2022-2023学年湖北省麻城思源学校数学九上期末达标检测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．二次函数y ＝12x 2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得抛物线的函数表达式是（ ） A ．y ＝()2112x -+3 B ．y ＝()2112
x ++3 C ．y ＝()2112x -﹣3 D ．y ＝()2112
x +﹣3 2．如图，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，点(10,6)B ，把矩形OABC 绕点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的1A 处，则点C 的对应点1C 的坐标为（ ）
A ．1824(,)55-
B ．2418(,)55-
C ．2224(,)55-
D ．2422(,)55
- 3．当压力F （N ）一定时，物体所受的压强p （Pa ）与受力面积S （m 2）的函数关系式为P ＝
F s （S≠0），这个函数的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．下列四张印有汽车品牌标志图案的卡片中，是中心对称图形的卡片是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘一131，其浓度为0.0000963贝克/立方米，0.0000963数据用科学记数法可表示为（ ）
A ．59.6310-⨯
B ．50.96310-⨯
C ．496310-⨯
D ．696.310-⨯
6．如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF ⊥BD 垂足为F ．则下列结论错误的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图，AB 为圆O 的切线，OB 交圆O 于点D ，C 为圆O 上一点，若24ACD ∠=，则ABO ∠的度数为（ ）．
A ．48
B ．42
C ．36
D ．72
8．一元二次方程2250x x --=的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A ．2 (1)6x +=
B ．2 (1)6x -=
C ．2 (2)9x +=
D ．2 (2)9x -=
9．在下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，在△ABC 中，点D 、B 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论：①BC ＝3DE ；②AD AE ＝AB AC ；③ADE ABC ∆∆的周长的周长＝14；④ADE ABC ∆∆的面积的面积＝13；其中正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在平面直角坐标系内，一次函数y ＝k 1x +b 1与y ＝k 2x +b 2的图象如图所示，则关于x ，y 的方程组1122y k x b y k x b -=⎧⎨-=⎩
的解是________．
12．计算： 069(12)(3)--+---= _________ ． 13．将抛物线y =x 2先沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的解析式是__．
14．若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣x+1=0有实数根，则a 的取值范围为________．
15．如图,AB 是O 的直径,弦CD 交AB 于点P ,2AP =，6BP =，30APC ∠=︒，则CD 的长为_____．
16．阅读下列材料，我们知道)1331334=133-133+”，分母就变成了4()())8133
8133
4133133133==--+，从而可以达到对根式化简的目的，根据上述阅读材料解决
问题：若20181
m =+m 5＋2m 4﹣2017m 3＋2016的值是_____． 17．如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1，点F 、G 分别在边BC 、CD 上，P 为AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为_________．
18．如图，在O 中，弦4AB =，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则CD 的最大值为__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图所示，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，联结AD ，ADB CDE ∠=∠，DE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且2AD DE DF =⋅.
（1）求证：BFD CAD ∆∆∽；
（2）求证：BF DE AB AD ⋅=⋅.
20．（6分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，过点B 作直线BF ，交AC 的延长线于点F ．
（1）求证：BE ＝CE ；
（2）若AB ＝6，求弧DE 的长；
（3）当∠F 的度数是多少时，BF 与⊙O 相切，证明你的结论．
21．（6分）如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．
（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系；
（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45°，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90°，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
22．（8分）平行四边形ABCD 中，点E 为BC 上一点，连接DE 交对角线AC 于点F ，点G 为DE 上一点，AH DE ⊥于H ，2BC AG =且ACE GAC ∠=∠，点M 为AD 的中点，连接MF ；若75DFC ∠=︒．
（1）求MFD ∠的度数；
（2）求证：3GF GH AH +=
23．（8分）如图已知直线122y x =
+与抛物线y =ax 2+bx +c 相交于A （﹣1，0），B （4，m ）两点，抛物线y =ax 2+bx +c 交y 轴于点C （0，﹣32
），交x 轴正半轴于D 点，抛物线的顶点为M ． （1）求抛物线的解析式；
（2）设点P 为直线AB 下方的抛物线上一动点，当△PAB 的面积最大时，求△PAB 的面积及点P 的坐标；
（3）若点Q 为x 轴上一动点，点N 在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QMN 与△MAD 相似时，求N 点的坐标．
24．（8分）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且AD =AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F ．
(1)求证：△ABC ∽△FCD ；
(2)过点A 作AM ⊥BC 于点M ，求DE ：AM 的值；
(3)若S △FCD =5，BC =10，求DE 的长．
25．（10分）正面标有数字1-，2-,3,4背面完全相同的4张卡片，洗匀后背面向上放置在桌面上.甲同学抽取一张卡片，正面的数字记为a ，然后将卡片背面向上放回．．
桌面，洗匀后，乙同学再抽取一张卡片，正面的数字记为b. （1）请用列表或画树状图的方法把(,)a b 所有结果表示出来；
（2）求出点(,)a b 在函数2y x =-+图象上的概率.
