河南省郑州中学2024届高一上数学期末复习检测试题含解析

18．有一批材料,可以建成长为 240 米的围墙.如图,如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地,中间用同样材料 隔成三个相等面积的矩形,怎样围法才可取得最大的面积?并求此面积.
19．已知函数
f
x
a 3x 1 3x 1
（1）当 a 1时，解方程 lg f 2x lg f x 1 lg16 ；
（1）用“五点法”做出函数 f x 在 x 0, 2 上的简图；
（2）若方程
f
x
a在
x
2 3
,
5 6
上有两个实根，求
a
的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D
【解题分析】利用分段函数在 R 上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.
A.
1 3
,1
B.
,
1 3
1,
C.
1 3
,
1 3
D.
,
1 3
1 3
,
7．下面四个不等式中不正确的为
A. sin 1 1 15 15
B. 20.9 0.92
C.
ln
1 2
log3
1 2
D. 20.3 0.30.2
8．函数 f (x) 2 tan( x 3) 的最小正周期为 2
【解题分析】设函数 y x2 4x 3 ，求出 x [0, 4]时 y 的取值范围，再根据 a [2, 2]讨论 a 的取值范围，判断 f x
是否能取得最大值 3 ,从而求出对应的概率值
【题目详解】在区间 2, 2 上任取一个数 a ，基本事件空间对应区间的长度是 4 ， 由 y x2 4x 3 x 22 1, x [0，4] ，得 y [1,3] ，
河南省郑州中学 2024 届高一上数学期末复习检测试题
注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑 色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
故选：B.
4、B
【解题分析】∵ 为锐角，且 tan 7
∴ sin 7 50 , cos 50
50
50
∵ sin 10 ，即 sin 10
10
10
∴ cos 3 10 ，即 cos 3 10
10
10
∴
cos
cos
cos
cos
sin
sin
3 10 10
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，以
x
轴的非负半轴为始边作角
与
0
2
，它们的终边分别与单位圆相交于点
P, Q
，已
知点 P 的横坐标为 3 5
（1）求
3sin 5cos cos sin
tan
的值；
（2）若 OP OQ ，求 sin2 2cos 的值
大小；D，取中间值 1 和这两个数比较
【题目详解】解：A，如图，利用三角函数线可知， 1 所对的弧长为 1 ， sin 1 DE ，
15
15
15
∴ sin 1 DE DA 1 ，A 对；
15
15
,B，由于20.9 1 00.92 1，B错；
C，如图，
ln
2
log3
2
0
，则
ln
1 2
详解：由题意得函数的最小正周期为 T
2
2
故选 C
点睛：本题考查函数 y A tan(x )( 0) 的最小正周期，解答此类问题时根据公式T 求解即可
9、D
【解题分析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择
【题目详解】
当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正
B. 2903年
C. 4928 年
D. 4912 年
4．已知, 为锐角，且 tan 7 ， sin( ) 10 ，则 cos 2
10
3
A.
5
C. 2 5 5
5．函数
3
B.
5
D. 5 5
的图象大致为
A.
B.
C.
D.
6．设函数
f
x
ln 1
x
1 1 x2
,则使
f
x
f
2x
1
成立的
x
的取值范围是
f
x
3x
x
2 a
2,
x a
,
1 x
，若
1
f
21 3
a
，则
a
______，此时
f
x
的最小值是______.
16．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 P（单位：mg/L）与时间 t(单位：h)间的关系为
P P0ekt ，其中 P0 ， k 是正的常数.如果在前 5h 消除了 10%的污染物，那么 10h 后还剩百分之几的污染物________.
A. 2
B. 4
C.2
D.4
9．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直
其中，为真命题的是
函数及特殊点函数值的正负.
6、A
【解题分析】 f x ln 1 x
1
1 x
2
，定义域为
，∵
，∴函数 为偶函数，当
时，
函数单调递增，根据偶函数性质可知：得 f x f 2x 1 成立，∴
，
∴
，∴
的范围为
1 3
,1
故答案为
A.
考点：抽象函数的不等式. 【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的
ln
2
log3
1 2
log3
2
0
ln
1 2
ln
2
log3
1 2
log3
2
0
，C
对；
D， 20.3 20 1 0.30 0.30.2 ，D 对；
故选：B 【题目点拨】本题主要考查比较两个数的大小，考查三角函数线的作用，考查指对数式的大小，属于基础题
8、C
【解题分析】分析：根据正切函数的周期求解即可
1．已知
f
x
5a 1 x 2a, x
loga x, x 1
1 a
0, a
1 是减函数，则
a 的取值范围是（）
A.
0,
1 7
B.
0,
1 5
C.
1 7
,1
D.
1 7
,
1 5
2．已知扇形的面积为 9，半径为 3，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为（）
π
A.1
B.
3
2π
C.2
D.
