数值分析-计算方法-插值a

500 5
18
解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算
x0
x1
x2
利用

x0 6 , x1 4
L 1 (x ) x /6 /4 /4 1 2 x /4 /6 /6 1 2
sin
而
50 0

Lf1内要( (5端1x 8插计)点 ) 通算s，0 常的i.x 7插n 7 优x6值12 2 所于4效,在外果R 1 的推(x 较) 区。f 好(f x 间选)2 ( 。 ! 的择x s )(x ix ,n 6 f)x (( x 4 )) 4 s 2 |( ix x n , 6 )x x ( ( 4 6 )|, 4)
Ln ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi xj
n=1
线性插值
已称知为x拉0 氏, x基1 ;函y0数, y1/*，La求graL n1 g(exB)asa is0 */，a1x 使得
L满1( 足x0 )条 件y0 l,i(Lx1j)(=x1 )ij/*yK1 ronecker Delta */
f(x)L (x) n
f ( ) (n1)
ni
i
项式是唯一存在的。
证明： 由插值条件可知，插值多项式Ln(x)的系数ai满足线性
方程组
1
x 0

xn 0

a0


y 0

1
x 1

xn 1

a1



y 1



1
x n

xn n

an



y n

其系数行列式是n+1阶范德蒙(Vandermonde)行列式
5
R1( 18)

0.01077
sin 50 = 0.7660444…
外推 /* extrapolation */的实际误差 0.01001
利用
x1

4
,
x2

3
sin 50 0.76008,
内插/* interpolation */ 的实际误差 0.00596
R~ 1

= yi
。
i0
每个与li
有n 节点
个有零关点，而x0与…
li (x) Ci (x x0)...(x xi
f[x无i] 关… xn )...(x xn)
CiPLj no ali (ygxnroamnxgj i)eal
li (xi ) 1
Ci

ji
( xi
1 xj)
1-
1-
0.5-
0.5-
0.5-
01 -0.5-
2 34

56 x 0 1
-0.5-
2 34
56 x 0 1
-0.5-
2 34
56 x
例：已知 si6 n1 2,si4 n1 2,si3 n2 3
3.1 Lagrange Interpolation
分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差。
n=2
抛物线插值
已知 x0 , x1 , x2 ; y0 , y1 , y2 ，求L2(x)=a0+a1x + a2x2, 使 得L2(xi)= yi , i=0,1,2.
用基函数表示
L (x ) l(x )y l(x )y l(x )y
2
0
01
12
2
其中l0(x)、l1(x)、l2(x)为二次式，且满足以下条件
可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
L1 ( x)

y0

y1 x1

y0 x0
(x

x0 )
点斜式
= x x1 x0 x1
y0 +
x x0 x1 x0
1
y1 i0 li ( x) yi
l0(x)
l1(x)
3.1 Lagrange Interpolation
sin 50 0源自L2(518
)

0.76543
c os
R (x ) x(x)x ()x ();
c o s3
2
3 ! 6 4 3
x2
R2
5 18
0.00077
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
高次插值通常优于 低次插值
n
01
2
n
作为插值函数，称其为n次插值多项式/* n-degree Interpolating polynomial */ ，求Pn(x)的过程也叫做拉格朗日 插值/* Lagrange Interpolation */ 。
3.1 Lagrange Interpolation
定理 (唯一性) 满足 L(x)y,i0 ,..,n .的 n 阶插值多
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时，f(n+1)(x)=0 ,
可知Rn(x)=0，即插值多项式对于次数 n 的多项式 是精确的。
3.1 拉格朗日插值 /* Lagrange Interpolation */
求 n 次多项式 L n (x ) a 0 a 1x a n x n使得
但绝对不是次数越 高就越好，嘿 嘿……
3.1 Lagrange Interpolation
插值误差的实用估计法
设Ln(x) 和Ln*(x)分别是以x0，x1,…,xn和x1, x2…,xn＋1为节点的 插值多项式。则
f () (n1) n
f(x)L(x) n
(n1)! k0 (xxk)
第三章 插值 /* Interpolation */
当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一 系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函 数 g(x) f(x)，满足条件g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。最常 用的插值函数是多…项? 式
3.1 Lagrange Interpolation
Rn(x)f((nn1)1()!x)i n0(xxi)
注： 通常不能确定 , 而是估计 f(n1)(x)Mn,1x(a,b)
将
Mn1 n (n1)!i0
|
xxi
|
作为误差估计上限。
内插比外推效果好。
1 x xn
0
0
1 x xn
n i1
V
1

