【5套打包】海口市初三九年级数学上(人教版)第24章圆单元测试题(含答案解析)

人教版九年级上册第24 章数学圆单元测试卷 ( 含答案 )(4)
一．选择题
1．以下相关圆的一些结论，此中正确的选项是（）
A．随意三点能够确立一个圆
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．均分弦的直径垂直于弦，而且均分弦所对的弧
D．圆内接四边形对角互补
2．用直角三角板检查半圆形的工件，以下工件哪个是合格的（）
A．B．
C．D．
3．已知⊙O的半径为2，点P在⊙ O内，则OP的长可能是（）
A． 1B． 2C．3D．4
4．如图．BC是⊙O的直径，点A、 D在⊙ O上，若∠ ADC＝48°，则∠ ACB等于（）度．
A． 42B． 48C． 46D．50
5．今年寒假时期，小明观光了中国扇博物馆，如图是她看到的纸扇和团扇．已知纸扇的骨柄长为 30cm，扇面有纸部分的宽度为18cm，折扇张开的角度为150°，若这两把扇子的扇面面积相等，则团扇的半径为（）
A．B．C．D．
6．已知正六边形的边心距是，则正六边形的边长是（）A． 4B．C．D．
7．如图，
AB 是圆
O
的直径，点
C
在的延伸线上，直线与圆
O
相切于点，弦⊥
BA CD D DF AB
于点，连结，＝＝4，则的长度为（）
E BD CD BD OE
A．B． 2C． 2D．4
8．如图，四边形ABCD是菱形，
点B，C在扇
形
AEF的
弧
EF上，若扇
形
ABC的面积为，
则菱形ABCD的边长为（）
A． 1B． 1.5C．D．2
9．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C 是半圆上的点，D
是
上的点．若∠BOC＝50°，则∠ D的度数（）
A． 105°B． 115°C． 125°D．85°
10．如图，在 Rt △中，∠＝ 90°，以点
C 为圆心的圆与边
AB
相切于点．交边
BC
ABC ACB D 于点 E，若 BC＝4， AC＝3，则 BE的长为（）
A． 0.6B． 1.6C． 2.4D．5
11．如图，在平行四边形ABCD中， AB＝4， AD＝2，分别以A、 B 为圆心， AD、 BC为半径画
弧，交 AB于点 E，交 CD于点 F，则图中暗影部分图形的周长之和为（）A． 2+πB． 4+πC． 4+2πD．4+4π
12．如图，为半圆
O 的直径，⊥ 且＝，射线交半圆
O
的切线于点，⊥
AB BC AB BC AB BD E DF CD 交于，若＝ 2 ，＝ 2，则⊙的半径长为（）
AB FAEBF DF O
A．B．4C．D．
二．填空题
13．已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是．
14．如图，点O是△ ABC的内切圆的圆心，若
∠
A＝80°，则∠BOC为．
15．一条弦把圆分红1： 2 两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为．
16．如图，⊙O的直径AB垂直于
弦
CD，垂足为E，假如∠ B＝60°，AO＝4，那么CD的长为．
17．如图点A是半圆上一个三均分点（凑近点N这一侧），点 B是弧 AN的中点，点 P 是直径MN上的一个动点，若⊙O半径为3，则 AP+BP的最小值为．
三．解答题
18．如图，E是 Rt △ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边 AC 于点 F，连结 AD．
（1）求证：AD均分∠BAC．
（2）若AE＝ 2，∠CAD＝25°，求的长．
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，点D在以 AB为直径的 QO上．
（1）若直线CD是⊙O的切线，求∠BAD的度数；
（2）在（ 1）的条件下，若⊙O的半径为 1，求图中暗影部分的周长．
20．如图，在平面直角坐标系xOy 中， A（﹣8，0）， B（0，6），∠ ABO的角均分线交△ABO 的外接圆⊙ M于点 D，连结 OD， C为 x 正半轴上一点．
（1）求⊙M的半径；
（2）若OC＝，求证：∠OBC＝∠ODB；
（3）若I为△ABO的心里，求点D到点I的距离．
21．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为 12，拱高为 4 ．
AB m CD m
（ 1）求拱桥的半径；
（ 2）有一艘宽为 5 的货船，船舱顶部为长方形，并超出水面 3.4，则此货船能否能顺
m m
利经过此圆弧形拱桥，并说明原因；
22．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延伸BD到点 C，使 AB＝ AC，连结 AC，过点 D
作 DE⊥AC，垂足为
E．（ 1）求证：DC＝
BD；
（ 2）求证：DE为⊙O的切线；
（ 3）若AB＝ 12，AD＝ 6 ，连结OD，求扇形BOD的面积．
23．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．（ 1）求证：BD＝CD；
（ 2）若AB＝ 4，∠BAC＝45°，求暗影部分的面积．
24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D 是⊙ O上的点，且OD∥ BC， AC分别与 BD、 OD订交于点 E、F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若CB＝ 6，AB＝ 10，求DF的长；
