计算结构动力学

《计算结构动力学》
课程论文
专业：工程力学
姓名：周超
学号：131310040034
任课教师：钱向东
《计算结构动力学》课程报告
（工程力学周超 131310040034）
本学期我们学了《计算结构动力学》这门课，结构动力学是研究结构体系的动力特性，及其在动力荷载作用下动力响应分析原理和方法的一门技术学科。

该学科的根本目的在于为改善工程结构系统在动力环境中的安全和可靠性提供坚实的理论基础。

1、结构动力学计算的目的和内容
结构动力分析要解决的问题有：地震作用下建筑结构、桥梁、大坝的振动；风荷载作用下大型桥梁、高层结构的震动；机器转动产生的不平衡力引起的大型机器基础的振动；车辆运行中由于路面不平顺引起的车辆振动及车辆引起的路面振动；爆炸荷载作用下防护工事的冲击动力反应等等，量大而面广。

结构动力学的内容之一是研究结构的动力响应。

所谓动力响应是指结构在广义动力荷载作用下的结构位移和内力响应，而广义动力荷载包括动力激励和动位移激励。

动力荷载指荷载的大小和方向(有时包括作用位置)随时间而变化的荷载。

在动力荷载的作用下，结构的位移和内力随时间而不断变化，并且结构产生振动速度和加速度。

2、结构动力问题的特点
动是绝对的，静是相对的。

区别在于计算中是否考虑惯性力，由振动引起的内力和位移称动内力和动位移，它们不仅是位置而且是时间的函数。

以下叙述三个不同点：
一、由于结构动力问题中的荷载随时间变化，所以而必须建立相应于响应历程中的全部时间的一系列解答。

二、如果梁仅承受静力荷载，则它的内力和位移仅仅依赖于给定的外荷载，其平衡关系是外力和恢复力之间的平衡。

但是，如果结构作用动力荷载，则梁所产生的位移和加速度有关，这些加速度产生与其反向的惯性力，于是梁的恢复力不仅要平衡外加动力荷载，还要平衡加速度引起的惯性力。

三、动力问题中结构响应的大小，与荷载的大小和荷载随时间的变化过程有关，如果荷载的于扰频率接近结构的固有频率，尽管荷载的幅值不大，也会引起
结构很大的振动响应即共振。

3、结构动力问题的分类
一般可以将动力荷载分为确定性荷载和非确定性荷载。

确定性荷载的变化规律是完全确定的，无论是周期的还是非周期的，它们均可以用确定性的函数来表达。

常见的确定性荷载有:简谐荷载、周期荷载、冲击荷载和持续长时间的非周期荷载。

非确定性荷载又称为随机荷载，它随时间的变化规律是预先不可以确定的，而是一种随机过程，例如，地震荷载、风荷载和作用在船舶与海洋结构物上的波浪力等。

随机过程虽然不可以表示为时间的确定性函数，但是它们受统计规律的制约，需要用概率统计的方法来研究随机荷载作用下结构振动。

综上所述，可以将结构的动力问题划分为:
1.线性确定性振动，即结构自身是线性的并且承受线性荷载的作用
2.线性随机振动，即结构自身为线性的，荷载为随机的
3.非线性确定振动，即结构系统自身性质或者荷载为非线性的
4.非线性随机振动，即结构系统自身性质为非线性的而荷载为随机的，或者为非线性随机荷载
4.结构系统的动力自由度及其离散
动力问题的特点之一是要考虑结构体系的惯性力，所以在确定计算简图时，必须明确系统的质量分布及其可能发生的位移，以便全面合理地确定系统的惯性力。

