山西大学附属中学(部)数学高三上期末经典测试(培优练)

一、选择题
1．设,x y 满足约束条件 202300
x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩
，则4
6y x ++的取值范围是
A ．3[3,]7
- B ．[3,1]- C ．[4,1]
-
D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞
2．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65 B ．184 C ．183 D ．176
3．在ABC ∆中，2AC =
,BC =135ACB ∠=，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，
则CD =( ) A
B
C
D
4．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则
14
a b
+的最小值为（ ） A ．3
B ．
32
C ．2
D ．
52
5．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则10
5
S S 等于( ) A ．－3 B ．5
C ．33
D ．－31
6．若直线()10,0x y
a b a b
+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6
B ．8
C ．9
D ．10
7．已知,,a b R +∈且11
5a b a b
+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]
B ．[)2,+∞
C ．(2,4)
D ．(4,)+∞
8．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪≥⎩
则实数m 的最大值为
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．3
9．设实数,x y 满足242210
x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩
，则1
y x +的最大值是（ ）
A ．-1
B ．
1
2
C ．1
D ．
32
10．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22
a a a 成等差数列，则
8967a a a a +=+ A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
11．“0x >”是“1
2x x
+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．已知x 、y 满足约束条件50
{03
x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）
A ．6-
B ．5
C ．10
D ．10-
13．已知数列{}n a 中，(
)111,21,n n n
a a a n N S *
+==+∈为其前n 项和，5
S
的值为
（ ） A ．63
B ．61
C ．62
D ．57
14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201920200,0S S ><，对任意正整数n ，
都有n k a a ≥，则k 的值为( ) A ．1009
B ．1010
C ．1011
D ．1012
15．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =
，a =
7
cos 8
A =
，则ABC ∆的面积为（ ） A
B ．3
C
D
二、填空题
16．若首项为1a ，公比为q （1q ≠）的等比数列{}n a 满足2112
3
lim()2n n a q a a →∞-=+，则1a 的取值范围是________.
17．已知,x y 满足约束条件420y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为__________．
18．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-，其中0x >，若a 与b 共线，则
y
x
的最小值为
__________．
19．如图，在ABC 中，,43
C BC π
=
=时，点D 在边AC 上， AD DB =，
DE AB ⊥，E 为垂足若22DE =，则cos A =__________
20．已知函数()2x
f x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，
则
()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦___________.
21．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则
12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞
++
+=________________.
22．已知0,0a b >>，且20a b +=，则lg lg a b +的最大值为_____．
23．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________ 24．在数列{}n a 中，11a =，且{}n a 是公比为
1
3
的等比数列．设13521T n n a a a a -=+++
+，则lim n n T →∞
=__________．(*n ∈N ) 25．已知等差数列{}n a 的公差为()d d 0≠，前n 项和为n S ，且数列{
}
n S n +也为公差
为d 的等差数列，则d =______．
三、解答题
26．设数列{}n a 满足()*16
4
n n n a a n a +-=
∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭
是等比数列； （Ⅱ）令1
12
n n b a =-
-，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.
27．已知等差数列{}n a 的所有项和为150，且该数列前10项和为10，最后10项的和为
50.
（1）求数列{}n a 的项数；
（2）求212230a a a ++⋅⋅⋅+的值.
28．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21
n
n n S a S =-．
（1）求证：数列1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列； （2）证明：22
21274
n S S S ++
+<
． 29．已知函数221()
cos sin ,(0,)2
f x x x
x ．
（1）求()
f x 的单调递增区间；
（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．
30．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足231n n S a =-，其中n *∈N ． (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设23n
n n a b n n
=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 2．B 3．A 4．B 5．C 6．C 7．A
8．B
9．D
10．D
11．C
12．A
13．D
14．B
15．D
二、填空题
16．【解析】【分析】由题意可得且即且化简可得由不等式的性质可得的取值范围【详解】解：故有且化简可得且即故答案为：【点睛】本题考查数列极限以及不等式的性质属于中档题
17．10【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由得平移直线根据的几何意义求出最优解进而得到所求的最大值【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A时
18．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线
19．【解析】在△ABC中∵DE⊥ABDE=∴AD=∴BD=AD=∵AD=BD∴A=∠ABD∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A在△BCD中由正弦定理得即整理得cosA=
20．【解析】【分析】根据指数运算出再利用等差中项的性质得出并得出然后再利用等差数列的性质和指数对数的运算法则求出的值【详解】依题意有且则而因此故答案为【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算同时也考查了等
21．【解析】【分析】求出数列的公比并得出等比数列的公比与首项然后利用等比数列求和公式求出即可计算出所求极限值【详解】由已知所以数列是首项为公比为的等比数列故答案为【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时
22．【解析】【分析】由为定值运用均值不等式求的最大值即可【详解】当且仅当时等号成立即而当且仅当时等号成立故的最大值为2故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值对数的运算属于中档题
23．【解析】【分析】构造函数通过讨论其单调性即解析不等式的性质【详解】函数是定义在上的单调增函数若则即即故答案为：【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求
24．【解析】【分析】构造新数列计算前n项和计算极限即可【详解】构造新数列该数列首项为1公比为则而故【点睛】本道题考查了极限计算方法和等比数列前n项和属于中等难度的题目
25．【解析】【分析】表示出再表示出整理并观察等式列方程组即可求解【详解】等差数列的公差为前项和为设其首项为则=又数列也为公差为的等差数列首项为所以=即：整理得：上式对任意正整数n成立则解得：【点睛】本题
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
先作可行域，而
4
6
y
x
+
+
表示两点P（x,y）与A（-6,-4）连线的斜率，所以
4
6
y
x
+
+
的取值范围
是[,][3,1]
AD AC
k k=-，选B.
