2019年辽宁省辽南协作体高考数学一模试卷(文科)解析版

2019年辽宁省辽南协作体高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）命题“∀x ∈R ，ax +b ≤0“的否定是（ ） A ．∃x ∈R ，ax +b ≤0 B ．∃x ∈R ，ax +b ＞0 C ．∀x ∈R ，a +b ≤0
D ．∀x ∈R ，ax +b ＞0
2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z ＝，则z 对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．（5分）若集合A ＝{x |1≤x ＜2}是集合B ＝{x |x ＞b }的子集，则实数b 的范围是（ ） A ．b ≥2
B ．1＜b ≤2
C ．b ≤2
D ．b ＜1
4．（5分）已知cos α＝，α∈（﹣，0），则cot α的值为（ ）
A ．﹣
B ．
C ．﹣
D ．
5．（5分）已知正方体的棱长为1．则该正方体外接球的半径为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
6．（5分）将函数f （x ）＝sin （2x ﹣）图象上的所有点向左平移t （t ＞0）个单位长度，
到的函数g （x ）是奇函数．则下列结论正确的是（ ）
A ．t 的最小值是，g （x ）的对称中心为是（），k ∈Z
B ．t 的最小值为，g （x ）的对称轴为x ＝，k ∈Z
C ．t 的最小值为，g （x ）的单调增区间为（k π﹣，k π+
），k ∈Z
D ．t 的最小值为
，g （x ）的周期为π
7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为42，则判断框中的条件可以是（ ）
A．n≤6？B．n＞6？C．n≤5？D．n＞5？
8．（5分）若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）
A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线
B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线
C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β
D．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行
9．（5分）函数f（x）＝e|x|﹣2|x|﹣1的图象大致为（）
A．B．
C．D．
10．（5分）关于圆周率，数学发展史上出现过许多银有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：第一步，请n 名学生，每个学生随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；第二步，统计两数能与1构成纯角三角形边的数对（x，y）的个数m；第三步，估计π的值．若n＝100，m＝31，则估计π的值（）
A．B．C．D．
11．（5分）若两个非零向量，满足||＝||＝||，则向量与的夹角是（）
A．B．C．D．
12．（5分）斜率为且过抛物线C：y2＝4x焦点的直线交抛物线C于A、B两点，若
，则实数λ为（）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知：x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为．
14．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则角C＝．
15．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上的
一点，若|PF1|+|PF2|＝4a，且△PF1F2的最小内角的正弦值为，则C的离心率为．16．（5分）若直线y＝x+1是曲线f（x）＝x+（a∈R）的切线，则a的值是．三、解答题（5个小题共60分）
17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝（），求数列{b n}的前n项和T n．
18．（12分）从某校高三年中机抽取100名学生，对其棵眼视力情况进行统计（两眼视力不同，取较低者线计），得到如图所示的率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1
人，其视力在[4.1，4.3）的概率为．
（1）求a，b的值；
（2）用每组中的中间数值代表每组的数值，估计样本的平均值；
（3）若某大学C专业的报考要求之一是裸眼视力在4.9以上，D专业的报考要求之一是裸眼现力在5.1以上，从这100人中用分层抽样的方法在[4.9，5.1]和[5.1，5.3]抽取4人，再从这4个人中随机抽取2人，求抽到的2名学生中恰好有1人既能报考C专业也能报考D专业的概率．（只考虑视力）
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面EAC；
（Ⅱ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）若PA＝2，求几何体P﹣ABE的体积．．
20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆C
的左、右焦点，点P（，）满足＝0．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线1经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M，N两点，设O为坐标原点，直线OM，
直线l，直线ON的斜分别为k1，k，k2，且k1，k，k2成等比数列，求k1•k2的值．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+．
