2018届高考数学理科二轮总复习苏教版高考小题限时练 (4份打包) (3)

高考小题限时练3
1．(2017·江苏泰州中学摸底)已知集合A ＝{x |x >0}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝________. 答案 {1,2}
解析 A ∩B ＝{x |x >0}∩{－1,0,1,2}＝{1,2}．
2．(2017·江苏溧水中学质检)命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5＞0”的否定是________________． 答案 ∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤0
解析 因为全称命题的否定是存在性命题， 所以，命题p ：“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5＞0”的否定是 ∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5≤0.
3．(2017·江苏灌南华侨中学月考)已知复数z ＝(1＋i)(2－i)(i 为虚数单位)，则z ＝________. 答案 3－i
解析 ∵z ＝(1＋i)(2－i)＝3＋i ，∴z ＝3－i.
4．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：
则7个剩余分数的方差为________． 答案
36
7
解析 由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋91
7＝91，
解得x ＝4.
所以s 2＝1
7[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]
＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367
. 5．(2017·扬中、六合等七校联考)在△ABC 的边AB 上随机取一点P ，记△CAP 和△CBP 的面积分别为S 1和S 2，则S 1>2S 2的概率是________． 答案 13
解析由题设可知P(S1>2S2)＝
1
3.
6．(2017·无锡一中期中)执行如图所示的流程图，则输出的M值应为________．
答案 2
解析由题意，执行流程图，可得
i＝1，满足条件，则M＝
1
1－2
＝－1，
i＝2，满足条件，则M＝
1
1－(－1)
＝1
2
，
i＝3，满足条件，则M＝
1
1－
1
2
＝2，
i＝4不满足条件，退出循环，输出M的值为2.
7．若等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a8＝________.
答案9
解析设a n＝a1＋(n－1)d，依题意
⎩⎪
⎨
⎪⎧2a1＋9d＝13，
7a1＋21d＝35，
解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧a1＝2，
d＝1，
所以a8＝9.
8．如图，正四棱锥P－ABCD的底面一边AB长为2 3 cm，侧面积为8 3 cm2，则它的体积为______ cm3.
答案 4
解析 设侧面三角形的高为h cm ， 则4×1
2×23h ＝83，解得h ＝2，
故棱锥的高为H ＝
22－(3)2＝1(cm)，
所以棱锥的体积为V ＝1
3×(23)2×1＝4(cm 3)．
9．已知sin 2α＝1
3，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 2
3
解析 cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝23
. 10．(2017·江苏梁丰中学质检)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________． 答案 相交
解析 圆的标准方程为M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)， 则圆心为(0，a )，半径R ＝a ， 圆心到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a
2
， ∵圆
M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线
x ＋y ＝0所得线段的长度是22，∴2
a 2－
a 2
2
＝22，即a 2＝4，a ＝2，
则圆心为M (0,2)，半径R ＝2，圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为N (1,1)，半径r ＝1，则MN ＝2，
∵R ＋r ＝3，R －r ＝1，
∴R －r ＜MN ＜R ＋r ，即两个圆相交．
11．如图，若C 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)上位于第一象限内的点，A ，B 分别是椭圆的左顶点
和上顶点，F 是椭圆的右焦点，且OC ＝OF ，AB ∥OC ，则该椭圆的离心率为________．
答案
63
解析 方法一 设C (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
x 20＋y 20＝c 2，y 0x 0＝b a ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝
ac
a 2＋
b 2，
y 0＝bc a 2＋b
2
，
代入椭圆方程得a 2c 2a 2＋b 2a 2＋b 2c 2
a 2＋
b 2
b 2＝1，
整理得2c 2＝a 2＋b 2.
又a 2＝b 2＋c 2，故2c 2＝a 2＋a 2－c 2， ∴e 2＝23，又0<e <1，故e ＝6
3
.
方法二 过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ， 则△AOB ∽△ODC ， 故可设⎩⎪⎨⎪
⎧
OC ＝a 2
＋b 2
k ，OD ＝ak ，
DC ＝bk ，
其中k >0，
由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
(ak )2
a 2
＋(bk )2
b 2
＝1，a 2＋b 2k ＝c ，
又a 2＝b 2＋c 2，故⎩⎪⎨⎪⎧
k 2＝12，2a 2＝3c 2，
故e ＝6
3
.
12．(2017·南京一中实验学校月考)若正实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则1
x ＋y
＋x ＋y z 的最小
值是________．
答案 3
解析 由题意，x ，y ，z ＞0，且满足x ＋y ＋z ＝1. 则
1x ＋y ＋x ＋y z ＝x ＋y ＋z x ＋y ＋x ＋y z ＝1＋z x ＋y
＋x ＋y z
≥2
z x ＋y ·x ＋y
z
＋1＝3， 当且仅当z ＝x ＋y ＝1
2时，取等号．
∴
1x ＋y
＋x ＋y z 的最小值是3.
13．(2017·江苏启东中学月考)若曲线y ＝a ln x 与曲线y ＝1
2e x 2在它们的公共点P (s ，t )处具有
公共切线，则t
s ＝________.
答案
e 2e
解析 曲线y ＝a ln x 的导数为y ′＝a
x ，
在P (s ，t )处的斜率为k ＝a
s .
曲线y ＝12e x 2的导数为y ′＝x
e ，
在P (s ，t )处的斜率为k ＝s
e
.
由曲线y ＝a ln x (a ≠0)与曲线y ＝12e x 2在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，可得a s ＝s
e ，并
且t ＝s 2
2e ＝a ln s ，
得ln s ＝1
2
，∴s 2＝e.
则a ＝1，∴t ＝12，s ＝e ，即t s ＝e
2e
.
14．已知实数x ，y 满足x ＋2y ＋3＝xy ，且对任意的实数x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝
⎛⎦⎤
－∞，21510
解析 因为x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，
所以x＋y－3>0，所以不等式(x＋y－3)2－a(x＋y－3)＋1≥0可转化为(x＋y－3)＋1
x＋y－3
≥a.
令t＝x＋y－3，t>0，则f(t)＝t＋1
t≥a，且函数f(t)在区间[1，＋∞)上单调递增．
方法一等式x＋2y＋3＝xy可化为(x－2)(y－1)＝5，
令m＝x－2，n＝y－1，则m>0，n>0，且mn＝5，
则t＝m＋n≥2mn＝25，当且仅当m＝n，即x＝y＋1，即x＝2＋5，y＝1＋5时等号成立，
故f(t)≥f(25)＝25＋1
25＝215
10
，所以a≤215
10.
方法二x＋2y＋3＝xy可化为y＝1＋5
x－2
(x>2)，
故直线x＋y－3－t＝0与函数y＝1＋5
x－2
(x>2)的图象有公共点，当两者相切时是临界位置，
此时y′＝－5
(x－2)2
＝－1，得x＝2＋5，y＝1＋5，此时，t＝25，数形结合可知当t≥25时，符合题意，
故f(t)≥f(25)＝25＋1
25＝215
10
，
所以a≤215
10.。