点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
2．B
解析：B 【解析】
分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：
81187
8828179962
S a d a ⨯=+
=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
先由余弦定理得到AB 边的长度，再由等面积法可得到结果. 【详解】
根据余弦定理得到2222
22
AC BC AB AC BC +-=-⨯⨯将2AC =,22BC =,代入等式得到
AB=5
再由等面积法得到11225
252222225
CD CD ⨯⨯=⨯⨯⨯⇒=
故答案为A. 【点睛】
这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及
2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用
正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】
作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．
1411414143
()()(5)(5)6662
b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b =
=时等号成立，即14a b
+的最小值为3
2． 故选：B. 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出10
5
S S . 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则
()(
)
6
163
6333111119111a q S q q q S q
a q q
---===+=---，得2q ，
因此，()(
)
10
11055
10555111111233111a q S q q q S q a q
q
---===+=+=---，故选C. 【点睛】
本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：
（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；
（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．
6．C
解析：C 【解析】 【详解】 因为直线
()10,0x y
a b a b
+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,
因此
114(4)(+)5+59b a a b a b a b +=+≥+= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选
C.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
7．A
解析：A 【解析】
分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得
()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛
⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭
，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，可得()214ab a b ≥+，
又11
5a b a b
++
+=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛
⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭
， 化为()()2
540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.
点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m 的最大值. 【详解】
不等式组表示的平面区域如下图所示，
由2230y x x y =⎧⎨--=⎩，得：1
2x y =-⎧⎨=-⎩，
即C 点坐标为（－1，－2），
平移直线x ＝m ，移到C 点或C 点的左边时，直线2y x =上存在点(,)x y 在平面区域内， 所以，m ≤－1， 即实数m 的最大值为－1.
本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
由约束条件确定可行域，由1
y x
+的几何意义，即可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率求得答案． 【详解】
由约束条件242210x y x y x -≤⎧⎪
+≤⎨⎪-≥⎩
，作出可行域如图，
联立10
220x x y -=⎧⎨
+-=⎩，解得A （1
12
，），
1
y x
+的几何意义为可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率， 由图可知，
11
3212
PA
k +==
最大．
故答案为32
． 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．
10．D
解析：D 【解析】
设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得． 【详解】
设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0）
由题意可得3121
2322
a a a ⨯
=+， 即q 2-2q-3=0， 解得q=-1（舍去），或q=3，
故()2
672896767
9a a q
a a q a a a a ．++===++ 故选：D ． 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．
11．C
解析：C 【解析】
先考虑充分性,当x>0时，12x x +≥=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性，当1
2x x
+
≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
作出不等式50
{03
x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，
作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍， 联立3{
x x y =+=，解得3{
3
x y ==-，结合图象知，
当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A. 考点：线性规划
13．D
解析：D 【解析】
解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：
1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，
分组求和有：(
)5
521255712
S ⨯-=-=- .
本题选择D 选项.