PC+PD的最（ 3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝ 80°，点P 是线段AB上随意一点，试求
出
小值．
25．如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，∠ABC的均分线交AC于点 E，过点 E 作 BE的垂线交 AB 于点 F，⊙ O是△ BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；
（ 3）若CD＝ 1，EF＝，求AF长．
参照答案
一．选择题
1．解：A、不共线的三点确立一个圆，故本选项不切合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不切合题意；
C、均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不切合题意；
D、圆内接四边形对角互补，故本选项切合题意．
应选： D．
2．解：依据90°的圆周角所对的弦是直径获得只有C选项正确，其余均不正确；
应选： C．
3．解：∵⊙O的半径为6，点P在⊙O内，
∴OP＜2．
应选： A．
4．解：连结AB，如下图：
∵ BC是⊙ O的直径，
∴∠ BAC＝90°，
∵∠ B＝∠ ADC＝48°，
∴∠ ACB＝90°﹣∠ B＝42°；
应选： A．
5．解：纸扇的扇面面积＝﹣＝315π，则团扇的半径＝＝ 3（cm），
应选： D．
6．解：∵正六边形的边心距为2，
∴ OB＝2，∠ OAB＝60°，
∴AB＝＝＝2，
∴AC＝2AB＝4．
应选： A．
7．解：连结OD，如图，
∵直线 CD与⊙ O相切于点 D，
∴OD⊥CD，
∴∠ ODC＝90°，
∵ CD＝BD＝4，
∴∠ C＝∠ B，
∵ OD＝OB，
∴∠ B＝∠ ODB，
∴∠ DOE＝∠ B+∠ ODB＝
2∠B，∴∠ DOE＝2∠ C，
在 Rt △OCD中，∠DOE＝ 2∠C，则∠DOE＝ 60°，∠C＝30°，∴ OD＝cot∠ EOD?CD＝×4 ＝4，
∵DF⊥AB，
∴∠ DEO＝90°，
在 Rt △ODE中，OE＝ cos ∠EOD?OD＝× 4＝2，
应选： B．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝ AC，
∴∠ BAC＝60°，
∵＝，
∴AB＝1.5，
应选： B．
9．解：连结BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ ADB＝90°，
∵∠ BDC＝∠BOC＝×50°＝25°，
∴∠ ADC＝90°+25°＝115°．
应选： B．
10．解：在 Rt △ACB中，AB＝＝ 5，∵以点 C为圆心的圆与边AB相切于点 D
∴CD⊥AB，
∵CD?AB＝ AC?BC，
∴ CD＝＝2.4，
∵CE＝CD＝2.4，
∴BE＝BC﹣ CE＝4﹣2.4＝1.6．
应选： B．
11．解：设∠A＝n°，
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴∠ B＝180°﹣ n°， BC＝AD＝2，
由题意得， AE＝AD＝2， BE＝ BC＝2，
∴图中暗影部分图形的周长之和＝的长 +的长+CD＝+4+＝4+2π，
应选： C．
12．解：连结AD， CF，作 CH⊥ BD于 H，如下图：
∵AB是直径，
∴∠ ADB＝90°，
∴∠ADF+∠BDF＝90°，∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠ BDF+∠ BDC＝90°，∠ CBD+∠ DBA＝90°，
∴∠ ADF＝∠ BDC，∠ DAB＝∠ CBD，
∴△ ADF∽△ BDC，
∴＝＝，
∵∠ DAE+∠ DAB＝90°，∠ E+∠ DAE＝90°，
∴∠ E＝∠ DAB，
∴△ ADE∽△ BDA，
∴＝，
∴＝，即＝，
∵AB＝BC，
∴ AE＝AF，
∵AE＝2BF，
∴BC＝AB＝3BF，
设 BF＝x，则 AE＝2x， AB＝ BC＝3x，
∴ BE＝＝x， CF＝＝，
2
由切割线定理得：AE＝ ED× BE，
∴ ED＝＝＝x，
∴ BD＝BE﹣ ED＝，
∵CH⊥BD，
∴∠ BHC＝90°，∠ CBH+∠BCH＝∠ CBH+∠ ABE，
∴∠ CBH＝∠ ABE，
∵∠ BAE＝90°＝∠ BHC，
∴△ BCH∽△ EBA，
∴＝＝，即＝＝，解得： B H＝x， CH＝x，
∴ DH＝BD﹣ BH＝x，
222
x 2
∴ CD＝ CH+DH＝，∵DF⊥CD，
2222
+（ 222
，
∴ CD+DF＝ CF，即x）＝（）解得： x＝，
∴AB＝3，
∴⊙ O的半径长为；
应选： A．
二．填空题（共 5 小题）
13．解：圆锥的侧面积＝×2π× 3×7＝21π．故答案为21π．
14．解：∵∠BAC＝ 80°，
∴∠ ABC+∠ ACB＝180°﹣80°＝100°，
∵点 O是△ ABC的内切圆的圆心，
∴BO，CO分别为∠ ABC，∠ BCA的角均分
线，∴∠ OBC+∠ OCB＝50°，
∴∠ BOC＝130°．
故答案为： 130°．
15．解：如图，连结OA、 OB．
弦AB将⊙O分为1：2两部分，
则∠ AOB＝×360°＝120°；
∴∠ ACB＝∠AOB＝60°，
∠ADB＝180°﹣∠60＝120°；
故这条弦所对的圆周角的度数为 60°或 120°．故答案是： 60°或 120°
