【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修2第三章3.1-3.1.2两条直线平行与垂直的判定

第三章直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
A级基础巩固
一、选择题
1．下列说法正确的是()
A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2
B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1
C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
解析：若l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2或l1与l2重合，故A错误；只有当直线l1，l2的斜率均存在时，l1⊥l2⇒k1k2＝－1，故B错误；斜率不存在的直线可能平行于y轴，也可能与y轴重合，故C错误；D是正确的．
答案：D
2．已知过点P(3，2m)和点Q(m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是()
A．1B．－1C．2D．－2
解析：因为k MN＝4－（－1）
－3－2
＝－1，所以若直线PQ与直线MN
平行，则2m－2
3－m
＝－1，解得m＝－1.
答案：B
3．若不同的两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b，3－a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为()
A．1 B．－1 C.1
2D．－
1
2
解析：由直线斜率的坐标公式，得k PQ＝3－a－b
3－b－a
＝1，所以线段
PQ的垂直平分线的斜率为－1.
答案：B
4．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是() A．锐角三角形
B．以B为直角顶点的直角三角形
C．以A为直角顶点的直角三角形
D．钝角三角形
解析：因为k AB＝
－1－1
2－（－1）
＝－
2
3，
k AC＝
4－1
1－（－1）
＝
3
2，
所以k AB·k AC＝－1，
即AB⊥AC，所以选C.
答案：C
5．已知三角形三个顶点的坐标为A(4，2)，B(1，－2)，C(－2，4)，则BC边上的高的斜率为()
A．2 B．－2 C.1
2D．－
1
2
解析：k BC＝4－（－2）
－2－1
＝－2，
所以BC边上的高的斜率k＝1
2.
答案：C 二、填空题
6．已知直线l 1∶y ＝x ，若直线l 2⊥l 1，则直线l 2的倾斜角为________．
解析：因为直线y ＝x 的斜率k 1＝1，所以若直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率k ＝－1.所以直线l 2的倾斜角为135°.
答案：135°
7．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为________．
解析：因为l 2∥l 1，且l 1的倾斜角为45°，所以kl 2＝kl 1＝tan 45°＝1，即a －（－1）3－（－2）
＝1，所以a ＝4.
答案：4
8．已知A (2，3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为________时，AB ⊥CD .
解析：设点D (x ，0)，因为k AB ＝－1－3
1－2＝4≠0，所以直线CD
的斜率存在．
则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1，所以4·－2－0
－1－x ＝－1，解得x
＝－9.
答案：(－9，0) 三、解答题
9．当m 为何值时，过两点A (1，1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°？
(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直？
(3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行？
解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－3
2或m ＝1.
(2)由k AB ＝
m －32m 2，且－7－20－3
＝3. 则m －32m 2＝－13，解得m ＝3
2或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2，
解得m ＝3
4
或m ＝－1.
10．已知A (1，－1)，B (2，2)，C (3，0)三点，求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD .
解：设D (x ，y )，则k CD ＝y
x －3，k AB ＝3，k CB ＝－2，k AD ＝y ＋1x －1，
因为k CD ·k AB ＝－1，k AD ＝k CB ， 所以y
x －3×3＝－1，y ＋1x －1＝－2，
所以x ＝0，y ＝1，即D (0，1)．
B 级 能力提升
1．下列各对直线互相平行的是( )
A ．直线l 1经过A (0，1)，
B (1，0)，直线l 2经过M (－1，3)，N (2，0)
B ．直线l 1经过A (－1，－2)，B (1，2)，直线l 2经过M (－2，－1)，N (0，－2)
C ．直线l 1经过A (1，2)，B (1，3)，直线l 2经过C (1，－1)，
D (1，4)
D ．直线l 1经过A (3，2)，B (3，－1)，直线l 2经过M (1，－1)，
N (3，2)
解析：对于A ，k 1＝1－0
0－1＝－1，
k 2＝3－0－1－2＝－1，k 1＝k 2.
结合图形知l 1∥l 2；
对于B ，k 1＝2－（－2）
1－（－1）＝2，
k 2＝－1－（－2）（－2）－0＝－12，k 1≠k 2，
所以l 1与l 2不平行；
对于C ，因为l 1过(1，2)，(1，3)，l 2过C (1，－1)，D (1，4)，结合图形可知，l 1与l 2重合，所以l 1与l 2不平行；
对于D ，由于l 1的斜率不存在， k 2＝2－（－1）3－1
＝3
2，
所以两条直线不平行，故答案为A. 答案：A
2．已知点A (－2，－5)，B (6，6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为____________．
解析：由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋5
2，k BP
＝y －6－6
，k AP ·k BP ＝－1， 即y ＋52·⎝
⎛⎭⎪⎫
－
y －66＝－1， 解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0，7)
答案：(0，－6)或(0，7)
3．直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，试求m的值．
解：如图所示，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l1的斜率k1＝tan 60°＝ 3.
又直线AB的斜率k AB＝m－1－2 1－m
＝
m－3
1－m
，
所以线段AB的垂直平分线l2的斜率为
k2＝m－1 m－3
.
因为l1与l2平行．
所以k1＝k2，即3＝m－1
m－3
，解得m＝4＋ 3.。