14．B
解析：B 【解析】 【分析】
结合前n 项和公式: 1201912020102092202019()2020()
,22
S a a a S a ++=
=，再利用等差数列的
性质，12019101012020101010112,a a a a a a a +=+=+，得到101010110,0a a ><，分析即得解. 【详解】
由等差数列{}n a ，可得0120229019112022002019()2020()
0,022
S a a a a S ++=
>=<
即：12019120200,0a a a a +>+<，可得：10101010101120,0a a a >+<
101010110,0a a ∴><，可得等差数列{}n a 为递减数列. 又10101011101010110||||a a a a +<∴
< 故：对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为1010. 故选：B 【点睛】
本题考查了等差数列的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
15．D
解析：D 【解析】 【分析】
三角形的面积公式为1
sin 2
ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】
解：在ABC ∆中，2227
cos 28b c a A bc +-==
将2b c =，a =222
467
48
c c c +-=， 解得：2c =
由7cos 8A =得sin 8A ==
所以，11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=
故选D. 【点睛】
三角形的面积公式常见形式有两种：一是
12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助1
2
（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1
sin 2
bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.
二、填空题
16．【解析】【分析】由题意可得且即且化简可得由不等式的性质可得的取值范围【详解】解：故有且化简可得且即故答案为：【点睛】本题考查数列极限以及不等式的性质属于中档题
解析：33
(0,)(,3)22
【解析】 【分析】
由题意可得1q <且0q ≠，即11q -<<且0q ≠，
211232a a a =+，化简可得133
22
a q =+由不等式的性质可得1a 的取值范围. 【详解】
解：21123
lim()2n n a q a a →∞-=+ 2112
3lim 2n a a a →∞∴=+，lim 0n
n q →∞= 故有11q -<<且0q ≠，
21123
2
a a a =+ 化简可得13322
a q =
+ 103a ∴<<且132
a ≠
即133(0,)
(,3)22a ∈ 故答案为：33(0,)(,3)2
2
【点睛】
本题考查数列极限以及不等式的性质，属于中档题.
17．10【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由得平移直线根据的几何意义求出最优解进而得到所求的最大值【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示由得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A 时
解析：10 【解析】 【分析】
画出不等式组表示的可行域，由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，根据z 的几何意义求出最优解，进而得到所求的最大值．
【详解】
画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．
由2z x y =+得2y x z =-+．
平移直线2y x z =-+，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值．
由40
2x y y +-=⎧⎨=-⎩
，解得62x y =⎧⎨=-⎩，
故点A 的坐标为(6,2)-，
所以max 26210z =⨯-=． 故答案为10． 【点睛】
用线性规划求目标函数的最值体现了数形结合在数学中的应用，解题时要先判断出目标函数中z 的几何意义，然后再结合图形求解，常见的类型有截距型、斜率型和距离型三种，其中解题的关键是正确画出不等式组表示的可行域．
18．【解析】【分析】根据两个向量平行的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利用基本不等式求得其最小值得到结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最小值为【点睛】该题考查的是有关向量共线 解析：2【解析】 【分析】
根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2
y x x x
=+，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】
∵()1,a x =， (),2b x y =-，其中0x >，且a 与b 共线 ∴()12y x x ⨯-=⋅，即2
2y x =+
∴222
22y x x x x x
+==+≥，当且仅当2x x =即2x =时取等号
∴
y
x
的最小值为 【点睛】
该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，利用基本不等式求最值，属于简单题目.
19．【解析】在△ABC 中∵DE ⊥ABDE=∴AD=∴BD=AD=∵AD=BD ∴A=∠ABD ∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A 在△BCD 中由正弦定理得即整理得cosA=
【解析】
在△ABC 中，∵DE ⊥AB ，DE
=，∴AD
=sin A
, ∴BD =AD
=
sin A
． ∵AD =BD ，∴A =∠ABD ， ∴∠BDC =∠A +∠ABD =2∠A ， 在△BCD 中，由正弦定理得
sin sin BD BC
C BDC
=
∠ ，
4sin 2A =
，整理得cosA
=4 . 20．【解析】【分析】根据指数运算出再利用等差中项的性质得出并得出然后
再利用等差数列的性质和指数对数的运算法则求出的值【详解】依题意有且则而因此故答案为【点睛】本题考查等差数列基本性质的计算同时也考查了等 解析：6-
【解析】 【分析】
根据指数运算出2468102a a a a a ++++=，再利用等差中项的性质得出62
5
a =
，并得出568
25
a a =-=-，然后再利用等差数列的性质和指数、对数的运算法则求出
()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅
⋅⎡⎤⎣⎦的值.
【详解】
依题意有246810625a a a a a a ++++==，625a ∴=，且5628
2255
a a =-=-=-. 则()()()110123101105610825556255a a a a a a a a a a +⎛⎫
+++
+==+=+=⨯-+=- ⎪⎝⎭
，
而()()()()12310
61231022a a a a f a f a f a f a +++
+-⋅⋅⋅⋅==，
因此，()()()()6
2123102log log 26f a f a f a f a -⋅⋅⋅⋅==-⎡⎤⎣⎦.