26．（10分）（8分）向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移，得到新抛物线的顶点坐标，即可得到答案.
【详解】∵原抛物线的顶点为（0，0），
∴向左平移1个单位，再向下平移1个单位后，新抛物线的顶点为（﹣1，﹣1）．
∴新抛物线的解析式为： y ＝()2112x +﹣1． 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的平移规律，通过平移得到新抛物线的顶点坐标，是解题的关键.
2、A
【分析】作辅助线证明△1AOM ∽△O 1C N,列出比例式求出ON=185, N 1C =245
即可解题. 【详解】解：过点1A 作1A M ⊥x 轴于M,过点1C 作1C N ⊥x 轴于N ,
由旋转可得,△1
AOM ∽△O 1C N, ∵OC=6,OA=10,
∴ON:1
C N :O 1C =1A M :OM:O 1A =3：4：5, ∴ON=185, N 1C =245
, ∴1C 的坐标为1824,55⎛⎫-
⎪⎝⎭, 故选A.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质,中等难度,做辅助线证明三角形相似是解题关键.
3、C
【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：当F 一定时，P 与S 之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
4、B
【解析】根据中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可．
【详解】A.不是中心对称图形，故错误；
B.是中心对称图形，故正确；
C.不是中心对称图形，故错误；
D.不是中心对称图形，故错误；
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
5、A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.0000963，这个数据用科学记数法可表示为9.63×510-．
故选：A ．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为110n a -⨯，其中110a ≤＜
，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
6、A 【解析】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．
【详解】解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，EF ⊥BD ，
∴AB ∥CD ∥EF
∴△ABE ∽△DCE ，
∴，故选项B 正确，
∵EF ∥AB ，
∴，
∴，故选项C ，D 正确，
故选：A ．
【点睛】
考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7、B
【分析】根据切线的性质以及圆周角定理求解即可．
【详解】连接OA
∵AB 为圆O 的切线
∴90OAB ∠=︒
∵24ACD ∠=
∴248AOB ACD ==︒∠∠
∴180180904842ABO OAB AOB =︒--=︒-︒-︒=︒∠∠∠
故答案为：B ．
【点睛】
本题考查了圆的角度问题，掌握切线的性质以及圆周角定理是解题的关键．
8、B
【解析】把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【详解】把方程x 2﹣2x ﹣5＝0的常数项移到等号的右边，得到x 2﹣2x ＝5，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到：x 2﹣2x +（﹣1）2＝5+（﹣1）2，配方得：（x ﹣1）2＝1．
故选B ．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
9、C
【解析】根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A 、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B 、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C 、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D 、是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C.
