2021新教材高中数学第7章复数7.2.2复数的乘除运算课件新人教A版必修第二册

第七章
复数
7.2ꢀ复数的四则运算7.2.2ꢀ复数的乘、除运算
素养目标·定方向必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标学法指导
1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算，并会简单应用.(数学运算)1．对比向量坐标的数量积运算，感觉复数乘法运算的差异，体会复数乘法运算与实数运算的异同.
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.(逻辑推理)2．对比复数除法运算与实数除法运算的差异，类比分母有理化与共轭的关系.
必备知识·探新知
知识点1 复数的乘法法则
设z ＝a ＋b i ，z ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z ·z ＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝ 1 2 12 (ac －bd )＋(ad ＋bc )i ꢀ ______________________. 知识点2 复数乘法的运算律
对任意复数z ，z ，z ∈C ，有
1 2 3 交换律
z ·z ＝___z _·_z _ꢀ___ 21 12 结合律
(z ·z )·z ＝z ·(z ·z ) 123 123 z z ＋z z ꢀ 分配律z (z ＋z )＝_____________
12 13 12 3
知识点3理想化
复数代数形式的除法法则
[知识解读]ꢀ1．对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1).
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用.
(3)常用结论
①(a±b i)2＝a2±2ab i－b2(a，b∈R)；
②(a＋b i)(a－b i)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
2．对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－d i，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.
特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一复数代数表示式的乘法运算
典例1Dꢀ
Dꢀ
(3)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(ꢀꢀ)BꢀA．(－∞，1)ꢀꢀB．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)ꢀꢀ
D．(－1，＋∞)
[分析]ꢀ利用乘法公式进行运算.
[解析]ꢀ(1)由题意可得z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2．
故|z2－2z|＝|－2|＝2．
故选D．
[归纳提升]ꢀ两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开；
(2)再将i2换成－1；
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.
【对点练习】❶ꢀ(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ (ꢀD ꢀ)
A ．2－13i ꢀꢀ
C ．13－13i ꢀꢀ
B ．13＋2i D ．－13－2i (2)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是 (ꢀ
C ꢀ) ꢀ
A ．i(1＋i)2ꢀꢀ
C ．(1＋i)2ꢀꢀ B ．i 2(1－i)
D ．i(1＋i)
[解析]ꢀ(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选D．
(2)A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数.故选C．
题型二复数代数形式的除法运算
典例2Dꢀ
Aꢀ
[分析]ꢀ复数的除法运算就是分子分母同乘分母的共轭复数，转化为乘法进行.
Bꢀ－2＋iꢀ
题型三实系数一元二次方程在复数范围内根的问题
已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
典例3
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
[分析]ꢀ解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件.
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0．
设另一个根为x，由根与系数的关系，得－1＋i＋x＝－2，22
∴x
2
＝－1－i.
把x
2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，∴x
2
＝－1－i是方程的另一个根.
[归纳提升]ꢀ(1)实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋b i(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－b i 是该方程的另一根.
(2)和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了.
【对点练习】❸ꢀ(1)方程x2＋6x＋13＝0的一个根是(ꢀꢀ)
Aꢀ
A．－3＋2iꢀꢀC．－2＋3iꢀꢀB．3＋2i D．2＋3i
(2)已知a，b∈R，且2＋a i，b＋i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，求p，q的值.
易错警示
误认为|z|2＝z2
ꢀ已知复数z满足条件z2－|z|－6＝0，求复数z.
典例4
[错解]ꢀ由z2－|z|－6＝0⇒(|z|－3)(|z|＋2)＝0．
因为|z|＋2≠0，所以|z|＝3．
则在复平面内以原点为圆心，3为半径的圆上的所有点对应的复数均符合要求.
[错因分析]ꢀ本题将复数z的模等同于实数的绝对值，误认为|z|2＝z2．
[误区警示]ꢀ设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i，|z|2＝a2＋b2，即z2≠|z|2，二者不可混淆.
【对点练习】❹ꢀ(2019·湖南省长沙市检测)已知复数z满足z＝－|z|，则z的实部(ꢀꢀ)Bꢀ
A．不小于0ꢀꢀC．大于0ꢀꢀB．不大于0 D．小于0。