1


(xi

x j
)
i0 j0
1 x xn
n
n
因为xi≠xj，于是V≠0，方程组的解存在且唯一
3.1 Lagrange Interpolation
插值余项 /* Remainder */
定理 设节点 ax0x1 xnb，而f(x)在[a, b]内有直到
5
18

0.00660
n=2
3.1 Lagrange Interpolation
L 2 ( x ) ( ( x 6 4 4 ) ) x 6 ( ( 3 3 ) ) 1 2 ( ( x 4 6 6 ) ) x 4 ( ( 3 3 ) ) 1 2 ( ( x 3 6 6 ) ) x 3 ( ( 4 4 ) ) 2 3
(xx)(xx)
l1 (x ) ( ( x x ( x2x x 0 ) )xx x 0 0)( ( (xx x 22 ) )x ,11)l2 y(x ) (( x x x x 0 ) )x x ( ( x x 1 ))
1 01 2
2 02 1
3.1 Lagrange Interpolation
The mathematician S. had to move to a new place. His wife didn't trust him very much, so when they stood down on the street with all their things, she asked him to watch their ten trunks, while she got a taxi. Some minutes later she returned. Said the husband: "I thought you said there were ten trunks, but I've only counted to nine!"
f (n1) ( x ) L(nn1) ((xx )0 )K ( x ) (n (x 1)n!)R0 n(n1) ( x ) K ( x) (n 1) ! K ( x)存 在f((nn 1)1(()a!x,b) )使得 R n((nx))()f((nn01)1()!x)i n0(xxi)
The wife said: "No, they're TEN!" "But I have counted them: 0, 1, 2, ..."
n1 li(x)
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
n
Ln ( x )
li ( x )
y i
，则显然有Ln(xi)
f(x)
g(x) f(x)
g(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定义 已知函数y=f(x)在区间[a, b]内一系列点xi上的函数值
f(xi)=yi, i=0,1,…,n，求一简单函数P(x)，使满足条件 P(xi)=yi, i=0,1,…,n，
称点xi为插值节点/* interpolating points */ ，[a, b]为插值区间/* interpolating region */ ，P(x)为插值函数/* interpolating
任存意在固注定意(这xx0里,xxi是1)(i对使= 0得t, 求…,导(n),)考0察。
(t)

Rn
(t
)

K
(
x)
n

(t

xi
)
推广：若 (x 0)(x 1)(x 2) 0 0 (x 0 ,x 1 ),1 i( 0x 1 ,x 2 )
(t)有 n+使2得个不(同0的)根(x01)…0 xn x (0,( 1n ) 1 使)(得x) 0 (,)x 0(a ,b )
function */ ，求P(x)的过程为函数插值/* function interpolating */ ， 求P(x)的方法为插值法/* interpolation */ 。
由于代数多项式的结构简单，数值近似和理论分析都 方便，实用中常取代数多项式
P (x ) a a x a x 2 a x n
n+1阶导数，且已知f(xi)=yi, i=0, 1, …, n, 则当x∈[a,b]成立
R n (x ) f(x ) L n (x ) f(( n n 1 )1 ( ))! k n 0 (x x k )
[b a,]
n
RRno(lxl)e’至s T少h有eornem+1:个若根( x) 充分Rn光(x)滑 ，K(x() x i00)( x (xx i )1)0，则
l(x)1,
li(xj)=ij
00
l(x)0, 10
l(x)0,
20
1
c
(x x)(x x)
0
1
0
2
(x)l0,
01
(x)l1,
11
(x)l0,
21
(x)l0
02
(x)l0
12
(x)l1
22
l(x )c(xx)x (x)
0
1
2
L2(x)((xx l00( xx x)1 1))((x x(x0 x0 xx2xx2 ))11))y((0xx 0((xxxx212) ) x x0 0))((x x1xx22))y1
j0
li(x)
n ji
(x xj ) (xi xj )
j0
n
Ln(x)li
(x)y i
i0
3.1 Lagrange Interpolation
Quiz: 给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 l2(x)的图像？
y
A
y
B
y
C
1-