2018年高考数学文科山东专版二轮复习与策略习题 专题1

专题限时集训(十五) 函数与方程
[A 组 高考达标]
一、选择题
1．(2016·泰安一模)函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B.(1,2) C ．(2,3)
D.(3,4)
C [由于函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＋18＞0，故函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在区间(2,3)上有唯一的零点．]
2．(2016·张掖一模)已知函数f (x )＝e x ＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝x －14x 的零点
依次为a ，b ，c ，则( )
A ．c ＜b ＜a B.a ＜b ＜c C ．c ＜a ＜b
D.b ＜a ＜c
B [由f (x )＝0得e x ＝－x ，由g (x )＝0得ln x ＝－x .由h (x )＝0得x ＝1，即c ＝1.
在坐标系中，分别作出函数y ＝e x ，y ＝－x ，y ＝ln x 的图象， 由图象可知a ＜0,0＜b ＜1，所以a ＜b ＜c .]
3．(2016·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2
＋2x ，x ≤0，
|lg x |，x ＞0，
则函数g (x )＝f (1－x )－1
的零点个数为( )
A ．1 B.2 C.3
D.4
C [g (x )＝f (1－x )－1
＝⎩⎨⎧
(1－x )2
＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg (1－x )|－1，1－x ＞0 ＝⎩
⎨⎧
x 2
－4x ＋2，x ≥1，|lg (1－x )|－1，x ＜1， 当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x ＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.]
4．(2016·山东实验中学模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎨⎧
e x
＋a ，x ≤0，
3x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数
f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1) B.(－∞，0) C ．(－1,0)
D.[－1,0)
D [当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝1
3，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D.]
5．(2016·安庆二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
，x ＞1，
9x (1－x )2，x ≤1.若函数g (x )＝f (x )－k 仅
有一个零点，则k 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤
43，2 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
43，2
D [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
，x ＞1，
9x (1－x )2，x ≤1，
函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，即f (x )
＝k 只有一个解，在平面直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
43，2，故选D.]
二、填空题
6．(2016·济南模拟)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪
⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实
数a 的取值范围是________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(x －1)2
－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3,4]上的图象，如图．
由题意知方程a ＝f (x )在[－3,4]上有10个不同的根． 由图可知a ∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12.]
7．(2016·西安模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为
________．
10 [问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的
和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.]
8．(2016·南宁二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
－2，x ＞0，
－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－
1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．
【导学号：73552064】
3 [依题意得⎩⎨⎧ c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧
b ＝－4，
c ＝－2，令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎨⎧ x ＞0，－2＋x ＝0，或②⎩⎨⎧
x ≤0，
－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得
x ＝－1或x ＝－2，因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.]
三、解答题
9．已知f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；
(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，
f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x －6，x ≥1
2，
－x －4，x ＜1
2.2分
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥12，
3x －6≥0，
解得x ≥2；由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＜12
，
－x －4≥0，
解得x ≤－4.
所以f (x )≥0的解集为{x |x ≥2或x ≤－4}. 6分
(2)由f (x )＝0， 得|2x －1|＝－ax ＋5.
作出y ＝|2x －1|和y ＝－ax ＋5的图象，10分
观察可以知道，当－2＜a ＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y ＝f (x )有两个不同的零点．
故a 的取值范围是(－2,2). 12分
10．(名师押题)已知函数f n (x )＝x ln x －x 2
n (n ∈N *，e ＝2.718 28…为自然对数的底数)．
(1)求曲线y ＝f 1(x )在点(1，f 1(1))处的切线方程； (2)讨论函数f n (x )的零点个数． [解] (1)因为f 1(x )＝x ln x －x 2， 所以f 1′(x )＝ln x ＋1－2x ， 所以f 1′(1)＝1－2＝－1.
又f 1(1)＝－1，所以曲线y ＝f 1(x )在点(1，f 1(1))处的切线方程为y ＋1＝－(x －1)，即y ＝－x . 4分
(2)令f n (x )＝0，得x ln x －x 2
n ＝0(n ∈N *，x ＞0)， 所以n ln x －x ＝0.
令g (x )＝n ln x －x ，则函数f n (x )的零点与函数g (x )＝n ln x －x 的零点相同． 因为g ′(x )＝n
x －1＝n －x x ，令g ′(x )＝0，得x ＝n ， 所以当x ＞n 时，g ′(x )＜0；当0＜x ＜n 时，g ′(x )＞0，
所以函数g (x )在区间(0，n ]上单调递增，在区间[n ，＋∞)上单调递减． 所以函数g (x )在x ＝n 处有最大值，且g (n )＝n ln n －n . 8分
①当n ＝1时，g (1)＝ln 1－1＝－1＜0，所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为0；
②当n ＝2时，g (2)＝2ln 2－2＜2ln e －2＝0，所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为0；
③当n ≥3时，g (n )＝n ln n －n ＝n (ln n －1)≥n (ln 3－1)＞n (ln e －1)＝0， 因为g (e 2n )＝n ln e 2n －e 2n ＜2n 2－4n ＝2n 2－(1＋3)n ＜2n 2－⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1＋3n ＋
n (n －1)2×9＜2n 2－[1＋3n ＋3n (n －1)]＝－n 2－1＜0，且g (1)＜0，
所以由函数零点的存在性定理，可得函数g (x )＝n ln x －x 在区间(1，n )和(n ，＋∞)内都恰有一个零点．所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为2.