系统振动时，确定任一时刻全部质量位移所需要的独立的几何参变量的数目，称为结构系统的动力自由度。

要准确地描述系统的惯性力，合理地选择动力自由度是十分重要的。

一切结构系统都具有分布质量，因而都是无限自由度系统。

但是除了某些简单的结构可以作为无限自由度处理以外，大多数的工程结构作为无限自由度计算将是极其困难的。

在结构动力计算时，为了避免过于繁杂和数学上的困难，一般将结构处理为有限自由度系统，这一过程称为结构系统的离散。

5.建立运动方程的方法
结构动力分析的目的是求出动荷载作用下结构的动位移和动内力，并研究它们随时间的响应历程。

在大多数情况下，应用包含有限个自由度的近似分析方法，
就足够精确了。

这样，问题就变为求出这些选定位移分量的时间历程。

描述结构系统动力位移的数学表达式称为结构的运动方程，而这些运动方程的解就提供了所求的位移历程。

建立振动系统的运动方程有多种方法，但不管采用何种方法建立运动方程，其结果都是一致的。

1）利用达朗贝尔(d'Alernbert)原理的直接平衡法
任何动力体系的运动方程都可代表牛顿的第二运动定律，即任何质量m 的动量变化率等于作用在这个质量上的力。

这个关系在数学上可用微分方程来表达，即
))
(()(dt
t dy m dt d t P =
（1-3） 对于大多数的结构动力学问题，可以认为质量是不随时间变化的，这时方程(1-3)可改写为:
)()
()(..2
2t y m dt
t y d m t P == （1-4） 2）虚位移原理建立振动方程
如果结构体系相当复杂，而且包含许多彼此联系的质量点或有限尺寸的质量块，则直接写出作用于体系上所有力的平衡方程可能是困难的。

但是在某些情况下，结构系统上的力可以方便地用位移自由度来表示，而它们的平衡规律则可能是不清楚的。

此时，虚位移原理就可用来代替平衡规律建立方程。

虚位移原理可表述如下:如果一个平衡体系在一组力的作用下发生虚位移，即体系约束所允许的任何微小位移，则这些力所作的总功将等于零。

按这个原理，在虚位移土所作的总功为零，是和作用于系统上的力的平衡是等价的。

因此，在建立振动系统的运动方程时，首先对于质虽施加包括惯性力在内的所有的力，然后引人相应于每个自由度的虚位移，并使所作的虚功等于零，这样即可以得到运动方程。

此种方法的优点是:虚功为标量，可以按照代数规则计算，从而避免复杂的矢量计算。

3）哈密顿(Hamilton)原理建立振动方程
采用哈密顿原理建.立振动方程，也可以避免矢量的运算。

哈密顿原理可以表达为：
0)(2
1
2
1
=+-⎰⎰
dt W dt V T t t c t t δδ
哈密顿原理说明:在任何时间区间t 1到t 2内，动能和位能的变分加上所考虑的非保守力所做的功的变分必须等于零。

这个原理的应用直接导出任何给定系统的运动方程。

这个方法和虚功原理方法的区别在于:在这个方法中，不明显使用惯性力和弹性力，而分别被动能和位能的变分项所代替。

因此，这种建立运动方程的方法的优点是，它只和纯粹的标量即能量有关，而在虚功分析中，被用来计算功的力和位移却都是矢量。

需要指出的是，根据哈密顿原理可以导出拉格朗日第二类方程。

6、动力微分方程求解 6.1振型迭加法
按照有限单元法的一般规则, 经过边界条件的约束处理, 结构在强迫振动时多自由度体系的运动平衡方程可以表示为:
MU CU KU R ++= （1）
其中, M 是体系的质量矩阵, C 是体系的阻尼矩阵, 而K 则是刚度矩阵. R 为外荷载向量. U 、U 和U 则分别是体系单元节点的位移、速度和加速度向量. 上述动力平衡方程实质上是与加速度有关的惯性力MU 和与速度有关的阻尼力
CU 及与位移有关的弹性力KU 在时刻t 与荷载的静力平衡。

振型叠加法是把多自由度体系的结构的整体振动分解为与振型次数相对应的单自由度体系, 求得各个单自由度体系的动力响应后, 再进行叠加得出结构整体响应. 振型叠加法原理是利用结构无阻尼自由振动的振型矩阵作为变换矩阵, 将结构动力方程式(1)式变换成一组非耦合的微分方程. 逐个地求解这些方程后, 将解叠加即可得到动力方程的解。