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
10、D
【分析】先根据点DE 分别是AB ，AC 的中点，得到DE 是△ABC 的中位线，进而得到BC ＝2DE ，DE ∥BC ，据此得到△ADE ∽△ABC ，再根据相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：∵△ABC 中，点DE 分别是AB ，AC 的中点，
∴BC ＝2DE ，DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD AE AB AC =，即AD AB AE AC
=； ∴12ADE DE ABC BC ==的周长的周长，21()4
ADE DE ABC BC ==的面积的面积 故正确的有②．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，根据题目得出三角形相似是解此题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、21x y =⎧⎨=⎩
． 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】∵一次函数y ＝k 1x +b 1与y ＝k 2x +b 2的图象的交点坐标为（2，1），
∴关于x ，y 的方程组1122y k x b y k x b -=⎧⎨-=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩．
故答案为21x y =⎧⎨=⎩
． 【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
12、7
【分析】本题先化简绝对值、算术平方根以及零次幂，最后再进行加减运算即可．
【详解】解：06(1(3)---
=6-3+1+3
=7
【点睛】
此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
13、y=（x+2）2-1
【分析】根据左加右减，上加下减的变化规律运算即可．
【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，
向左平移2个单位，将抛物线y ＝x 2先变为y ＝（x ＋2）2，
再沿y 轴方向向下平移1个单位抛物线y ＝（x ＋2）2即变为：y ＝（x ＋2）2−1，
故答案为：y ＝（x ＋2）2−1．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移，掌握平移规律是解题关键．
14、a≤54
且a≠1． 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件列出关于a 的不等式组，求出a 的取值范围即可．
【详解】由题意得：△≥0，即（-1）2-4（a-1）×1≥0，
解得a≤54
， 又a-1≠0， ∴a≤
54
且a≠1. 故答案为a≤54且a≠1. 点睛：本题考查的是根的判别式及一元二次方程的定义，根据题意列出关于a 的不等式组是解答此题的关键．
15、【分析】作OH CD ⊥于H ,连结OC ,由OH CD ⊥，得HC HD =，由2AP =,6BP =，得2OP =，进而得1OH =，
根据勾股定理得15CH =，即可得到答案. 【详解】作OH CD ⊥于H ,连结OC ,如图,
∵OH CD ⊥,
∴HC HD =,
∵2AP =,6BP =， ∴8AB =,
∴4OA =,
∴2OP OA AP =-=,
∵在Rt OPH 中, 30OPH ∠=︒, ∴60POH ∠=︒,
∴112
OH OP ==, ∵在Rt OHC △中, 4OC =,1OH =，
∴2215CH OC OH =-=,
∴2215CD CH ==．
故答案为：215
【点睛】
本题主要考查垂径定理和勾股定理的综合，添加辅助线，构造直角三角形和弦心距，是解题的关键.
16、2016
【分析】首先对m 这个式子进行分母有理化，然后观察要求值的代数式进行拆分代入运算即可.
【详解】∵20181
m =+()()2017201812018120181+-=)20172018120181-20181,
∴2018
∴2212018m m ++=，
∴2220170m m +-=，
∴原式=()
32220172016m m m +-+=2016.
故答案为：2016.
【点睛】
本题考查了二次根式的分母有理化，代数式的求值，观察代数式的特点拆分代入是解题的关键.
17、5
【分析】延长GE 交AB 于点O ，作PH ⊥OE 于点H ，则PH 是△OAE 的中位线，求得PH 的长和HG 的长，在Rt △PGH 中利用勾股定理求解．
【详解】解：延长GE 交AB 于点O ，作PH ⊥OE 于点H ．
则PH ∥AB ．
∵P 是AE 的中点，
∴PH 是△AOE 的中位线，
∴PH= 12OA= 12×（3-1）=1． ∵直角△AOE 中，∠OAE=45°，
∴△AOE 是等腰直角三角形，即OA=OE=2，
同理△PHE 中，HE=PH=1．
∴HG=HE+EG=1+1=2．
∴在Rt △PHG 中，PG=
2222125PH HG +=+5【点睛】
本题考查了正方形的性质、勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
18、2
【分析】连接OD ，根据勾股定理求出CD ，利用垂线段最短得到当OC ⊥AB 时，OC 最小，根据垂径定理计算即可；
【详解】如图，连接OD ，
∵CD ⊥OC ，
∴∠DCO=90︒， ∴2222r CD OD OC OC =-=-
当OC 的值最小时，CD 的值最大，OC ⊥AB 时，OC 最小，此时D 、B 两点重合，
∴CD=CB=12
AB=2，即CD 的最大值为2； 故答案为：2.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）先根据已知证明ADF EDA ∆∆∽，从而得出F DAE ∠=∠，再通过等量代换得出BDF CDA ∠=∠，从而结论可证；
（2）由BFD CAD ∆∆∽得出
BF DF AC AD =，再由BFD CAD ∆∆∽得出B C ∠=∠，从而有AB AC =，再加上AD DF DE AD =则可证明BF AD AB DE
=，从而结论可证. 【详解】（1）证明：2AD DE DF =⋅，
AD DF DE AD
∴=， ADF EDA ∠=∠，
ADF EDA ∴∆∆∽，
F DAE ∴∠=∠，
又ADB CDE ∠=∠，
ADB ADF CDE ADF ∴∠+∠=∠+∠，
即BDF CDA ∠=∠，
BFD CAD ∴∆∆∽.
