绘制根轨迹的一般规则

n

s

p
j


2h

1180所规定
i 1
j 1
相角条件的,即开环传递函数的共轭复数极点和零点,
对实轴上根轨迹的位置没有影响.实轴上的根轨迹仅
取决于实轴上的开环极点和零点。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
2如果实数开环零点z3位于s1的左方，则向量
s1 z3 0，这说明左侧实数零点的存在并不影响
第三节 绘制根轨迹的一般规则
渐近线与实轴交点

p 1

p 2

p n
z 1

z 2
z m


0
1
2

1
a
nm
3
渐近线与实倾角 2h 1 2h 1 h 0,1,2
a nm
3
h 0时， 180 180 60
1 nm 3

N
s
Ds
N s
Ds

0
显然解方程可求出根轨迹的分离点和会合点。
这个方程怕记混淆，为便于记忆，dGsH s 0 1
ds
对特征方程1 GsH s 0求导，
第三节 绘制根轨迹的一般规则
d1 GsH s dGsH s kNsDs NsDs
当n>m时，有n-m条根轨迹随着k的增大 而趋向无穷，这些趋向无穷远处的根轨迹， 将随着k的无限增大而接近于n-m条直线， 这些直线称为根轨迹的渐近线。渐近线的位 置由以下两个参数确定，即渐近线倾角和渐 近线与实轴的交点。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
1.渐近线倾角 a
a

2h 1 h
jw
p1 p1
z1 p1 z1
p1 p3
p3
p2 p1 p2
第三节 绘制根轨迹的一般规则
在图所示的根轨迹上, 靠近起点p1取点s1 ,s1即是根轨迹上的点.
根据相角条件s1 z1 s1 p1 s1 p2 s1 p3 2h 1

0
2
Ds的阶次高于N s，因此用2式计算简单。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
例：已知控制系统开环传递函数GsH
s

ss
k
1s

2
试求根轨迹在实轴上的分离点。
解：用1式求
d ds
GsH s

d ds

ss
k
1s


2
1
GsH s

0.为求其重根，令GsH s

k
N s Ds
1
GsH s
1
k
N s Ds

Ds kNs Ds

0
即Ds kNs 0
第三节 绘制根轨迹的一般规则
根据代数定理，如果特征方程有两个重实根，必须满足
kNs Ds 0 kN s Ds 0
ds
d ds
s3
3s 2
2s
3s 2
6s 2 0
第三节 绘制根轨迹的一般规则
注意： 1、判断哪一个是分离点，根据我们前面介绍
方法，若相邻开环极点之间是根轨迹，则相 邻开环极点之间必有分离点。S1是分离点， S2 不在根轨迹上，不是分离点。 2、必须验证是否在根轨迹上
六（规则6）根轨迹的渐近线
m条根轨迹终止于m个有限零点，还剩下（n m）条
根轨迹，又因当k 时，方程右边趋近于零，，当
m
s 时方程左边lim
sz i i1 n
s p
sm
1
lim lim 0
s s n
s s nm
j
j1
其余n m条根轨迹终止于无穷远处，把无穷远处的零点
h 1时， 2 1180 3180 180
2
nm
3
h 2时， 2 2 1180 300
2
nm
第三节 绘制根轨迹的一般规则
七.（规则7）根轨迹的起始角和终止角
当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是 沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零

第三节 绘制根轨迹的一般规则
四.（规则4）实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧开环传递函数的零极点
数目之和应为奇数。
s平面上有四个开环极点，p1、p2、p3、 p4和三个 开环零点z1、 z2 、 z3的 一种情况，其中p2、p3是一 对共轭极点， p3、 z1、 p4 、z2 、z3分别是实数极点 和零点。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
二.（规则2）根轨迹对称性,连续性 根轨迹各分支对称于实轴。因为闭环系
统的特征方程式的系数都是实数，故特征方 程式的根只能是实数或复数。实数必位于实 轴上，复数则一定共轭成对出现，所以当k 从0到无穷变化时，根轨迹必对称于实轴， 且连续变化。因此一般绘制根轨迹的一半即 可。
叫无限零点。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
例：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
Gs

K s 1 sTs 1
,


T

0试确定根轨迹的的分支数
及起点、终点。
解：将开环传递函数改写成：Gs

K s 1 sTs 1

K
s

1

Tss

1 T


K
m

s

zi


n

s

p
j


2h
1180所规定的相角条
i 1
j 1
件的, 这一判断同样适用于位于s1点左侧的开环实数
极点。因此，在绘制实轴上根轨迹时，可以不必考
虑它左侧的实数零点、极点。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
3如果实数开环零点z1, z2，开环极点p1位于s1的右方， 则向量s1 z1 ，s1 z2 ，s1 p1
根轨迹在s平面的分支数等于闭环特征 方程的阶数n，也就是总分支数等于开环传 递函数的极点数。
n
m
(s p j ) k (s zi ) 0
j 1
i 1
第三节 绘制根轨迹的一般规则
根轨迹的每一条分支表示当k 变化时，闭 环极点在s平面的运动轨迹，所以有几个闭环 极点就应有几条分支。当nm时，特征方程 的阶次等于开环极点数n，而n阶特征方程就 对应有n个特征根或n个闭环极点，所以其根 轨迹的分支数就等于开环极点数n。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
纯粹用试验点的办法手工作图，工作量 是十分巨大的，而且对全貌的把握也很困难， 于是人们研究根轨迹图的基本规则，以便使 根轨迹绘图更快更准。概括起来， 以开环 增益K为参变量的根轨迹图主要有下列基本 规则：
第三节 绘制根轨迹的一般规则
如果以系统的其他参量为参变量时，经 过适当变换，以下规则仍能适用。 一.（规则1）根轨迹分支数
第三节 绘制根轨迹的一般规则
2.分离点和会合点的计算。介绍按重根法求分离点 和会合点的方法。 无论分离点还是会合点，都表示特征方程式在该 点出现重根，只要找到这些重根就可以确定分离 点和会合点的位置。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
若代数方程f x 0具有重根x1，则必然同时满足
f x1 0，系统闭环特征方程
T
s

