人教A版数学必修一课后提升作业二十四3.1.2

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课后提升作业二十四
用二分法求方程的近似解
(45分钟70分)
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.下列图象表示的函数中能用二分法求该函数的近似零点的是( )
【解析】选C.A中函数无零点，B，D中函数零点左右两侧的函数值同号，故不能用二分法求该函数的近似零点，故选C.
2.(2016·广州高一检测)用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时，初始区间可选为
( )
A.(-1，0)
B.(0，1)
C.(1，2)
D.(2，3)
【解析】选 C.因为f(-1)=2-1
-3=-5
2
<0，f(0)=20-3=-2<0，f(1)=2-3=-1<0，
f(2)=22-3=1>0，f(3)=23-3=5>0， 所以f(1)·f(2)<0， 所以f(x)的零点x 0∈(1，2).
【补偿训练】用二分法求函数f(x)=x 3+5的零点可以取初始区间是 ( ) A.(-2，-1) B.(-1，0) C.(0，1) D.(1，2)
【解析】选A.因为f(-2)=(-2)3+5<0，f(-1)=(-1)3+5>0，所以f(-2)·f(-1)<0，故初始区间可选为(-2，-1).
3.在用二分法求函数f(x)的零点近似值时，第一次所取的区间是[-2，4]，则第三次所取的区间可能是 ( ) A.[1，4] B.[-2，1] C.[−2,5
2
] D.[−1
2
,1]
【解析】选D.因为第一次所取的区间是[-2，4]，所以第二次所取的区间可能是[-2，1]，[1，4]，所以第三次所取的区间可能是[−2,−1
2
]，[−1
2
,1]，[1,5
2
]，
[5
2
,4].故选D.
4.(2016·石家庄高一检测)用二分法求方程f(x)=0在区间(1，2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f(1)=√3，f(2)=-5，f (3
2)=9，则下列结论正确的是 ( )
A.x 0∈(1,32
) B.x 0=3
2
C.x 0∈(3
2
,2)
D.x 0∈(1,32
)或x 0∈(3
2
,2)
【解析】选C.因为f(2)·f (32
)<0，所以x 0∈(3
2
,2).
5.(2016·济宁高一检测)若函数f(x)=x 3-x-1在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下
那么方程x 3-x-1=0的一个近似根(精确度为0.1)为 ( ) A.1.3 B.1.3125 C.1.4375 D.1.25
【解析】选B.由于f(1.375)>0，f(1.3125)<0，且1.375-1.3125<0.1，故选B. 【误区警示】解答本题易出现选A 的错误，导致出现这种错误的原因是对精确度的概念理解不清所致，精确度为0.1并不是让近似根保留1位小数，而是区间的右端点减去左端点的值的绝对值小于0.1.
6.若函数f(x)在[a ，b]上连续，且同时满足f(a)·f(b)<0，f(a)·f (a+b 2
)>0，
则 ( ) A.f(x)在[a,a+b 2]上有零点
B.f(x)在[
a+b
2,b]上有零点 C.f(x)在[a,a+b
2]上无零点
D.f(x)在[
a+b 2
,b]上无零点
【解析】选B.由已知可知f(b)·f (
a+b 2
)<0，故在区间[
a+b 2
,b]上有零点.
7.下列是关于函数y=f(x)，x ∈[a ，b]的几种说法：
①若x 0∈[a ，b]且满足f(x 0)=0，则(x 0，0)是f(x)的一个零点；
②若x 0是f(x)在[a ，b]上的零点，则可用二分法求x 0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根，但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值. 那么以上叙述中，正确的个数为 ( )
A.0
B.1
C.3
D.4 【解析】选A.因为①中x 0∈[a ，b]且f(x 0)=0， 所以x 0是f(x)的一个零点，而不是(x 0，0)， 所以①错误；②中因为函数f(x)不一定连续，
所以②错误；③中方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点，所以③错误；④中用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以④也错误.