16．解：连结OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ ACB＝90°，
∵∠ B＝60°，∴∠
A＝30°，∴∠
EOC＝60°，∴∠
OCE＝30°
∵AO＝OC＝4，
∴OE＝ OC＝2，
∴CE＝＝2，
∵直径 AB垂直于弦 CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝2CE＝4，
故答案为： 4 ．
17．解：作 B 点对于 MN的对称点 B′，连结 OA、 OB′、 AB′， AB′交 MN于 P′，如图，∵ P′ B＝ P′ B′，
∴P′ A+P′ B＝ P′ A+P′ B′＝
AB′，∴此时 P′ A+P′B 的值最小，
∵点 A是半圆上一个三均分点，
∴∠ AON＝60°，
∵点 B是弧 AN的中点，
∴∠ BPN＝∠ B′ON＝
30°，
∴∠ AOB′＝∠ AON+∠ B′ON＝60°+30°＝
90°，∴△ AOB′为等腰直角三角形，
∴AB′＝ OA＝3，
∴AP+BP的最小值为3．
故答案为3．
三．解答题（共8 小题）
18．（ 1）证明：连结OD，如图，
∵ BC为切线，
∴OD⊥BC，
∵∠ C＝90°，
∴OD∥AC，
∴∠ CAD＝∠ ODA，
∵OA＝OD，
∴∠ ODA＝∠ OAD，
∴∠ CAD＝∠ OAD，
即 AD均分∠ BAC；
（2）∵AD均分∠BAC，∠CAD＝
25°，∴∠ FAE＝2∠ CAD＝50°，
∵AE＝2，
∴ OE＝1，
∴的长为．
19．解：（ 1）∵直线CD是⊙ O的切线，
∴OD⊥CD，
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴OD⊥AB，
∴∠ AOD＝90°，
∵ OD＝OA，
∴∠ BAD＝45°；
（ 2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝2，∠ C＝∠ A＝45°，
过 B作 BE⊥CD于 E，
∴ BE＝OD＝ CE＝1，
∴CB＝，
∵的长＝＝，
∴图中暗影部分的周长＝1+2++＝3+．
20．（ 1）解：∵∠AOB＝ 90°，
∴ AB是⊙ M的直径，
∵A（﹣8，0），B（0，
6），∴ OA＝8， OB＝6，
∴ AB＝＝10，
∴⊙ M的半径 OA＝5；
（ 2）证明：∵∠AOB＝∠BOC＝ 90°，
∴ tan ∠OBC＝＝＝， tan∠OAB＝＝＝，
∴∠ OBC＝∠ OAB，
∵∠ ODB＝∠ OAB，
∴∠ OBC＝∠ ODB；
（ 3）解：作∠BOE的均分线交BD于I，作IM⊥OB于M，如下图：
则 IM∥OA， I 为△ ABO的心里， IM 为△ ABO的内切圆半径， OM＝ IM
＝（6+8﹣ 10）＝ 2，∴ BM＝4，∴ BI＝＝ 2，
∵ IM∥OA，
∴△ BIM∽△ BEO，
∴＝，即＝，
解得： EO＝3，
∴ AE＝OA﹣ EO＝5， BE＝＝＝ 3，
∴ IE＝BE﹣ BI＝，
由订交弦定理得：BE× DE＝ AE× EO，
即 3DE＝5×3，
解得： DE＝，
∴DI＝DE+IE＝2；
即点 D到点 I 的距离为2．
21．解：（ 1）如图，连结ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵ AB＝12m，
∴BD＝ AB＝6m．
又∵ CD＝4m，
设 OB＝OC＝ ON＝r ，则 OD＝（ r ﹣4）m．
在 Rt △BOD中，依据勾股定理得：r 2＝（ r ﹣4）2+62，解得 r ＝6.5．
（ 2）∵CD＝ 4m，船舱顶部为长方形并超出水面 3.4 m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（ m），
∴OE＝r ﹣ CE＝6.5﹣0.6＝5.9（ m），
2222
﹣ 5.92
＝7.44
2
在 Rt △OEN中，EN＝ON﹣OE＝
6.5（ m），∴＝（）．
EN m
∴＝2＝ 2×≈ 5.4＞ 5．
MN EN m m
∴此货船能顺利经过这座拱桥．
22．证明：（ 1）连结AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ ADB＝90°，又
∵ AB＝ AC，
∴ DC＝BD；
（ 2）连结半径OD，
∵OA＝OB， CD＝BD，
∴ OD∥AC，
∴∠ ODE＝∠ CED，
又∵ DE⊥ AC，
∴ ∠ CED＝90°，
∴∠ ODE＝90°，即
OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线；
（ 3）∵AB＝ 12，AD＝ 6 ，
∴ sin B＝＝＝，
∴∠ B＝60°，
∴∠ BOD＝60°，
∴ S 扇形BOD＝＝ 6π．
23．（ 1）证明：连结AD，
∵AB为⊙O直径，
∴ AD⊥BC，
又∵ AB＝ AC，
∴ BD＝CD；
（ 2）解：连结OE，
∵ AB＝4，∠ BAC＝45°，
∴∠ BOE＝90°， BO＝ EO＝2，∠ AOE＝90°，
∴S 阴＝ S△+S 扇形＝4+2π．
BOE OAE
24．（ 1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠ OFA＝90°，
∴ OF⊥AC，
∴ ＝，
即点 D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
而 OA＝OB，
∴ OF为△ ACB的中位线，