1
ss

1 T


k
s

1

ss

1 T

第三节 绘制根轨迹的一般规则
分母多项式的最高阶次n 2，故根轨迹分支数为2
开环极点 开环零点
p 0，p 1
1
2
T
1
z
1

n 2, m 1,根轨迹起始于开环极点0， 1 ，其中一条根 T
轨迹终止于 1 ，另一条终止于无穷远处。
必有s p j 1,2n。而p 为系统的开环极点，
j
j
故根轨迹起始于系统的几个开环极点。
当k 时是根轨迹的终点，为使等式成立，必有
s z i 1,2m，z 为系统的开环零点。一般情况下，
i
i
第三节 绘制根轨迹的一般规则
n m，n阶系统只有m个有限零点，所以n条根轨迹中
为在实轴上确定属于根轨迹的线段，首先在实轴极 点p4 和实轴零点z2 之间任选一个实验点s0。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
1开环共轭极点p2, p3到s1的相角之和为
s1 p2 s1 p3 0或360
说明: p2 , p3的存在并不影响
m

s

zi


第三节 绘制根轨迹的一般规则
例：已知控制系统的开环
传递函数为
GsH
s

ss
k
1s

2
,
试确定根轨迹渐近线在s平
面上的位置。
-2
-1
解： n 3, m 0 p 0, p 1, p 2.
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3
有n m 3条渐近线
jw
j2 kc 6
0
j 2 kc 6
P1
p1
j
[s]
P3
0

p2
P2
第三节
绘制根轨迹的一般规则
j
[s]
p1
z1
z1
0

z2
z2
p2
第三节 绘制根轨迹的一般规则
根轨迹起始角：起始于开环极点的根轨迹在起始点处 的切线和水平线正方向的夹角。
根轨迹终止角：终止于开环零点的根轨迹在终点处 的切线与水平线正方向的夹角。
s1
点的呢？这就是所谓的起始角和终止角问题, 先给 出定义如下：
⑴起始角
根轨迹离开开环复数极点处在
切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8（a）中
的
和 ⑵终止角
。
θ
p1
根轨θ迹p进2 入开环复数零点处的
切线方向与实轴正方向的夹角。参看图4-8（b）中
的 θ z1 和 θ z2 。
第三节
绘制根轨迹的一般规则


ds
ds
D2 s
0
d ds
1
GsH s

d GsH s
ds
GsH s2

0
GsH
s

kNs Ds
d ds
1
GsH s

d ds
1

k
Ds N s

d ds

Ds N s
根据相角条件，根轨迹与开环零、极点构成的向量的
相角的总和应为2h 1，即奇数个角。
因此，实轴上的根轨迹区段的右侧，其开环实数 零、极点个数之和应为奇数。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
五（规则5）根轨迹的分离点和会合点
这是一个某系统的根轨迹
图。由开环极点p1， p2 出发的两条根轨迹，随K
b z1
p1 a p2
的增大在实轴上a点相遇后，，即 分离进入复平面。随 着k的继续增大，两条根轨迹又在实轴上的b点相遇 并分别沿实轴的右左两方运动，最终一条终止于开环 零点，另一条终止于无穷远处。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
根轨迹与实轴有两个交点a和b，分别称为根 轨迹在实轴上的分离点和会合点。
1.实轴上分离点和会合点的判别

3s 2 6s 2 s3 3s 2 2s 2
0
3s 2 6s 2 0 s1 0.422 s2 1.578
用2式求Ds ss 1s 2 Ns 1
d Ds
ds N s

d ss 1s 2
（1）若实轴上相邻开环极点之间是根轨迹，则相 邻开环极点之间必有分离点。
（2）若实轴上相邻开环零点（其中一个可为无穷 大零点）之间是根轨迹，则相邻开环零点之间 必有会合点。
（3）如果实轴上的根轨迹在开环零点和开环极点 之间，则它们中若有分离点、会合点，则一定 成对出现，即有一个分离点一定会有一个会合 点，也可能既无分离点也无会合点。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
三（规则3）根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
如果n≠m ，则有（n-m）条根轨迹终止于无 穷远处。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
m
证明：i1 n
s z i
s p
1 k
j
j1
当k 0时是根轨迹的起点，为使等式成立，
当s1无限靠近p1时, 则各开环零点, 极点引向s1的向量就变成了
各开环零,极点.引向p1的向量.这时s1 p1 即为起始角p1. 故p1 2h 1 p1 z1 p1 p2 p1 p3
nm

0,1,2,
当h 0时，渐近线倾角最小，h增大时，倾角值重复出现，
故独立渐近线只有n m条。
2.渐近线与实轴的交点 a
a

p1

p2
pn z1
nm

z2
zm
1
由于极点和零点必须为实数或共轭复数。它们的虚部可以
互相抵消，所以 a必须为实数。用1式计算时，只需把 GsH s的极点，零点的实数部分代入即可。