（1）若1是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）单调递减，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下证明：f（x）≤xe x﹣x+﹣1．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.(满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l过原点且倾斜角为；曲线C1的参数方程
（α为参数）；曲线C2的参数方程为（α为参数）．（1）求直线1的极坐标方程，曲线C1和曲线C2的普通方程；
（2）若直线1与曲线C1和曲线C2在第一象限的交点分别为M、N，求M、N之间的距离．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（10分）设函数f＝|x+1|﹣|2x﹣4|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＞t2+2t解集非空，求实数t的取值范围．
2019年辽宁省辽南协作体高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（5分）命题“∀x∈R，ax+b≤0“的否定是（）
A．∃x∈R，ax+b≤0B．∃x∈R，ax+b＞0
C．∀x∈R，a+b≤0D．∀x∈R，ax+b＞0
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即∃x∈R，ax+b＞0，
故选：B．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．
2．（5分）已知i是虚数单位，复数z＝，则z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
【解答】解：∵z＝＝1﹣i，
∴z对应的点的坐标为（1，﹣1），在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．（5分）若集合A＝{x|1≤x＜2}是集合B＝{x|x＞b}的子集，则实数b的范围是（）A．b≥2B．1＜b≤2C．b≤2D．b＜1
【分析】由集合A是集合B的子集，可得b的取值范围．
【解答】解：由题意得A⊆B，
则b＜1，
故选：D．
【点评】本题考查集合间的关系，属于基础题．
4．（5分）已知cos α＝，α∈（﹣，0），则cot α的值为（ ）
A ．﹣
B ．
C ．﹣
D ．
【分析】由已知求得sin α，再由商的关系求解cot α．
【解答】解：∵cos α＝，α∈（﹣，0），
∴sin α＝，
∴cot α＝．
故选：C ．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
5．（5分）已知正方体的棱长为1．则该正方体外接球的半径为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
【分析】由已知求出正方体的对角线长，则答案可求． 【解答】解：∵正方体的棱长为1，
∴正方体的对角线长为，
则正方体外接球的半径为．
故选：C ．
【点评】本题考查正方体的外接球，明确正方体的对角线为外接球的直径是关键，是基础题．
6．（5分）将函数f （x ）＝sin （2x ﹣
）图象上的所有点向左平移t （t ＞0）个单位长度，
到的函数g （x ）是奇函数．则下列结论正确的是（ ）
A ．t 的最小值是，g （x ）的对称中心为是（），k ∈Z
B ．t 的最小值为，g （x ）的对称轴为x ＝，k ∈Z
C ．t 的最小值为，g （x ）的单调增区间为（k π﹣，k π+
），k ∈Z
D ．t 的最小值为
，g （x ）的周期为π
【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的图象进行平移变换，利用奇函数的性质，求出t 的最小值，进一步求出函数的最小正周期．
【解答】解：函数f（x）＝sin（2x﹣）图象上的所有点向左平移t（t＞0）个单位长度，得到
g（x）＝sin（2x+2t﹣），
由于函数g（x）是奇函数．
所以：2t﹣（k∈Z），
解得：t＝，
由于t＞0，
所以：当k＝0时，t的最小值为，
且函数的最小正周期为π．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为42，则判断框中的条件可以是（）
A．n≤6？B．n＞6？C．n≤5？D．n＞5？
【分析】根据程序框图进行模拟运算即可得到结论．
【解答】解：第一次，s＝2，a＝4，不满足条件．n＝2，
第二次，s＝2+4＝6，a＝6，不满足条件．n＝3，
第三次，s＝6+6＝12，a＝8，不满足条件．n＝4，
第四次，s＝12+8＝20，a＝10，不满足条件．n＝5，
第五次，s＝20+10＝30，a＝12，不满足条件．n＝6，
第六次，s＝30+12＝42，a＝14，满足条件．
输出S＝42，
即n＝6满足条件．，n＝5不满足条件．
则条件应该为n＞5？，
故选：D．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键．
8．（5分）若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）
A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线
B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线
C．已知α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β
D．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行
【分析】A，平行于同一平面的两条直线可能相交，也可能平行；
B，垂直于同一平面的两条直线一定平行；
C，α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β或n⊂β；
D，m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行或相交，
【解答】解：对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，也可能平行，故错；