∴ OF＝ BC＝3，
∴DF＝OD﹣ OF＝5﹣3＝2；
（3）解：作C点对于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连结OC，如图，∵ PC＝PC′，
∴PD+PC＝ PD+PC′＝
DC′，∴此时 PC+PD的值
最小，∵ ＝，
∴∠ COD＝∠ AOD＝
80°，∴∠ BOC＝20°，
∵点 C和点 C′对于 AB对称，
∴∠ DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则 C′H＝ DH，
在 Rt △OHD中，OH＝OD＝，∴ DH＝OH＝，
∴DC′＝2DH＝5，
∴PC+PD的最小值为5．25．证明：（ 1）如图 1，连结OE．
∵BE⊥EF，
∴∠ BEF＝90°，
∴ BF是圆 O的直径．
∵BE均分∠ABC，
∴∠ CBE＝∠ OBE，
∵OB＝OE，
∴∠ OBE＝∠ OEB，
∴∠ OEB＝∠ CBE，
∴OE∥BC，
∴ AC是⊙ O的切线；
（ 2）解：如图2，连结DE．
∵∠ CBE＝∠ OBE， EC⊥ BC于 C， EH⊥ AB于 H，∴EC＝EH．
∵∠ CDE+∠ BDE＝180°，∠ H FE+∠ BDE＝180°，∴∠ CDE＝∠ HFE．
在△ CDE与△ HFE中，
∴△ CDE≌△ HFE（ AAS），
∴CD＝HF．
（3）解：由（ 2）得CD＝HF，又CD＝ 1，
∴ HF＝1，
∵EF⊥BE，
∴∠ BEF＝90°，
∴∠ EHF＝∠ BEF＝90°，
∵∠ EFH＝∠ BFE，
∴△ EHF∽△ BEF，
∴，即，
∴BF＝10，
∴ OE＝BF＝5， OH＝5﹣1＝4，
∴ Rt △OHE中， cos ∠EOA＝，
∴ Rt △EOA中， cos ∠EOA＝，
∴，
∴OA＝，
∴AF＝．
人教版数学九年级上册第二十四章《圆》培优单元测试卷（含分析）
一．选择题
1．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则侧面积为（）
A． 2πB． 3πC． 6πD．8π
2．如图，AB为⊙O的直径，P 为弦BC上的点，
∠
ABC＝30°，过点P 作PD⊥ OP交⊙ O于点
D，过点D
作DE∥ BC交 AB的延伸线于
点
E．若点C恰巧
是
的中点，BE＝6，则PC的长
是（）
A． 6﹣ 8B． 3﹣ 3C． 2D．12﹣ 6 3．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长
为
6，则弧BC的长为（）
A． 2πB． 3πC． 4πD．π
4．《九章算术》是我国古代第一部自成系统的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法系统到现在仍在推进着计算机的发展和应用．书中记录：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1 寸（ED＝ 1 寸），锯道长1 尺（AB＝ 1尺＝ 10 寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”
如下图，请依据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）
A． 13 寸B． 20 寸C．26 寸D．28 寸
5．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙ O上，且∠ ACB＝55°，则∠ APB等于（）
A． 55°B． 70°C． 110°D．125°
6．如图，在 Rt △ABC中，∠ACB＝ 90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若 BF＝2， AF＝3，则△ ABC的面积是（）
A． 6B． 7C．7D．12
7．如图，正方形ABCD内接于圆 O， AB＝4，则图中暗影部分的面积是（）A． 4π﹣ 16B． 8π﹣ 16C． 16π﹣ 32D．32π﹣ 16
8．如图，正方形ABCD和正
△AEF都内接于⊙ O，EF与 BC、CD分别订交于
点
G、H．若AE＝3，
则 EG的长为（）
A．B．C．D．
9．假如一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．将半径为 5 的“等边扇形”围成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（）
A．B．πC． 50D．50π
10．如图，点C为△ ABD外接圆上的一点
（点C不
在
上，且不与点B，D重合），且
∠ ACB＝∠ ABD＝45°，若BC＝8，CD＝4，则AC的长为（）
A． 8.5B． 5C． 4D．
11．在△ABC中，∠C＝ 90°，∠A＝ 30°，AB＝ 12，将△ABC绕点B按逆时针方向旋
转
60°，直角边AC扫过的面积等于（）
A． 24πB． 20πC． 18πD．6π
12．如图，矩形ABCD中，BC＝ 2，C D＝ 1，以AD为直径的半圆O与 BC相切于点 E，连结 BD，则暗影部分的面积为（）
A．B．C．D．
二．填空题
13．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面睁开图的圆心角度数是．
14．如图，△中，＝，以
AB 为直径的⊙
O
分别与，交于点，，连结，过
ABC AB AC BC AC D E DE
点