（2）BFD CAD ∆∆∽，
BF DF
AC AD
∴=，
AD DF
DE AD
=，
BF AD
AC DE
∴=，
BFD CAD
∆∆
∽，
B C
∴∠=∠，
AB AC
∴=，
BF AD
AB DE
∴=，
BF DE AB AD
∴⋅=⋅.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键.
20、（1）证明见解析；（2）弧DE的长为
9
10
π；（3）当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切．理由见解析.
【解析】(1)连接AE，求出AE⊥BC，根据等腰三角形性质求出即可；
(2)根据圆周角定理求出∠DOE的度数，再根据弧长公式进行计算即可；
(3)当∠F的度数是36°时，可以得到∠ABF=90°，由此即可得BF与⊙O相切. 【详解】(1)连接AE，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE；
(2)∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，
∴∠CAE=1
2
∠BAC=
1
2
×54°=27°，
∴∠DOE=2∠CAE=2×27°=54°，
∴弧DE的长=5439 18010
ππ
⨯⨯
=；
(3)当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切，理由如下：∵∠BAC=54°，
∴当∠F=36°时，∠ABF=90°，
∴AB ⊥BF ，
∴BF 为⊙O 的切线．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、切线的判定、弧长公式等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
21、（1）CM=EM ，CM ⊥EM ；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析．
【分析】（1）延长EM 交AD 于H ，证明△FME ≌△AMH ，得到HM=EM ，根据等腰直角三角形的性质可得结论； （2）根据正方形的性质得到点A 、E 、C 在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可； （3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．
【详解】解：（1）如图1，结论：CM=EM ，CM ⊥EM ．
理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ，
∴BC ∥EF ，
∴∠EFM=∠HBM ，
在△FME 和△BMH 中，
EFM MBH FM BM
FME BMH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△FME ≌△BMH ，
∴HM=EM ，EF=BH ，
∵CD=BC ，
∴CE=CH ，∵∠HCE=90°，HM=EM ，
∴CM=ME ，CM ⊥EM ．
（2）如图2，连接AE ，
∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形，
∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，
∴点B 、E 、D 在同一条直线上，
∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M 为AF 的中点，
∴CM=12AF ，EM=12
AF ， ∴CM=ME ，
∵∠EFD=45°，
∴∠EFC=135°，
∵CM=FM=ME ，
∴∠MCF=∠MFC ，∠MFE=∠MEF ，
∴∠MCF+∠MEF=135°，
∴∠CME=360°-135°-135°=90°，
∴CM ⊥ME ．
（3）如图3，连接CF ，MG ，作MN ⊥CD 于N ，
在△EDM 和△GDM 中，
DE DG MDE MDG DM DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△EDM ≌△GDM ，
∴ME=MG ，∠MED=∠MGD ，
∵M 为BF 的中点，FG ∥MN ∥BC ，
∴GN=NC ，又MN ⊥CD ，
∴MC=MG ，
∴MD=ME ，∠MCG=∠MGC ，
∵∠MGC+∠MGD=180°，
∴∠MCG+∠MED=180°，
∴∠CME+∠CDE=180°，
∵∠CDE=90°，
∴∠CME=90°，
∴（1）中的结论成立．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