8.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(0，0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0，0.1)等分的次数至少为 ( )
A.3
B.4
C.5
D.6 【解析】选B.由
0.12
n
<0.01，得2n
>10，所以n 的最小值为4，故选B. 二、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2016·晋江高一检测)若函数f(x)=x 3+x 2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
那么方程x 3+x 2-2x-2=0的一个近似解(精确度0.1)为 .
【解析】由于精确度是0.1，而|1.4375-1.375|=0.0625<0.1，故可得方程x 3+x 2-2x-2=0的一个近似解为1.4375. 答案：1.4375(答案不唯一)
【拓展延伸】用二分法求函数零点应注意的两个问题
(1)求函数的近似零点时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同. (2)求函数零点的近似值时，由于所选取的起始区间不同，最后得到的结果可以不同，但它们都是符合所给定的精确度的.
10.用二分法求函数y=f(x)在区间[2，4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x 1=2+42
=3，计算得f(2)·f(x 1)<0，则此时零点x 0∈ (填区
间).
【解析】因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2，3)内. 答案：(2，3)
【延伸探究】本题条件“f(2)·f(x 1)<0”改为“f(2)·f(x 1)>0”，则此时零点x 0∈ (填区间).
【解析】因为f(2)·f(3)>0，所以f(3)·f(4)<0， 所以零点在区间(3，4)内. 答案：(3，4)
三、解答题(每小题10分，共20分)
11.证明方程6-3x=2x 在区间[1，2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解.(精确度为0.1)
【解析】设函数f(x)=2x +3x-6，
因为f(1)=-1<0，f(2)=4>0， 又因为f(x)是增函数，
所以函数f(x)=2x +3x-6在区间[1，2]内有唯一的零点， 则方程6-3x=2x 在区间[1，2]内有唯一一个实数解， 设该解为x 0，则x 0∈[1，2]， 取x 1=1.5，f(1.5)≈1.33>0， f(1)·f(1.5)<0，所以x 0∈(1，1.5)，
取x 2=1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，所以x 0∈(1，1.25)，取x 3=1.125，f(1.125)≈-0.444<0，
f(1.125)·f(1.25)<0，所以x 0∈(1.125，1.25)， 取x 4=1.1875，f(1.1875)≈-0.16<0， 所以f(1.1875)·f(1.25)<0， 所以x 0∈(1.1875，1.25)， 因为|1.25-1.1875|=0.0625<0.1， 所以1.1875可作为这个方程的实数解. 12.已知函数f(x)=3x +x−2x+1
在(-1，+∞)上为增函数，求方程f(x)=0的正根(精确
度为0.01).
【解析】由于函数f(x)=3x +
x−2x+1
在(-1，+∞)上为增函数，故在(0，+∞)上也单
调递增，因此f(x)=0的正根最多有一个.因为f(0)=-1<0，f(1)=52
>0，所以方程的正根在(0，1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法逐步计算，列出下表：
因为|0.2734375-0.28125|=0.0078125<0.01，所以方程的正根的近似值可取为0.28125，即f(x)=0的正根约为0.28. 【能力挑战题】
求√23
的近似值(精确度0.1).
【解析】令√23
=x ，则x 3=2，令f(x)=x 3-2，则√23
就是函数f(x)=x 3-2的零点，因为f(1)=-1<0，f(2)=6>0，所以可取初始区间为[1，2]，用二分法计算，列表如下：
至此，得到区间[1.25，1.3125]的区间长度为0.0625<0.1，因此可取区间[1.25，1.3125]内的任意一个数作为函数f(x)的零点，不妨取1.3125，即√23
≈1.3125. 【方法锦囊】用二分法求无理数的近似值 (1)将此无理数看作某方程的解.
(2)构造其对应的函数，通过二分法去逼近其近似值.
(3)这一过程既体现了转化的数学思想，又体现了逼近的数学思想，值得我们好好把握.
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