3
3．当生物死后，它体内的碳 14 含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过 5730 年衰减为原来的一半.2010
表达式可知函数 为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在 大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称
可知，距离原点越远的点，函数值越大，把 f x f 2x 1 可转化为
，解绝对值不等式即可
7、B
【解题分析】A，利用三角函数线比较大小；B，取中间值 1 和这两个数比较；C，利用对数函数图象比较这两个数的
【题目详解】设扇形的圆心角的弧度数为 0 ，由题意得 1 32 9 ，得 2 .
2
故选：C.
3、B
【解题分析】根据碳 14 的半衰期为 5730 年，即每 5730 年含量减少一半，设原来的量为1，经过 t 年后变成了 0.552 ，
即可列出等式求出 t 的值，即可求解.
【题目详解】解：根据题意可设原来的量为1，
A.①和② C.③和④
B.②和③ D.②和④
10．在区间 [2, 2] 上任取一个数 a ，则函数 f (x) x2 4x 3 a a 在 x [0, 4]上的最大值是 3 的概率为（ ）
3
1
A.
B.
4
4
4
2
C.
D.
5
5
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11．函数 y=1-sin2x-2sinx 的值域是______
12、 y 1 2x (x 2)
x 12y
【解题分析】由题设可得{
，即可得反函数.
y 2
【题目详解】由
y
1
x
(
x
5)
x ，可得{
1
2
y
，
2
y 2
∴反函数为 y 1 2x (x 2) .
故答案为： y 1 2x (x 2) .
13、
，
【解题分析】根据正切函数性质求解、
பைடு நூலகம்
【题目详解】由正切函数性质，由
当 a 1, 2时， 1 a a 1，
∴函数 f (x) x2 4x 3 a a 在 x [0, 4]上的最大值是 2a 1，
由1 a 2 ，得 3 2a 1 5 ， f x 的最大值不是 3 ；
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 11、 [-2，2] 【解题分析】利用正弦函数的值域，二次函数的性质，求得函数 f（x）的值域，属于基础题 【题目详解】∵sinx∈[-1，1]，∴函数 y=1-sin2x-2sinx=-（sinx+1）2+2，故当 sinx=1 时，函数 f（x）取得最小值为-4+2=-2， 当 sinx=-1 时，函数 f（x）取得最大值为 2，故函数的值域为[-2，2]，故答案为[-2，2] 【题目点拨】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题
年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳 14 检测，检测出碳 14 的残
留量约为初始量的 55.2%，以此推断此水坝建成的年代大概是公元前（ ）（参考数据： log0.5 0.552 0.8573 ，
log0.5 0.448 1.1584 )
A. 2919 年
∴ 1 a x2 4x 3 a 3 a ， ∴ x2 4x 3 a 的最大值是 3 a 或 1 a ，即最大值是 3 a 或 1 a ；
令 3 a 1 a ，得 3 a2 1 a2 ，解得 a 1；
又 a [2，2] ，∴ 2 a 1； ∴当 a [2，1] 时， 3 a 3 a ， ∴ f (x) x2 4x 3 a a 在 x [0, 4]上的最大值是 3 a a 3，满足题意；
50 50
10 7 50 10 50
5∴ 5
cos 2 2cos2 1 3 5
故选 B
5、A
【解题分析】利用函数为奇函数及在
时函数值 正负，即可得答案.
【题目详解】由于函数的定义域关于原点对称，且
,
的 所以函数
又因为
的奇函数,排除 B,C 选项； ,故排除 D 选项.
故选：A.
【题目点拨】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意根据解析式发现函数为奇
（2）当 x 0,1 时， f 2x f x 1恒成立，求 a 的取值范围
20．已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1 2, an1 an 2 n N*
（1）求 Sn ；
（2）若 bn
3an1
1 2
n2
，求数列
bn
的前 2n 项的和 T2n
21．已知函数 f x 1 2sin x .
12．函数 y 1 x (x 5) 的反函数为___________. 2
13．不等式
的解集为______
14．若将函数 f (x) sin(2x ) 的图象向左平移 ( 0) 个单位长度，得到函数 g(x) sin 2x 的图象，则 的最 3
小值为______
15．已知 a R
，函数
【题目详解】因函数
f
x
5a 1 x 2a, x
loga x, x 1
1 a
0, a
1 是定义在 R 上的减函数，
5a 1 0
则有 0 a 1
，解得 1 a 1 ，
(5a 1) 2a loga 1
7
5
所以
a
的取值范围是
1 7
,
1 5
.
故选：D
2、C
【解题分析】利用扇形面积公式即可求解.
经过 t 年后变成了155.2% 0.552，
即1
t
0.55730
0.552
，
t
两边同时取对数，得： log0.5 0.55730 log0.5 0.552 ， 即 t 0.8573 ，
5730
t 57300.8573 4912，
4912 2010 1 2903，
以此推断此水坝建成的年代大概是公元前 2903年.
确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它
们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④. 故选D 【题目点拨】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力， 是中档题 10、A
得
，，
所以
，，
故答案为：
，
14、 ； 6
【解题分析】因为函数
f
x
sin
2x
3
的图象向左平移
(
0)
个单位长度，得到
y
sin(2x
2
3
)
,所以
2 2k (k Z ) k (k Z ) 0 的最小值为