．4
C ．3
D ．
A
D
B
C
12. （2018·鄂尔多斯）如图是一个边长为 4 的正方形，长为 4 的线段 PQ 的两端在正方形相邻的两边
上滑动，且点 P 沿 A →B →C →D 滑动到点 D 终止，在整个滑动过程中，PQ 的中点 R 所经过的路线长为
．
P
B
10
R
13.（2017·河南）如图1，在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点D，E 分别在边AB，AC 上，AD=AE，
连接DC，点M，P，N 分别为DE，DC，BC 的中点．
（1）观察猜想
图1 中，线段PM 与PN 的数量关系是，位置关系是；
（2）探究证明
把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2 的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN 面积的最大值．
图1
B N C
图2
N
y B
C
D
A
P
O
x
【思考题】
14. （2015·河北）如图，点 A ，B 为定点，定直线 l ∥AB ，P 是 l 上一动点，点 M ，N 分别为 PA ，PB 的
中点，对于下列各值：①线段 MN 的长；②△PAB 的周长；
③△PMN 的面积；④直线 MN ，AB 之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点 P 的移动而变化的是（ ）
A ．②③
B ．②⑤
C ．①③④
D ．④⑤
P
l
M
A
B
15. （2018·鄂尔多斯）如图 1，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE ，垂足为点 P ，设 BC =a ，AC =b ，
AB =c ，则 a 2+b 2=5c 2，利用这一性质计算．如图 2，在□ABCD 中，E ，F ，G 分别是 AD ，BC ，CD 的中点，EB ⊥EG 于点 E ，AD =8，AB = 2 5 ，则 AF =
．
C
F
A
E
D
A
B B
F C
图1
图2
16. （2016·包头）如图，直线 y = 2
x + 4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B ，点 C ，D 分别为线段 AB ，
3
OB 的中点，点 P 为 OA 上一动点，PC +PD 值最小时点 P 的坐标为（ ）
A ．(-3，0)
B ．(-6，0)
C ．( - 3 ，0)
D ．( - 5
，0)
2 2
G
E
P
【参考答案】
【知识点睛】 1. 三线合一；
斜边中线等于斜边一遍； 中位线； 2. 延长证全等；
倍长之后证全等； 【精讲精练】 1. 45°
2. 5
3
3. 4. ①②④ 5. 4 6. ①③④ 7. ①②④ 8. 略 9. 2
10.
3 2
11. A 12. 3π
13. （1）PM =PN ，PM ⊥PN
（2） 等腰直角三角形，证明略；
（3） 最大面积为 49
2
【思考题】 14. B 15. 2 16. C
2
2 61
15。