2021届高考数学一轮基础过关训练23：正弦定理和余弦定理及其应用

1．已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶1∶3 B ．2∶2∶ 3 C ．1∶1∶2
D ．1∶1∶4
解析：选A.△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，所以A ＝π6，B ＝π6，C ＝2
3π，a ∶b ∶c ＝sin
A ∶sin
B ∶sin
C ＝12∶12∶3
2
＝1∶1∶ 3.
2．(2019·武汉调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b cos C ＝2a ＋c ，则B ＝( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.2π3
解析：选D.因为2b cos C ＝2a ＋c ，所以由正弦定理可得2sin B cos C ＝2sin A ＋sin C ＝2sin(B ＋C )＋sin C ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin C ，即2cos B sin C ＝－sin C ，又sin C ≠0，所以cos B ＝－1
2，又0<B <π，所以B ＝2π3
，故选D.
3．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 2
4
，则C ＝( )
A.π2
B.π3
C.π4
D.π6
解析：选C.根据题意及三角形的面积公式知1
2ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝
a 2＋
b 2－
c 22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π
4
.
4．(2019·江西赣州月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )
A. 2
B. 3
C.3
2
D ．2
解析：选C.因为A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得c ＝2，所以由正弦定理得S △ABC ＝12ac sin B ＝3
2
，故选C.
5．在△ABC 中，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C
1＋cos 2B
，则△ABC 的形状是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos C c cos B ，所以cos C cos B ＝b c 或cos C
cos B ＝0，即C ＝
90°或cos C cos B ＝b c .当C ＝90°时，△ABC 为直角三角形．当cos C cos B ＝b c 时，由正弦定理，得b c ＝sin B
sin C ，
所以cos C cos B ＝sin B
sin C ，即sin C cos C ＝sin B cos B ，即sin 2C ＝sin 2B .因为B ，C 均为△ABC 的内角，
所以2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°，所以B ＝C 或B ＋C ＝90°，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.
6．(2019·吉林四平质检)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边且∠A ＝60°，若S △ABC ＝332
且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长等于( )
A ．5＋7
B ．12
C ．10＋7
D ．5＋27
解析：选A.在△ABC 中，∠A ＝60°.因为2sin B ＝3sin C ，故由正弦定理可得2b ＝3c ，再由S △ABC ＝332＝1
2bc ·sin A ，可得bc ＝6，所以b ＝3，c ＝2.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos
A ＝7，所以a ＝7，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7，故选A.
7．(2019·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________．
解析：由正弦定理及3(a cos C －c cos A )＝b ，得3(sin A ·cos C －sin C cos A )＝sin B ，所以3sin(A －C )＝sin B ，由B ＝60°，得sin B ＝
32，所以sin(A －C )＝1
2
.又A －C ＝120°－2C ∈(－120°，120°)，所以A －C ＝30°，又A ＋C ＝120°，所以A ＝75°.
答案：75°
8．(2018·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．
解析：由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以bc ＝833，所以S △ABC
＝12bc sin A ＝12×833×12＝23
3
. 答案：233
9．(2019·山东菏泽模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B －c －b 2＝0，a 2＝72bc ，b >c ，则b
c
＝________． 解析：由a cos B －c －b 2＝0及正弦定理可得sin A cos B －sin C －sin B 2＝0.因为sin C ＝sin(A
＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以－sin B 2－cos A sin B ＝0，所以cos A ＝－1
2，即A ＝2π3.由余
弦定理得a 2＝72bc ＝b 2＋c 2＋bc ，即2b 2－5bc ＋2c 2＝0，又b >c ，所以b
c
＝2.
答案：2
10．(2019·昆明质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos C ＝1
4，c
＝3，且a cos A ＝b
cos B
，则△ABC 的面积等于________．
解析：因为
a cos A ＝
b cos B ，由正弦定理可知，sin A cos A ＝sin B cos B
⇒tan A ＝tan B ，则A ＝B ，所以△ABC 为等腰三角形，所以A ＋B ＋C ＝2B ＋C ＝π，得2B ＝π－C ，则cos 2B ＝－cos C ＝－
1
4＝1－2sin 2 B ，解得sin B ＝
104，cos B ＝64，tan B ＝153
. 因为AB ＝c ＝3，所以C 到AB 的距离h ＝AB 2×tan B ＝32×153＝15
2，所以△ABC 的面积
为12×AB ×h ＝315
4
. 答案：3154
11．在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－1
7.
(1)求∠A ；
(2)求AC 边上的高．
解：(1)在△ABC 中，因为cos B ＝－1
7，
所以sin B ＝1－cos 2B ＝43
7.
由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝3
2.
由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π
2.
所以∠A ＝π
3.
(2)在△ABC 中，
因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33
14，
所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝33
2
.
12．(2019·合肥质量检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos C ＝a cos 2B ＋b cos A cos B .
(1)求证：△ABC 是等腰三角形；
(2)若cos A ＝7
8
，且△ABC 的周长为5，求△ABC 的面积．
解：(1)证明：根据正弦定理及b cos C ＝a cos 2B ＋b cos A cos B ，可得sin B cos C ＝sin A cos 2B ＋sin B cos A cos B ＝cos B (sin A cos B ＋sin B cos A )＝cos B sin(A ＋B )，
即sin B cos C ＝cos B sin C ， 所以sin(B －C )＝0，
由B ，C ∈(0，π)，得B －C ∈(－π，π)， 故B ＝C ，所以△ABC 是等腰三角形．
(2)由(1)知b ＝c ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－a 22b 2＝7
8，得b ＝2a .
△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5a ＝5，得a ＝1，b ＝c ＝2. 故△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝1
2×2×2×
1－⎝⎛⎭⎫782＝154
.。