22、（1）30°
（2）证明见解析 【分析】（1）通过平行四边形的性质、中点的性质、平行线的性质去证明()AFG AFM SAS ≅，可得
,75FG FM AFG AFM DFC ︒=∠=∠=∠=，再根据180()MFD AFG AFM ︒∠=-∠+∠求解即可；
（2）延长FE 至点N ，使GN FG =，连接AN ，通过证明()AGN DMF SAS ≅，可得30ANH DFM ︒∠=∠=，
再根据特殊角的锐角三角函数值，即可得证GN GH GF GH +=+=．
【详解】（1）∵四边形ABCD 为平行四边形
AD BC ∴=
2BC AG =
2AD AG ∴=
∵M 为AD 的中点
22AD AM DM ∴==
AG AM DM ∴==
//AD BC
ACE CAM ∴∠=∠
即ACE FAM ∠=∠
ACE GAC ∠=∠
CAG FAM ∴∠=∠即FAG FAM ∠=∠
AF AF =
()AFG AFM SAS ∴≅
,75FG FM AFG AFM DFC ︒∴=∠=∠=∠=
180()30MFD AFG AFM ︒︒∴∠=-∠+∠=；
（2）延长FE 至点N ，使GN FG =，连接AN ，由（1）知，,FG FM AGF AMF =∠=∠
,GN FM AGN CMF ∴=∠=∠
AG DM =
()AGN DMF SAS ∴≅
30ANH DFM ︒∴∠=∠=
AH DE ⊥ 3HN AH ∴=
3GN GH GF GH AH ∴+=+=．
【点睛】
本题考查了平行四边形的综合问题，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质以及判定定理、特殊三角函数值是解题的关键．
23、（1）21322y x x =
--；（2）12516，P （32，158
-）；（3）N （3，0）或N （55或N （5，6）或N 515． 【分析】（1）将点(4,)B m 代入1122y x =
+，求出52m =，将点53(1,0),(4,),(0,)22
A B C --代入2y ax bx c =++，即可求函数解析式； （2）如图，过P 作//PK y 轴，交AB 于K ，求出AB 的解析式，设213(,)22
P n n n --，表示K 点坐标，表示PK 长度，利用1()2PAB PKA PKB B A S S S PK x x ∆∆∆=+=•-，建立二次函数模型，利用二次函数的性质求
最值即可， （3）可证明△MAD 是等腰直角三角形，由△QMN 与△MAD 相似，则△QMN 是等腰直角三角形，设
213,)22(N t t t -- ①当MQ ⊥QN 时，N （3，0）； ②当QN ⊥MN 时，过点N 作NR ⊥x 轴，过点M 作MS ⊥RN 交于点S ，由MNS ∆∆≌NQR （AAS ），建立方程求解； ③当QN ⊥MQ 时，过点Q 作x 轴的垂线，过点N 作NS ∥x 轴，
过点M 作M R ∥x 轴，与过M 点的垂线分别交于点S 、R ；可证△MQR ≌△QNS （AAS ），建立方程求解；
④当MN ⊥NQ 时，过点M 作MR ⊥x 轴，过点Q 作QS ⊥x 轴，过点N 作x 轴的平行线，与两垂线交于点R 、S ；可证△MNR ≌△NQS
（AAS ），建立方程求解．
【详解】解：（1）将点(4,)B m 代入1122y x =+，∴52
m =， 将点5
3(1,0),(4,),(0,)22
A B C --代入2y ax bx c =++， 320
51642c a b c a b c ⎧=-⎪⎪-+=⎨⎪⎪++=⎩ 解得：12132a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩
， ∴函数解析式为21322
y x x =--； （2）如图，过P 作//PK y 轴，交AB 于K ，设AB 为y mx n =+，
因为：5
(1,0),(4,),2
A B -所以： 0542m n m n -+=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩ ，解得：1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 所以直线AB 为：1122y x =
+，设213(,)22P n n n --，则11(,)22
K n n +， 所以：22111313()2222222PK n n n n n =+---=-++，
所以：21113()(2)52222PAB PKA PKB B A S S S PK x x n n ∆∆∆=+=•-=-++⨯
2515544n n =-++， 当32
n =，max 591531255444216S =-⨯+⨯+=， 此时：315(,)28