将体系单元节点的位移向量表示为如下的变换形式：
()()U t X t =Φ （2）
式中的变换矩阵Φ是由动力方程对应的无阻尼自由振动方程解出的前m 阶
振型矩阵.即12[...]m φφ
φΦ=;()X t 是与时间有关的m 阶向量, X 的各分量称为广义位移。

将式（2）代入动力方程（1）并左乘以T
Φ，则可得广义位移为未知数的方程：
()()()()MX t CX t KX t R t ++=
（3）
式中
T M M =ΦΦ，T
C C =ΦΦ，T K K =ΦΦ，T R R =Φ （4）
现在进一步考察式（4） . 考虑到特征向量的正交性, 可得
T M I ΦΦ=，T K ΦΦ=Λ （5）
于是对应于振型的广义位移的平衡方程( 3) 可改写为
()()()()T T X t C X t X t R t +ΦΦ+Λ=Φ （6）
其中，Λ为特征值
212
22
2
(i)
m ωωωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （7）
将式( 2) 稍加运算可得广义位移用有限元位移表示的形式
T X MU =Φ （8）
在( 6) 式中, 当忽略了阻尼的影响, 平衡方程为互不耦合的, 可以对每个方程逐个地进行时间积分. 出于相同的考虑, 在对有阻尼的体系进行分析时仍然希望采用相同的计算过程去求解互不耦合的平衡方程式. 问题是式(6)中的阻尼阵C 通常不能象体系的质量阵和刚度阵那样由单元的刚度阵和质量阵装配而成. 但当假定阻尼与固有频率成比例,即假定
2T i j i i ij C φφωξδ= （9）
式中，i ξ
是振型阻尼参数;
ij
δ是Kronecker 符号( 当i j =时，ij δ
= 1.当i j
≠
时,
ij
δ= 0) 。

这时式(6) 可简化为如下形式的若干个方程式
2
()2()()()i i i i i i x t x t x t r t ωξω++= （10）
其中()i x t 的初始条件为下式
T i
t i x MU φ==，
T i
t i x MU φ== （11）
式（10）表示了一个具有单位质量，刚度为2
i ω的自由度体系当阻尼比为i ξ时
的运动平衡控制方程。

这个平衡方程的求解可通过计算Duhamel 积分求得。

()
()01
()()sin (sin cos )
t
i i i i t
t i i
i i i i i i
x t r t e
t d e
t t ξωτξωωτταωβωω---=
-++⎰（12）
式中
2
1i i i ωωξ=- （13）
当利用式( 9) 来考虑阻尼的影响时意味着假设结构的总阻尼是每个振型的阻尼之和， 而每个振型上的阻尼是能够量测的，况且在大多数情况下结构的阻尼比更易于量测。