D 作⊥于点．若＝ 6，∠＝ 15°，则暗影部分的面积是．DF AC F AB CDF
15．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联络OA，AC，假如∠ OAB＝20°，那么∠ CAB 的度数是．
16．如图，用均分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如下图的四叶好运草，若OA＝2，则四叶好运草的周长是．
17．半径为 6 的扇形的面积为12π，则该扇形的圆心角为°．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知（ 3， 4），以点
C 为圆心的圆与
y
轴相切．点、
C A B
在
x 轴上，且＝．点为⊙
C
上的动点，∠＝ 90°，则
AB
长度的最大值为．OAOB P APB
三．解答题
19．如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与 AB、 BC边分别交于点D、E， DE∥ OA，CE是⊙ O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝ 4，EC＝ 6，求AC的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD均分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的地点关系，并说明原因；
（2）若⊙O的半径为 2，∠BAC＝ 60°，求线段EF的长．
21．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥ BD，弦 AD，BC订交于点 E．（1）求证：＝；
（2）若CE＝ 1，EB＝ 3，求⊙O的半径；
（ 3）在（ 2）的条件下，过点C作⊙ O的切线，交BA的延伸线于点P，过点 P 作 PQ∥ CB 交⊙ O于 F， Q两点（点 F 在线段 PQ上），求 PQ的长．
22．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连结 AO，AO与⊙ O交于点 C，BD为⊙ O的直径，连接 CD．若∠ A＝30°，⊙ O的半径为2，则图中暗影部分的面积是多少？
23．已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥ BC于 M．（1）求证：AH＝ 2OM；
（2）若∠BAC＝60°，求证：AH＝AO．（初二）
24．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥ AB于点H，AC分别交BD、DH于 E、 F．
（1）已知AB＝ 10，AD＝6，求AH．
（2）求证：DF＝EF
25．已知：如图，在△ABC中，∠ ACB＝90°，以 BC为直径的⊙ O交 AB于点 D， E为的中点．
（1）求证：∠ACD＝∠DEC；
（2）延伸DE、CB交于点P，若PB＝BO，DE＝ 2，求PE的长．
参照答案
一．选择题
1．解：圆锥的侧面积＝×2π× 1×3＝3π，
应选： B．
2．解：连结OD，交 CB于点 F，连结 BD，
∵＝，
∴∠ DBC＝∠ ABC＝30°，
∴∠ ABD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△ OBD是等边三角形，
∴OD⊥FB，
∴OF＝DF，
∴BF∥DE，
∴OB＝BE＝6
∴ CF＝FB＝ OB?cos30°＝6×＝3，
在 Rt △POD中，OF＝DF，
∴ PF＝DO＝3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴ CP＝CF﹣ PF＝3﹣3．
应选： B．
3．解：∵ABCDEF为正六边形，
∴∠ COB＝360°×＝60°，
∴△ OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝ BC＝6，
弧 BC的长为＝2π．
应选： A．
4．解：设⊙O的半径为r ．
在 Rt △ADO中，AD＝ 5，OD＝r﹣ 1，OA ＝r，则有 r 2＝52+（ r ﹣1）2，
解得 r ＝13，
∴⊙ O的直径为26寸，
应选： C．
5．解：连结OA， OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴ PA⊥OA， PB⊥OB，
∵∠ ACB＝55°，
∴∠ AOB＝110°，
∴∠ APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝
70°．应选： B．
6．解：连结DO， EO，
∵⊙ O是△ ABC的内切圆，切点分别为D， E， F，
∴OE⊥AC， OD⊥BC， CD＝CE， BD＝BF＝3， AF＝ AE＝4
又∵∠ C＝90°，
∴四边形 OECD是矩形，
又∵ EO＝ DO，
∴矩形 OECD是正方形，
设 EO＝x，
则 EC＝CD＝ x，
在 Rt △ABC中
222
BC+AC＝ AB
故（ x+2）2+（ x+3）2＝52，
解得： x＝1，
∴BC＝3， AC＝4，
∴S△ABC＝×3×4＝6，
应选： A．
7．解：连结OA、 OB，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠ AOB＝90°，∠ OAB＝45°，
∴ OA＝AB cos45°＝4×＝2，