故答案为6-. 【点睛】
本题考查等差数列基本性质的计算，同时也考查了等差数列的定义以及指数、对数的运算，解题时充分利用等差中项的性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题.
21．【解析】【分析】求出数列的公比并得出等比数列的公比与首项然后利用等比数列求和公式求出即可计算出所求极限值【详解】由已知所以数列是首项为公比为的等比数列故答案为【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时
解析：
32
3
【解析】 【分析】 求出数列{}n a 的公比，并得出等比数列{}1n n a a +的公比与首项，然后利用等比数列求和公式求出12231n n a a a a a a ++++，即可计算出所求极限值.
【详解】 由已知321
2a q a =
=，23112()()22
n n n a --=⨯=，3225211111
()()()2()2224
n n n n n n a a ----+=⋅==⋅，所以数列{}1n n a a +是首项为128a a =，公
比为1
'4
q =
的等比数列， 11223118[(1()]
3214[1()]13414n n n n a a a a a a -+-+++==--，
1223132132
lim ()lim [1()]343
n n n n n a a a a a a +→+∞→∞+++=-=. 故答案为323
. 【点睛】
本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了利用定义判定等比数列、等比数列求和以及数列极限的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
22．【解析】【分析】由为定值运用均值不等式求的最大值即可【详解】当且仅当时等号成立即而当且仅当时等号成立故的最大值为2故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值对数的运算属于中档题 解析：2
【解析】 【分析】
由0,0a b >>，20a b +=为定值，运用均值不等式求ab 的最大值即可. 【详解】
0,0a b ∴>>,20a b +=,
20a b ∴=+≥当且仅当10a b ==时，等号成立，
即100ab ≤，
而lg lg lg lg1002a b ab +=≤=，当且仅当10a b ==时，等号成立， 故lg lg a b +的最大值为2， 故答案为：2 【点睛】
本题主要考查了基本不等值求积的最大值，对数的运算，属于中档题.
23．【解析】【分析】构造函数通过讨论其单调性即解析不等式的性质【详解】函数是定义在上的单调增函数若则即即故答案为：【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求 解析：x c -
【解析】 【分析】
构造函数()f x x c =-，通过讨论其单调性即解析不等式的性质． 【详解】
函数()f x x c =-，是定义在R 上的单调增函数， 若a c b c +>+，
则()()f a c f b c +>+，即a c c b c c +->+-， 即a b >． 故答案为：x c - 【点睛】
此题考查利用函数单调性解析不等式的性质，利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求解．
24．【解析】【分析】构造新数列计算前n 项和计算极限即可【详解】构造新数列该数列首项为1公比为则而故【点睛】本道题考查了极限计算方法和等比数列前n 项和属于中等难度的题目
解析：9
lim 8
n n T →∞=
【解析】 【分析】
构造新数列{}21n a -，计算前n 项和，计算极限，即可。

【详解】
构造新数列{}21n a -，该数列首项为1，公比为
19
， 则()
111119*********
n n
n n
a q T q
⎛⎫⎛⎫⋅- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭=
==- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-
而1lim 09n
n →+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭
，故9lim 8n n T →+∞=
【点睛】
本道题考查了极限计算方法和等比数列前n 项和，属于中等难度的题目。

25．【解析】【分析】表示出再表示出整理并观察等式列方程组即可求解【详解】等差数列的公差为前项和为设其首项为则=又数列也为公差为的等差数列首项为所以=即：整理得：上式对任意正整数n 成立则解得：【点睛】本题 解析：
12
【解析】 【分析】
表示出n S
【详解】
等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，设其首项为1a ， 则n S =()112
n n na d -+，
又数列
也为公差为d
=
()1n d -
()1n d =
-
=
上式对任意正整数n
成立，
则)
2
120122d d d d
a d d
⎧=⎪=⎪-+=⎪⎩
，解得：12d =，134a =- 【点睛】
本题主要考查了等差数列的前n 项和及通项公式，考查了方程思想及转化思想、观察能力，属于中档题．
三、解答题
26．
（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）6
【解析】
【分析】 （Ⅰ）由递推公式凑出1132n n a a ++--与32
n n a a --的关系，即可得证 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得2111222
n n n n n a b a a --=-==--，即可得到{}(21)n n b -⋅的通项公式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解.