因而便于用来近似地反映结构体系的阻尼特性。

同时在计算上也避免计算阻尼阵而只需计算刚度阵和质量阵。

积分递推公式
对以上方程式( 10) ，考虑某一模态的振动, 并略去下标i 可写为
2()2()()()x t x t x t r t ωξω++= （14）
在初始条件
t t x
x ==，
t t x
x == （15）
下的定解为
()
()()0000()[sin cos ]t t x t e
t t t t x ξωξω
ωωω--=-+-∙
()()()()00
0011sin ()sin t
t t t t e t t x r e t d ξωξωτωτωττωω----+-∙+-⎰ （16）
式中，
2
1ωωξ=-，将上式对时间求导，得
()
()022
00
()[sin ]t t x t e t t x ξωξωωωω--⎛⎫-=--∙ ⎪⎝⎭
()
()()0000
[cos sin ]t t e
t t t t x ξωξω
ωωω--+---∙
()
()()0
1
()[sin cos ]t
t t r e t t d ξωττξωωτωωττω
--+
--+-⎰
6.2 Newmark 法
直接积分法：
234111
()()()()()()26
n n n n n x t x t t x t t x t t x t O t +=+∆⋅+
∆+∆+∆（1）
2
311()()()()()
2n n n n x t x t t x t t x t O t +=+∆⋅+∆+∆.
.
..
(2)
21()()()()
n n n x t x t t x t O t +=+∆⋅+∆.......
（3）
将（3）代入（1），（2）得：
1()()
()()
n n n x t x t x t O t t
+-=+∆∆....
...
22411()()()()()()
36n n n n n t t x t x t t x t x t x t O t ++∆∆=+∆+++∆.
....
311()()()()()
22n n n n t t x t x t x t x t O t ++∆∆=+++∆.
.
....
1、可以直接略去高阶项
2、用变权来调节
2111
[(
)]2n n n n n x x tx x x t ββ++=+∆+-+∆
11[(1)]n n n n x x x x t
γγ++=+-+∆
然后假设在
1n t +时刻近似满足运动方程
1111
n n n n M x Cx Kx F ++++++=
通过变换将速度和加速度用位移表示，代入运动方程，只剩n+1时刻位移一
个未知数，得
11
n n K x Q -
++=
参数不同选取包含着三个经典算法
（1）Newmark 平均加速度法
12γ=
，1
4β=
（2）Newmark 线加速度法
12γ=
，16β=
（3）中心差分法
1
2γ=
，0β=
Newmark 法的一般步骤： 1、初始值计算
（1）形成系统矩阵K ，M 和C （2）定初始值0x ，0x .
和0x ..
（3）选择时间步长t ∆，参数γ、β。

并计算积分常数:
021a t β=
∆，1a t γβ=∆ 3112a β=-，41a γβ=-，5
(2)2t a γ
β∆=-，6
(1)a t γ=∆-，7a t γ=∆
（4）形成等效刚度矩阵K -
01K K a M a C -
=++
（5）K -
矩阵进行三角分解
T
K LDL -
=
2、对每一时间步
（1）计算t t +∆时刻的等效载荷
623145()()
t t t t t t t t t Q Q M a x a x a x C a x a x a x -+∆=++++++......
（2）求解t t +∆时刻的位移
()T
t t t t
LDL x Q -
+∆+∆=
（3）计算t t +∆时刻的加速度和速度
023()t t t t
t t t x a x x a x a x +∆+∆=---.....
......
67t t t t t t
x x a x a x +∆+∆=++
Wilson-θ法的一般步骤： 1、初始值计算
（1）形成系统矩阵K ，M 和C
（2）定初始值
0x ，
.
x ，
..
0x 。

（3）选择时间步长，并计算积分常数
1.4θ=，026()a t θ=∆，13a t θ=∆，212a a =，32t a θ∆=，04a a θ=，25a a θ-=，631a θ=-，
72t a ∆=，286t a ∆=。

（4）形成等效刚度K -
01K K a M a C
-
=++
（5）将等效刚度进行三角分解
T K LD L -
= 2、对每一个时间步长
（1）计算t t +∆时刻的等效载荷
......
0213()(2)(2)t t t t t t t t t t t t R Q Q Q M a x a x x C a x x a x θθ-+∆+∆=+-++++++
（2）求解t t θ+∆时刻的位移 ()T t t t t LDL x R θθ-
+∆+∆=
（3）计算在t t +∆时刻的加速度、速度和位移
.....
456()t t t t t t t x a x x a x a x θ+∆+∆=-++7()
t t t t t t x x a x x +∆+∆=++8()t t t t t t t x x tx a x x +∆+∆=+∆++
7、学习体会
经过这学期的学习，我对结构动力分析有了整体的了解。

计算结构动力学论述了结构动力特性和响应的一般性原理和方法，对许多工程应用和计算机程序中常用的方法作了全面的介绍。

计算结构动力学与其他力学课程相辅相成，实际工程中的有很多复杂问题，计算出来的结果不一定能满足所有实际应用的要求。

所以我们要重视这门学科，争取在此基础上进一步提高。