对于B，垂直于同一平面的两条直线一定平行，故正确；
对于C，α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β或n⊂β，故错；
对于D，m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行或相交，故错，
故选：B．
【点评】本题考查了空间线线、线面、面面位置关系，属于中档题．
9．（5分）函数f（x）＝e|x|﹣2|x|﹣1的图象大致为（）
A．B．
C．D．
【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可．
【解答】解：函数f（x）＝e|x|﹣2|x|﹣1是偶函数，排除选项B，
当x＞0时，函数f（x）＝e x﹣2x﹣1，可得f′（x）＝e x﹣2，
当x∈（0，ln2）时，f′（x）＜0，函数是减函数，当x＞ln2时，函数是增函数，
排除选项A，D，
故选：C．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，是中档题．
10．（5分）关于圆周率，数学发展史上出现过许多银有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：第一步，请n 名学生，每个学生随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；第二步，统计两数能与1构成纯角三角形边的数对（x，y）的个数m；第三步，估计π的值．若n＝100，m＝31，则估计π的值（）
A．B．C．D．
【分析】两个数能与1构成钝角三角形的数对（x，y）满足x2+y2﹣1＜0，且，
x+y＞1，从而不等式组表示图形的面积为﹣．由此能估计π的值．
【解答】解：由题意，100对都小于1的正实数对（x，y）满足，其表示图形的面积为1．
两个数能与1构成钝角三角形的数对（x，y）满足x2+y2﹣1＜0，且，x+y＞1，
则不等式组表示图形的面积为﹣．
则：．解得．
故选：B．
【点评】本题考查几何概型，古典概型等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
11．（5分）若两个非零向量，满足||＝||＝||，则向量与的夹角是（）
A．B．C．D．
【分析】根据即可得出，从而得出，
，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求
出与的夹角．
【解答】解：∵；
∴；
∴；
∴；
∴，且；
∴＝；
又；
∴与的夹角是：．
故选：D．
【点评】考查向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．
12．（5分）斜率为且过抛物线C：y2＝4x焦点的直线交抛物线C于A、B两点，若
，则实数λ为（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】抛物线C：y2＝4x焦点F（1，0），设A（x1，y1），y1＞0，B（x2，y2）．直
线方程为：y＝（x﹣1），与抛物线方程联立解出坐标，再根据，利用向量坐标相等得出．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x焦点F（1，0），设A（x1，y1），y1＞0，B（x2，y2）．
直线方程为：y＝（x﹣1），联立，化为：y2﹣3y﹣4＝0，
解得y1＝4，y2＝﹣1．
∵，∴4＝﹣λ×（﹣1），解得λ＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知：x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝2x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．
【解答】解：x，y满足约束条件，目标函数
画出图形：z＝2x﹣y．点A（，），
z在点A处有最小值：z＝2×＝，
故答案为：；
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．
14．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos C（a cos B+b cos A）＝c，
则角C＝．
【分析】由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理化简已知可得2sin C cos C＝sin C，由sin C≠0，可求cos C，结合C的范围即可得解．
【解答】解：由已知及正弦定理得2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，
即2cos C sin（A+B）＝sin C，
故2sin C cos C＝sin C，
由sin C≠0，可得cos C＝，
由于C∈（0，π），
所以C＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
15．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上的
一点，若|PF1|+|PF2|＝4a，且△PF1F2的最小内角的正弦值为，则C的离心率为．
【分析】利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角的正弦值为，
其余弦值为，结合余弦定理，求出双曲线的离心率．
【解答】解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|＝4a，
不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|＝2a，
所以|F1F2|＝2c，|PF1|＝3a，|PF2|＝a，
△PF1F2的最小内角的正弦值为，其余弦值为，
由余弦定理，可得|PF2|2＝|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，
即a2＝4c2+9a2﹣2×2c×3a×，
c2﹣2ca+2a2＝0，
即c＝a，