2） 2 ﹣4×4＝8π﹣16．因此暗影部分的面积＝S⊙﹣ S 正方形＝π×
（OABCD
应选： B．
8．解：如图，连结AC、 BD、OF，，
设⊙ O的半径是 r ，
则 OF＝OA＝ r ，
∵ AO是∠ EAF的均分线，
∴∠ OAF＝60°÷2＝30°， AC⊥ EF，EG＝EF＝∵OA＝OF，
∴∠ OFA＝∠ OAF＝30°，
∴∠ COF＝30°+30°＝60°，
∴ FI ＝r ?sin60°＝r ，
∴ ＝
r × 2＝
r
＝＝3，
EF AE
∴r ＝
∴OI＝，
∴ CI＝OC﹣ OI＝，
∵EF⊥AC，∠ BCA＝45°
∴∠ IGC＝∠ BCI＝45°
∴ CI＝GI＝
∴EG＝EI﹣ GI＝
应选： B．
9．解：圆锥的侧面积＝?5?5＝．
应选： A．
10．解：延伸CD到 E，使
得
DE＝ BC，连结AE，如右图所示，∵∠ ACB＝∠ ABD＝45°，∠ ACB＝∠ ADB，
∴∠ ADB＝45°，
∴∠ BAD＝90°， AB＝ AD，
∵四边形 ABCD是圆内接四边形，∠ADE+∠ ADC＝180°，
∴∠ ADC+∠ ABC＝180°，
∴∠ ABC＝∠ ADE，
在△ ABC和△ ADE中，
，
∴△ ABC≌△ ADE（ SAS），
∴∠ BAC＝∠ DAE，
∵∠ BAC+∠ CAD＝∠ BAD＝90°，
∴∠ DAE+∠ CAD＝90°，
∴∠ CAE＝90°，
∵ACD＝45°， BC＝ DE＝8， CD＝4，
∴∠ ACE＝45°， CE＝
12，∴ AC＝AE＝6，
应选： D．
11．解：∵在△ABC中，∠ C＝90°，∠ A＝30°， AB＝12，
∴BC＝ AB＝6，∠ ABC＝60°，
∴ S 暗影＝﹣＝﹣＝18π．应选： C．
12．解：连结OE交 BD于 F，如图，
∵以 AD为直径的半圆O与 BC相切于点 E，
∴OE⊥BC，
∵四边形 ABCD为矩形， OA＝ OD＝1，
而 CD＝1，
∴四边形 ODCE和四边形 ABEO都是正方形，
∴ BE＝1，∠ DOE＝∠ BEO＝90°
∵∠ BFE＝∠ DFO，OD＝BE，
∴△ ODF≌△ EBF（ AAS），
∴S△＝S△，
ODF EBF
∴暗影部分的面积＝S 扇形＝EOD＝．
应选： C．
二．填空题（共 6 小题）
13．解：∵圆锥的底面圆的周长是5πcm，
∴圆锥的侧面睁开扇形的弧长为5πcm，
∴＝5π，
解得： n＝150
故答案为150°．
14．解：连结OE，
∵∠ CDF＝15°，∠ C＝75°，∴∠ OAE＝30°＝∠ OEA，
∴∠ AOE＝120°，
S△＝AE× OE sin∠ OEA＝× 2× OE× cos∠ OEA× OE sin∠OEA＝，
OAE
S 暗影部分＝S扇形OAE﹣ S△OAE＝×π× 32﹣＝ 3π﹣．
故答案 3π﹣．
15．解：连结OC交 AB于 E．
∵C是的中点，
∴ OC⊥AB，
∴∠ AEO＝90°，
∵∠ BAO＝20°，
∴∠ AOE＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠ OAC＝∠ C＝55°，
∴∠ CAB＝∠ OAC﹣∠ OAB＝35°，
故答案为35°．
16．解：由题意得：四叶好运草的周长为 4 个半圆的弧长＝ 2 个圆的周长，连结AB、BC、CD、AD，则四边形ABCD是正方形，连结OB，如下图：
则正方形 ABCD的对角线＝2OA＝4， O A⊥ OB， OA＝ OB＝2，
∴AB＝2，
过点O
作ON⊥ AB
于
N，则NA＝AB＝，
∴圆的半径为，
∴四叶好运草的周长＝2×2π×＝4π；故答案为： 4π．
17．解：设该扇形的圆心角为n2，
则＝ 12π，
解得： n＝120，
故答案为： 120．
18．解：连结OC并延伸，交⊙ C上一点 P，以 O为圆心，以OP为半径作⊙ O，交 x 轴于 A、B，此时 AB的长度最大，
∵ C（3，4），
∴ OC＝＝5，
∵以点 C为圆心的圆与y 轴相切．
∴⊙ C的半径为3，
∴OP＝OA＝ OB＝8，
∵ AB是直径，
∴∠ APB＝90°，
∴AB长度的最大值为16，
故答案为 16．
三．解答题（共7 小题）
19．（ 1）证明：连结OD、 CD，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠ EDC＝90°，
∵DE∥OA，
∴OA⊥CD，
∴OA垂直均分 CD，
∴OD＝OC，
∴OD＝OE，
∴∠ OED＝∠ ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ ODE＝∠ AOD，∠ DEO＝∠ AOC，
∴∠ AOD＝∠ AOC，
∵ AC是切线，
∴∠ ACB＝90°，
在△ AOD和△ AOC中
∴△ AOD≌△ AOC（ SAS），∴∠ ADO＝∠ ACB＝90°，∵ OD是半径，
∴ AB是⊙ O的切线；
（2）解：连结OD，CD，
∵ BD是⊙ O切线，
∴∠ ODB＝90°，
∴∠ BDE+∠ ODE＝90°，
∵ CE是⊙ O的直径，
∴∠ CDE＝90°，
∴∠ ODC+∠ ODE＝90°，
∴∠ BDE＝∠ ODC，
∵OC＝OD，
∴∠ OCD＝∠ ODC，
∴∠ BDE＝∠ OCD，
∵∠ B＝∠ B，
∴△ BDE∽△ BCD，
∴
2
∴ BD＝ BE?BC，
设 BE＝x，∵ BD＝4， EC＝6，∴ 42＝x（x+6），
解得 x＝2或 x＝﹣8（舍去），∴ BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD、AC是⊙O的切线，