【详解】 解：（Ⅰ）()*164n n n a a n a +-=∈-N 1163346224
n n n n n n a a a a a a ++----∴=---- 6312628n n n n a a a a --+=
--+ 2(3)(2)
n n a a --=-- 32
2n n a a -=- 32n n a a ⎧⎫-∴⎨⎬-⎩⎭
是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，322
n n n a a -=-， 即2111222
n n n n n a b a a --=-==--， 21212n n n b n ∴-⋅=-⋅（）（）
123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅①
23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②，
①减②得
1
1231142S 122(22...2)(21)222(21)212
n n n n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅-
1(32)26n n +=-⋅-.
1S (23)26n n n +∴=-⋅+
2111S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>（），
S n ∴单调递增.
76S 92611582019=⨯+=<，
87S 112628222019=⨯+=>.
故使S 2019n <成立的最大自然数6n =.
【点睛】
本题考查利用递推公式证明函数是等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题. 27．
（1）50；（2）30
【解析】
【分析】
(1)根据条件结合等差数列的性质可得16n a a +=,再根据{}n a 的所有项和为150,即可求出项数n 的值;
(2)根据(1)求出{}n a 的首项1a 和公差d ,然后将212230a a a ++⋅⋅⋅+用1a 和d 表示,再求出其值.
【详解】
解:(1)由题意,得1231010a a a a +++⋅⋅⋅+=,12950n n n n a a a a ---+++⋅⋅⋅+=,
∴()()()()1213210960n n n n a a a a a a a a ---++++++⋅⋅⋅++=,
根据等差数列性质,可知12132109n n n n a a a a a a a a ---+=+=+=⋅⋅⋅=+,
∴()11060n a a +=,∴16n a a +=,
又{}n a 的所有项和为150,∴()11502
n n a a +=, ∴50n =,即数列{}n a 的项数为50.
(2)由(1)知,1501610910102a a a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,即112496292a d a d +=⎧⎨+=⎩,∴11120110a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
, ∴()2122233021305a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+
()15249a d =+11152492010⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝
⎭30=. 【点睛】
本题考查了等差数列的性质和前n 项和公式,考查了转化思想和方程思想,属基中档题. 28．
(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）当n ≥2时，S n ﹣S n ﹣121
n n S S =-⇒S n ﹣S n ﹣1＝S n •S n ﹣1（n ≥2），取倒数，可得111n n S S --=1，利用等差数列的定义即可证得：数列{1n
S }是等差数列； （2）利用222111111211n S n n n n ⎛⎫=
<=- ⎪--+⎝⎭
进行放缩并裂项求和即可证明 【详解】
（1）当2n ≥时，211n n n n S S S S --=-， 11n n n n S S S S ---=，即
1111n n S S --= 从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
构成以1为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）可知，
()11111n n n S S =+-⨯=，1n S n ∴=． 则当2n ≥时222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭
． 故当2n ≥时22212111111111123224211n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 1111137111221224
n n ⎛⎫=++--<+⋅= ⎪+⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<满足题意，故2221274n S S S +++<． 法二：则当2n ≥时22211111n S n n n n n =
<=---， 那么222121111111717142334144n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+
+-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
又当1n =时，21714S =<，当时，21714
S =<满足题意， 【点睛】
本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查，属于难题．
29．
（1）,2；（2
【解析】
【分析】
（1）利用降次公式化简()f x ，然后利用三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间.
（2）由()0f A =求得A ，用余弦定理求得c ，由此求得三角形ABC 的面积.
【详解】
（1）依题意2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x ，由
2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -
≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2
. （2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2
A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33
A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.
当2c =时，222cos 0238
a c
b B a
c +-==-<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.
所以三角形ABC 的面积为
11sin 5322bc A =⨯⨯= 【点睛】
本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题. 30．
(1)()1=3n n a n N -*
∈ ；(2)31n n + ． 【解析】 【分析】
（1）由31=22n n S a -可得113122
n n S a --=-，两式相减可化为()132n n a a n -=≥从而判断出{}n a 是等比数列，进而求出数列{}n a 的通项公式；（2）利用（1），化简可得231131n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
，利用裂项求和法求解即可. 【详解】 (1)()
*31=22n n S a n N -∈∵， ①
当11311,22n S a ==-，∴11a =， 当2n ≥，∵113122n n S a --=-， ② ①-②：13322n n n a a a -=
-，即：()132n n a a n -=≥ 又
， 对都成立，所以是等比数列，
（2）
【点睛】
本题主要考查等比数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
；（2） n k n ++ 1n k n k =+； （3）()()1
111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.。