所以e＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．16．（5分）若直线y＝x+1是曲线f（x）＝x+（a∈R）的切线，则a的值是﹣1．【分析】设切点的横坐标为x0，求出导函数，利用直线y＝x+1与曲线y＝f（x）相切，转化求解切点横坐标以及a的值即可．
【解答】解：设切点的横坐标为x0，f′（x）＝1﹣﹣＝＝1⇒x0＝﹣⇒
﹣a＝，
则有：f（x0）＝x0+﹣alnx0＝x0+1⇒lnx0﹣x0+1＝0，
令h（x）＝lnx﹣x+1⇒h′（x）＝﹣1＝0⇒x＝1，
则h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
又因为h（1）＝0，所以x0＝1⇒a＝﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法．考查转化思想以及计算能力．
三、解答题（5个小题共60分）
17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝（），求数列{b n}的前n项和T n．
【分析】（1）首先求出数列的通项公式，
（2）利用（1）的通项，进一步求出数列的通项公式，进一步求出数列的和
【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2．
当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，＝2n﹣1（首项符合通项），
故：a n＝2n﹣1．
（2）由于a n＝2n﹣1，
所以：b n＝（）＝，
则：，
所以：数列{b n}是以首项为，公比为的等比数列．
故：．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18．（12分）从某校高三年中机抽取100名学生，对其棵眼视力情况进行统计（两眼视力不同，取较低者线计），得到如图所示的率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1
人，其视力在[4.1，4.3）的概率为．
（1）求a，b的值；
（2）用每组中的中间数值代表每组的数值，估计样本的平均值；
（3）若某大学C专业的报考要求之一是裸眼视力在4.9以上，D专业的报考要求之一是裸眼现力在5.1以上，从这100人中用分层抽样的方法在[4.9，5.1]和[5.1，5.3]抽取4人，再从这4个人中随机抽取2人，求抽到的2名学生中恰好有1人既能报考C专业也能报考D专业的概率．（只考虑视力）
【分析】（1）从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1，4.3）的概率为．由频率分布直方图的性质能求出a，b的值．
（2）用每组中的中间数值代表每组的数值，能估计样本的平均值．
（3）从这100人中用分层抽样的方法在[4.9，5.1]和[5.1，5.3]抽取4人，则视力在[4.9，5.1）有3人，分别记为A，B，C，[5.1，5.3]有1人，记为a，再从这4个人中随机抽取2人，利用列举法能求出抽到的2名学生中恰好有1人既能报考C专业也能报考D专业的概率．
【解答】解：（1）从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1，4.3）的概率为．
由频率分布直方图得：b×0.2＝，解得b＝0.5，
∴（0.5+0.75+a+1.75+0.75+0.25）×0.2＝1，
解得a＝1．
（2）用每组中的中间数值代表每组的数值，估计样本的平均值为：
4.2×0.1+4.4×0.15+4.6×0.35+4.8×0.2+
5.0×0.15+5.2×0.05＝4.66．
（3）从这100人中用分层抽样的方法在[4.9，5.1]和[5.1，5.3]抽取4人，
则视力在[4.9，5.1）有3人，分别记为A，B，C，[5.1，5.3]有1人，记为a，
再从这4个人中随机抽取2人，基本事件总数n＝＝6，分别为：
（AB），（AC），（Aa），（BC），（Ba），（Ca），
抽到的2名学生中恰好有1人既能报考C专业也能报考D专业的包含的基本事件个数m ＝3，分别为：
（Aa），（Ba），（Ca），
∴抽到的2名学生中恰好有1人既能报考C 专业也能报考D 专业的概率p ＝．
【点评】本题考查频率、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点． （Ⅰ）求证：PB ∥平面EAC ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面ABCD ；
（Ⅲ）若PA ＝2，求几何体P ﹣ABE 的体积．．
【分析】（Ⅰ）判断EO ∥PB ，EO ⊂平面ACE ；PB ⊄平面ACE 得出：PB ∥平面ACE ； （Ⅱ）判断PB ⊥BC ，且PB ∩AB ＝B ，PA ⊥平面ABCD ；
（Ⅲ）AB ⊥面PAD ，V P ﹣ABE ＝V B ﹣PAE ＝S △PAE •AB ，运用求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BD 交AC 与O ，连接EO ， ∵底面ABCD 是正方形， ∴O 为BD 的中点， ∵又E 为PD 的中点，
∴在△PBD 中，EO 为其中位线， ∴EO ∥PB ，
∵EO ⊂平面ACE ；PB ⊄∴ ∴PB ∥平面ACE ；
（Ⅱ）证明：∵底面ABCD 是边长为2的正方形， ∴AB ⊥BC ，
∵PB ⊥BC ，且PB ∩AB ＝B ， ∴BC ⊥面PAB ，
∵PA ⊂平面PAB ，∴PA ⊥BC ，
同理可证PA ⊥CD ，
∵BC ∩CD ＝C ，BC ⊂面ABCD ，CD ⊂面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知PA ⊥AB ， 又AB ⊥AD ， ∴AB ⊥面PAD ，
∵PA ＝2，在Rt △PAD 中，E 为PD 的中点，
∴S △PAE ＝
═
＝1，
∴V P ﹣ABE ＝V B ﹣PAE ＝S △PAE •AB ＝
＝，
【点评】本题考查空间几何体的性质，证明直线平面的垂直，求解体积问题，属于中档题．
20．（12分）已知椭圆C ：
（a ＞b ＞0）的离心率为
，F 1，F 2分别为椭圆C