P -． （3）∵(1,2),(1,0),(3,0)M A D --，
∴22,4,22AM AB MD ===，
∴△MAD 是等腰直角三角形． ∵△QMN 与△MAD 相似，∴△QMN 是等腰直角三角形， 设213,)22
(N t t t --
①如图1，当MQ ⊥QN 时，此时N 与D 重合，N （3，0）；
②如图2，当QN ⊥MN 时，过点N 作NR ⊥x 轴于R ，过点M 作MS ⊥RN 交于点S ．
∵QN =MN ，∠QNM =90°，∴MNS ∆∆≌NQR （AAS ），MS NR ∴=
∴213122
t t t -=-++， ∴5t =，1t ＞，∴5t =5,15)N ；
③如图3，当QN ⊥MQ 时，过点Q 作x 轴的垂线，过点N 作NS ∥x 轴，过点M 作M R ∥x 轴，与过Q 点的垂线分别交于点S 、R ；
∵QN =MQ ，∠MQN =90°，∴△MQR ≌△QNS （AAS ），2QR NS ∴==,
MR SQ =,∴2132122t t t +-=--，∴t =5，（舍去负根）∴N （5，6）； ④如图4，当MN ⊥NQ 时，过点M 作MR ⊥x 轴，过点Q 作QS ⊥x 轴，
过点N 作x 轴的平行线，与两垂线交于点R 、S ；
∵QN =MN ，∠MNQ =90°，∴△MNR ≌△NQS （AAS ），∴SQ =RN ，
∴213122
t t t --=-，∴25t =±． 1t ＞，∴25t =+，∴(25,15)N ++；
综上所述：(3,0)N 或(25,15)N ++或N （5，6）或(5,15)N -．
【点睛】
本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
24、（1）证明见解析；（2）23
；（3）83．
【分析】（1）利用D 是BC 边上的中点，DE ⊥BC 可以得到∠EBC =∠ECB ，而由AD =AC 可以得到∠ADC =∠ACD ，再利用相似三角形的判定定理，就可以证明题目结论；
（2）根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质定理，解答即可；
（3）利用相似三角形的性质就可以求出三角形ABC 的面积，然后利用面积公式求出AM 的值，结合
23DE AM =，即可求解．
【详解】（1）∵D 是BC 边上的中点，DE ⊥BC ，
∴BD =DC ，∠EDB =∠EDC =90°，
∵DE=DE ，
∴△BDE ≌△EDC （SAS ），
∴∠B =∠DCE ，
∵AD =AC ，
∴∠ADC =∠ACB ，
∴△ABC ∽△FCD ；
（2）∵AD =AC ，AM ⊥DC ，
∴DM =12
DC ， ∵BD =DC ， ∴23
BD BM =， ∵DE ⊥BC ，AM ⊥BC ，
∴DE ∥AM ， ∴23
DE BD AM BM ==． （3）过点A 作AM ⊥BC ，垂足是M ，
∵△ABC ∽△FCD ，BC =2CD ， ∴4ABC FCD S S =，
∵S △FCD =5，
∴S △ABC =20，
又∵BC =10，
∴AM =1．
∵DE ∥AM ，
∴23DE BD AM BM == ∴243
DE =， ∴DE =83
．
【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质定理，等腰三角形的性质定理，掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25、（1）共有16种机会均等的结果；（2）P （点(,)a b 在函数2y x =-+的图象上）=
14 【分析】（1）列出图表,图见详解,
（2）找出在2y x =-+上的点的个数,即可求出概率.
【详解】（1）解：列表如下： 1- 2- 3 4
1-
()1,1-- ()1,2-- ()1,3- ()1,4- 2-
()2,1- ()2,2- ()2,3- ()2,4- 3 ()3,1- ()3,2-
()3,3 ()3,4 4 ()4,1-
()4,2- ()4,3 ()4,4 ∴共有16种机会均等的结果
（2）点()1,3-，()2,4-，()3,1-，()4,2-在函数2y x =-+的图象上
∴P （点(),a b 在函数2y x =-+的图象上）=
416=14
【点睛】
本题考查了用列表法求概率,属于简单题,熟悉概率的实际应用是解题关键.
26、10%．
【解析】试题分析：设这两年的平均增长率为x ，根据等量关系“2010年的人均收入×（1+平均增长率）2=2012年人均
收入”列方程即可．
试题解析：设这两年的平均增长率为x，由题意得：，解得：（不合题意舍去），．
答：这两年的平均增长率为10%．
考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．。