综上所述，当n ＝1或n ＝2时，函数f n (x )的零点个数为0；当n ≥3且n ∈N *时，函数f n (x )的零点个数为2. 12分
[B 组 名校冲刺]
一、选择题
1．(2016·南昌二模)若函数f (x )满足f (x )＋1＝
1
f (x ＋1)
，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －2m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )
A ．0＜m ＜1
3 B.0＜m ≤1
3 C.1
3＜m ＜1
D.1
3＜m ≤1
B [当－1＜x ＜0时，0＜x ＋1＜1， 所以f (x ＋1)＝x ＋1，
从而f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1
x ＋1－1，
于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ＋1－1(－1＜x ＜0)，x (0≤x ≤1)，
f (x )－mx －2m ＝0⇔f (x )＝m (x ＋2)，由图象可知0＜m ≤k AB ＝1
3.]
2．(2016·临沂模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：①对任意x ，都有f (x ＋3)＝f (x )成立；②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32时f (x )＝32－⎪⎪⎪⎪⎪⎪
32－2x ，则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个
数是( )
A ．4 B.5 C ．6
D.7
B [∵f (x ＋3)＝f (x )成立，∴奇函数f (x )是周期等于3的周期函数． 当0≤x ≤3
2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ，0≤x ＜34，3－2x ，34≤x ≤3
2.
则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数就是函数f (x )与函数y ＝1
|x |的交点的个数，如图所示．故选B.]
3．(2016·临汾模拟)函数f (x )＝⎩
⎨⎧
2x
－1(x ≥0)，
f (x ＋1)(x ＜0)，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有
两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )
【导学号：73552065】
A ．(－∞，0) B.[0,1) C ．(－∞，1)
D.[0，＋∞)
C [函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x
－1(x ≥0)，
f (x ＋1)(x ＜0)
的图象如图所示，
作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 有两个交点，则方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根时，a ＜1，故选C.]
4．(2016·衡阳模拟)函数f (x )的定义域为[－1,1]，图象如图15-1(1)所示，函数g (x )的定义域为[－2,2]，图象如图15-1(2)所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )
(1) (2)
图15-1
A ．14 B.12 C.10
D.8
A [由题图(1)可知，若f (g (x ))＝0， 由g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1，
由题图(2)知，g (x )＝－1时，x ＝－1或x ＝1；
g (x )＝0时，x 的值有3个；
g (x )＝1时，x ＝2或x ＝－2，故m ＝7. 若g (f (x ))＝0，
则f (x )＝－1.5或f (x )＝1.5或f (x )＝0，
由题图(1)知，f (x )＝1.5与f (x )＝－1.5时，x 的值各有2个； f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1或x ＝0，故n ＝7. 故m ＋n ＝14.故选A.] 二、填空题
5．(2016·中原名校联考)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 13(x ＋1)，x ∈[0，2)，1－|x －4|， x ∈[2，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点
之和为________．
1－3a [函数f (x )和y ＝a 的图象如图所示，
由图可知，f (x )的图象与直线y ＝a 有5个交点，
所以函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．从小到大依次设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5， 则x 1＋x 2＝－8，x 4＋x 5＝8.
当－2≤x ＜0时，0＜－x ≤2，所以f (－x )＝log 1
3(－x ＋1)＝－log 3(1－x )， 即f (x )＝log 3(1－x )，－2≤x ＜0，由f (x )＝log 3(1－x )＝a ，解得x ＝1－3a ，即x 3＝1－3a ，所以函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝1－3a .]
6．(2016·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x ，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝
⎩⎨⎧
g (x )，f (x )≤g (x )，
f (x )，f (x )＞
g (x )，
则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________． 5 [由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x
对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 2
2，所以x 1＋x 2＝5.]
三、解答题
7．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；
(2)设g (x )＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫
a ·2x －43a ，若方程f (x )＝g (x )有且仅有一解，求实数a 的取值范围．
[解] (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4
－x
＋1)－kx ，
所以log 44x ＋14－x ＋1
＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－1
2. 4
分
(2)由已知f (x )＝g (x )，有且仅有一解，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －4
3a )有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根．
令t ＝2x ＞0，则方程(a －1)t 2－4
3at －1＝0有且只有一个正根. 8分 ①当a ＝1时，则t ＝－3
4不合题意； ②当a ≠1时，Δ＝0，解得a ＝3
4或－3. 若a ＝3
4，则t ＝－2，不合题意； 若a ＝－3，则t ＝1
2；
③若方程有一个正根与一个负根，即
－1
a －1
＜0，解得a ＞1.
综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞). 12分
8．已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2
x(x＞0)．
(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；
(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.
【导学号：73552066】
[解](1)∵g(x)＝x＋e2
x≥2e
2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是
[2e，＋∞)．
因而只需m≥2e，g(x)＝m有实根. 4分
(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作
出g(x)＝x＋e2
x(x＞0)和f(x)的图象如图．
8分
∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，
∴m的取值范围是m＞－e2＋2e＋1. 12分。