∴ AD＝AC，
设 AD＝AC＝ y，
222在 Rt △ABC中，AB＝AC+BC，
∴（ 4+y）2＝y2+82，
解得 y＝6，
∴ AC＝6，
故 AC的长为6．
20．解：（ 1）直线DE与⊙O相切，连结 OD．
∵AD均分∠BAC，
∴∠ OAD＝∠ CAD，
∵OA＝OD，
∴∠ OAD＝∠ ODA，
∴∠ ODA＝∠ CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，
∴∠ ODE＝90°，即 DE⊥OD，
∴ DE是⊙ O的切线；
（ 2）过O作OG⊥AF于G，
∴AF＝2AG，
∵∠ BAC＝60°， OA＝2，
∴AG＝ OA＝1，
∴AF＝2，
∴AF＝OD，
∴四边形 AODF是菱形，
∴DF∥OA， DF＝OA＝2，
∴∠ EFD＝∠ BAC＝60°，
∴EF＝ DF＝1．
21．证明：（ 1）∵OC＝OB
∴∠ OBC＝∠ OCB
∵OC∥BD
∴∠ OCB＝∠ CBD
∴∠ OBC＝∠ CBD
∴
（ 2）连结AC，
∵CE＝1， EB＝3，
∴ BC＝4
∵
∴∠ CAD＝∠ ABC，且∠ ACB＝∠ ACB
∴△ ACE∽△ BCA
∴
2
∴ AC＝ CB?CE＝4×1
∴ AC＝2，
∵AB是直径
∴∠ ACB＝90°
∴AB＝＝2
∴⊙ O的半径为
（ 3）如图，过点O作 OH⊥ FQ于点 H，连结 OQ，
∵ PC是⊙ O切线，
∴∠ PCO＝90°，且∠ ACB＝90°
∴∠ PCA＝∠ BCO＝∠ CBO，且∠ CPB＝∠ CPA ∴△ APC∽△ CPB
∴
2
∴ PC＝2PA， PC＝ PA?PB
∴ 42＝×（+2 ）
PA PA PA
∴PA＝
∴PO＝
∵PQ∥BC
∴∠ CBA＝∠ BPQ，且∠ PHO＝∠ ACB＝90°∴△ PHO∽ △ BCA
∴
即
∴PH＝， OH＝
∴HQ＝＝
∴PQ＝PH+HQ＝
22．解：过O点作 OE⊥ CD于 E，
∵ AB为⊙ O的切线，
∴∠ ABO＝90°，
∵∠ A＝30°，
∴∠ AOB＝60°，
∴∠ COD＝120°，∠ OCD＝∠ ODC＝30°，
∵⊙ O的半径为2，
∴OE＝1， CE＝ DE＝，
∴CD＝2，
∴图中暗影部分的面积＝﹣2×1＝﹣23．证明：（ 1）
过 O作 OF⊥ AC，于 F，
则 F 为 AC的中点，
连结 CH，取 CH中点 N，连结 FN，MN，
则 FN∥AD， AH＝2FN， MN∥ BE，
∵AD⊥BC， OM⊥BC， BE⊥AC，
OF⊥AC，∴ OM∥AD， BE∥OF，
∵M为 BC中点， N为 CH中点，
∴MN∥BE，
∴OM∥FN， MN∥OF，
∴四边形 OMNF是平行四边形，
∴OM＝FN，
∵AH＝2FN，
∴ AH＝2OM．
（ 2）证明：连结OB， OC，
∵∠ BAC＝60°，
∴∠ BOC＝120°，
∴∠ BOM＝60°，
∴∠ OBM＝30°，
∴OB＝2OM＝ AH＝
AO，即 AH＝AO．
24．（ 1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ ADB＝90°，
∵DH⊥AB，
∴∠ DHA＝∠ ADB＝90°，
又∵∠ DAB＝∠ HAD，
∴△ DAB∽△ HAD，
∴＝即＝，
∴AH＝3.6．
（ 2）证明：∵＝，
∴∠ DAC＝∠ DBA，
∵DH⊥AB，
∴∠ FDE+∠ B＝90°，
∵∠ ADB＝90°，
∴∠ DEF+∠ DAC＝90°，
∴∠ DEF＝∠ DEF，
∴DF＝EF．
25．（ 1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠ BDC＝90°，
∴∠ BCD+∠ B＝90°，
∵∠ ACB＝90°，
∴∠ BCD+∠ ACD＝90°，
∴∠ ACD＝∠ B，
∵∠ DEC＝∠ B，
∴∠ ACD＝∠ DEC．
（ 2）证明：连结OE
∵E 为 BD弧的中
点．∴∠ DCE＝∠
BCE，
∵OC＝OE，
∴∠ BCE＝∠ OEC，
∴∠ DCE＝∠ OEC，
∴OE∥CD，
∴△ POE∽△ PCD，
∴＝，
∵PB＝BO， DE＝2
∴PB＝BO＝ OC
∴＝＝，
∴＝，
∴PE＝4．
人教版九年级数学上册第二十四章圆单元测试（含答案）
一、单项选择题
1．以下命题：①直径相等的两个圆是等圆；② 等弧是长度相等的弧；③ 圆中最长的弦是经过圆心的弦；④ 一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不行能是等弧．此中真命题是 () A．①③B．①③④C．①②③D．②④
2．如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥ AB，垂足为 P．若 CD＝AP＝8 ，则⊙ O 的直径为（）A．10B． 8C． 5D． 3
3．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD
为8m，桥拱半径OC
为
5m，则水面AB 宽为（）
A.4m
B.5m
C.6m
D.8m
4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如下图，已知 EF CD 4 ，则球的半径长是（）
A．2B． 2.5C． 3D． 4
5．如图，C、 D 为半圆上三均分点，则以下说法：①AD= CD= BC；②∠ AOD＝∠ DOC ＝∠ BOC；③AD＝ CD＝ OC；④ △AOD 沿 OD 翻折与△COD重合．正确的有（）