的左、右焦点，点P （，）满足＝0．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线1经过椭圆C 的右焦点与椭圆相交于M ，N 两点，设O 为坐标原点，直线OM ，直线l ，直线ON 的斜分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2成等比数列，求k 1•k 2的值．
【分析】（1）依题意F 1（﹣c ，0），由＝﹣c 2+3＝0，即c ＝
，根据离心
率求出a ，即可求出b ，可得椭圆方程
（2）设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣
），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立直线与椭圆
的方程，利用韦达定理，转化求解即可． 【解答】解：（1）依题意F 1（﹣c ，0），
∴
＝﹣c 2+3＝0，即c ＝
∵e＝＝，
∴a＝2，
∴b2＝a2﹣c2＝1，
∴椭圆C的方程为+y2＝1，
（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣），M（x1，y1），N（x2，y2），
由，得（1+4k2）x2+8k2x+4（3k2﹣1）＝0，
则x1+x2＝，x1x2＝，
∵k1，k，k2成等比数列，
∴k1•k2＝k2＝＝，
则（x1+x2）＝3，
即＝，
解得k2＝
故k1•k2＝．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，直线的斜率，等比数列的性质，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+．
（1）若1是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）单调递减，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下证明：f（x）≤xe x﹣x+﹣1．
【分析】（1）f′（x）＝﹣a﹣，x＞0．根据1是函数f（x）的一个极值点，可得f′（1）＝0，解得a．
（2）函数f（x）在（0，+∞）单调递减，可得f′（x）＝﹣a﹣≤0，x＞0．化为：
a ≥﹣＝．利用二次函数的单调性即可得出．
（3）在（1）的条件下，即a ＝0时证明：f （x ）≤xe x ﹣x +﹣1⇔xe x ﹣x ﹣lnx ﹣1≥0．令g （x ）＝xe x ﹣x ﹣lnx ﹣1，x ＞0．利用导数研究其单调性可得其最小值，即可证明结论．
【解答】（1）解：f ′（x ）＝﹣a ﹣，x ＞0．
∵1是函数f （x ）的一个极值点， ∴f ′（1）＝1﹣a ﹣1＝0，解得a ＝0， 经过验证满足条件，∴a ＝0．
（2）解：∵函数f （x ）在（0，+∞）单调递减，
∴f ′（x ）＝﹣a ﹣≤0，x ＞0．
化为：a ≥﹣
＝
．
∴a ≥，当且仅当x ＝2时取等号．
（3）证明：在（1）的条件下，即a ＝0时证明：f （x ）≤xe x ﹣x +﹣1⇔xe x ﹣x ﹣lnx ﹣1≥0．
令g （x ）＝xe x ﹣x ﹣lnx ﹣1，x ＞0．
g ′（x ）＝（x +1）e x ﹣1﹣＝（x +1）（e x ﹣），
令g ′（x ）＝0，解得
＝
，即x 0＝﹣lnx 0，x 0＞0，
可知：x ＝x 0，函数g （x ）取得极小值即最小值，
g （x 0）＝x 0
﹣x 0+x 0﹣1＝0，
∴g （x ）≥0成立．
因此：在（1）的条件下证明：f （x ）≤xe x ﹣x +﹣1．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分析法、等价转化方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.(满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l 过原点且倾斜角为
；曲线C 1的参数方程
（α为参数）；曲线C2的参数方程为（α为参数）．（1）求直线1的极坐标方程，曲线C1和曲线C2的普通方程；
（2）若直线1与曲线C1和曲线C2在第一象限的交点分别为M、N，求M、N之间的距离．
【分析】（1）直线l的极坐标方程为θ＝，（ρ∈R）；利用sin2α+cos2α＝1可得C1和C2的普通方程；
（2）将C1，C2化成极坐标方程后将θ＝代入可求得|OM|，|ON|，再相加．
【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ＝，（ρ∈R）；
曲线C1的普通方程为+y2＝1；
曲线C2的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝13．
（2）曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，
曲线C2的极坐标方程为：ρ＝6cosθ+4sinθ，
∴|OM|＝6cos+4sin＝5，|ON|＝＝，
可得|MN|＝|ON|﹣|OM|＝5﹣＝．
【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（10分）设函数f＝|x+1|﹣|2x﹣4|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＞t2+2t解集非空，求实数t的取值范围．
【分析】（1）运用分类讨论解不等式即可得到所求解集；
（2）由题意可得t2+2t＜f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．
【解答】解：（1）|x+1|﹣|2x﹣4|＞2，
等价为或或，
可得x∈∅或＜x≤2或2＜x＜3，
即为＜x＜3，则原不等式的解集为（，3）；
（2）关于x的不等式f（x）＞t2+2t解集非空，
可得t2+2t＜f（x）max，
由f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|﹣|x﹣2|≤|x+1﹣x+2|﹣0＝3，当且仅当x＝2时取得最大值2，可得t2+2t＜3，解得﹣3＜t＜1．
【点评】本题考查不等式的解法和不等式有解的运用，考查运算能力，属于基础题．。