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
6．以下各角中，是圆心角的是（）
A. B. C. D.
7．如图，点 A、B、C、D 在⊙ O 上，∠ AOC＝ 120 °，点 B 是弧 AC 的中点，则∠ D 的度数是 ()
A．60°B． 35°C． 30.5 °D． 30°
8．如图，一块直角三角板ABC的斜边 AB 与量角器的直径恰巧重合，点 D 对应的刻度是60°，
则∠ ACD的度数为 ()
A．60°
9．已知⊙O 的半径是B． 30°
4， OP＝ 3，则点
C． 120 °
P 与⊙ O 的地点关系是（
D． 45°
）
A．点P 在圆内B．点P 在圆上
C．点P 在圆外D．不可以确立
10．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙
O
的切线，若OC=AB，则∠ C 的度数为（）
A．15°B． 30°C． 45°D． 60°
11．如图，在平行四边形ABCD中，∠ A＝ 2∠ B，⊙ C 的半径为 3，则图中暗影部分的面积是（）
A．πB． 2πC． 3πD． 6π
12．如图，已知在⊙O 中， AB=4， AF=6， AC 是直径，AC⊥ BD 于F，图中暗影部分的面积是（）
A. B. C.
D.
13．如图，在Rt△ABC 中，∠ ABC=90°， AB=2 3 ，BC=2，以AB的中点为圆心，OA 的长为
半径作半圆交AC 于点 D，则图中暗影部分的面积为()
A. 5
3 B.
5 3
2
C.2 3
D.4 3 4242
二、填空题
14．已知扇形的弧长为2，圆心角为60°，则它的半径为________．
15．如图，在⊙ O 中，已知∠ AOB＝ 120 °，则∠ ACB＝ ________．
16．如图，在O 中，直径 AB 4 ，弦CD AB 于E，若 A 30 ，则CD____ 17．如图，在O 中，AOB 120 ，P为劣弧AB上的一点，则APB 的度数是_______.
三、解答题
18．如图，在△ABC中，已知∠ ACB=130°，∠ BAC=20°， BC=2，以点 C 为圆心， CB为半径的圆交 AB 于点 D，求弦 BD 的长
19．如图，在Rt△ABC 中，∠ C＝90°，以 BC 为直径的⊙ O 交 AB 于点D，过点 D 作∠ADE＝∠ A，交AC 于点E．
（1）求证： DE 是⊙ O 的切线；
（2）若BC 3
，求 DE 的长．AC 4
20．如图，AB 为⊙ O 的直径，C
为⊙ O 上一点， D 为
BC
的中点．过点 D 作直线 AC 的
垂线，
人教版九年级上册第二十四章《圆》培优练习卷（含答案）一．选择题
1．一个圆锥的侧面睁开图是半径为8 的半圆，则该圆锥的全面积是（）A． 48πB． 45πC． 36πD．32π
2．如图，AB为⊙O的直径，P为弦BC上的点，∠ABC＝ 30°，过点P 作 PD⊥ OP交⊙ O于点
，过点
D 作∥ 交
AB
的延伸线于点．若点
C
恰巧是的中点，＝6，则的长
D D
E BC E BE PC
是（）
A． 6﹣ 8B． 3﹣ 3C． 2D．12﹣ 6
3．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长
为
6，则弧BC的长为（）
A． 2πB． 3πC． 4πD．π
4．《九章算术》是我国古代第一部自成系统的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法系统到现在仍在推进着计算机的发展和应用．书中记录：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1 寸（ED＝1寸），锯道长 1 尺（AB＝1尺＝ 10 寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”
如下图，请依据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是
（
）
A．13寸B．20寸C．26 寸D．28 寸
5．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B 为切点，点C在⊙ O上，且
∠
ACB＝55°，则∠APB等于（）
A． 55°B． 70°C． 110°D．125°
6．如图，在 Rt △ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若 BF＝2， AF＝3，则△ ABC的面积是（）
A． 6B． 7C． 7D．12
O， AB＝4，则图中暗影部分的面积是（）7．如图，正方形ABCD内接于
圆
A． 4π﹣ 16B． 8π﹣ 16C． 16π﹣ 32D．32π﹣ 16
8．如图，正方形ABCD和正△ AEF都内接于⊙ O， EF与 BC、CD分别订交于点G、 H．若 AE ＝ 3，则EG的长为（）
A．B．C．D．
9．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面．已知扇形的半径为5cm，弧长是8πcm，那么这个圆锥的高是（）。