天津市宁河区芦台第一中学2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析

天津市宁河区芦台第一中学2025届高三第一次模拟考试数学试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）
A ．12
B ．122
C ．
162
3
D ．
163
2．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ）
A ．2493π+
B ．4893π+
C ．48183π+
D ．144183π+3．已知函数()sin()(0,)2
f x x π
ωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6
π个单位长度后关于y 轴对
称，则()6
f x π
-
的单调递增区间为( )
A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦ B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢
⎥⎣⎦
C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-
++∈⎢⎥⎣⎦
D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
4．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）
A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为1
3
B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%
C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%
D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%
5．执行下面的程序框图，如果输入1995m =，228n =，则计算机输出的数是（ ）
A ．58
B ．57
C ．56
D ．55
6．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1
B ．-1
C ．0
D ．2
7．已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有11
1(1)n n a a n n +=-++成立，若11a =，则10a 等于（ ）
A ．
101
10
B ．
9110
C ．111
11
D ．
122
11
8．已知双曲线222:1(0)3
-
=>y x C a a 的一个焦点与抛物线2
8x y =的焦点重合，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．2
B ．3
C ．3
D ．4
9．执行程序框图，则输出的数值为（ ）
A ．12
B ．29
C ．70
D ．169
10．已知角a 的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是( ) A ．1或1-
B ．
25或25
- C ．1或2
5
-
D ．1-或
25
11．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）
A ．112n n n S S ++-=
B ．2n
n a =
C ．21n
n S =-
D ．1
21n n S -=-
12．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A ．圆，但要去掉两个点 B ．椭圆，但要去掉两个点 C ．双曲线，但要去掉两个点
D ．抛物线，但要去掉两个点
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年全国青少年禁毒知识答题活动，活动期间进入答题专区，点击“开始答题”按钮后，系统自动生成20道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是17,20,16,18,19，则这五位同学答对题数的方差是____________．
14．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，484a a =，1122
log 3
b T =
（0b >且1b ≠），则b =__________. 15．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C 的离
心率为________.
16．已知正数a ，b 满足a +b =1，则
1
b a b
+的最小值等于__________ ，此时a =____________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数，
．
（Ⅰ）若，求的取值范围； （Ⅱ）若
，对
，
，都有不等式
恒成立，求的取值范围．
18．（12分）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点,E F 分别是线段,DC BC 的中点，分别将DAE △沿AE 折起，CEF △沿EF 折起，使得,D C 重合于点G ，连结AF .
（Ⅰ）求证：平面GEF ⊥平面GAF ； （Ⅱ）求直线GF 与平面GAE 所成角的正弦值.
19．（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如下的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）；
（2）若从这80个零件中尺寸位于[)62.5,64.5之外的零件中随机抽取4个，设X 表示尺寸在[]64.5,65上的零件个数，求X 的分布列及数学期望EX ；
（3）已知尺寸在[)63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率. 现对生产
线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.
20．（12分）在极坐标系Ox 中，曲线C
2
sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，设l 与C 交于A 、B 两点，AB 中点为M ，AB 的垂直平分线交C 于E 、F .以O 为坐标原点，
极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系xOy . （1）求C 的直角坐标方程与点M 的直角坐标； （2）求证：MA MB ME MF ⋅=⋅.
21．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2
2181a a =+，公差0d >，1S 、4S 、16S 成等比数列，数列{}
n b 满足(
)22log 1log n
n b a =-（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）已知1
1
n n n c a a +=
，求数列{}n n c b +的前n 项和n T . 22．（10分）已知函数()|21||1|f x x ax =+--，a R ∈． （1）当2a =时，求不等式1()1f x -≤≤的解集；
（2）当1
(,0)2
x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，易知CE BD ⊥，PE CE =，从而可证BD ⊥平面PCE ，进而可知
18
33P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=，当PCE S 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，可得
EF PC ⊥，再由21
12
PCE S PC EF PE =⋅=-，求出PE 的最大值即可.
【详解】
在BPD △和BCD 中，PB BC PD CD BD BD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，所以BPD BCD ≌，则PBD CBD ∠=∠，
过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，显然BPE BCE ≌，则CE BD ⊥，且PE CE =， 又因为PE
CE E =，所以BD ⊥平面PCE ，
所以183
3
P BCD B PCE D PCE PCE
PCE
V V V S BD S ---=+=⋅=，
当PCE
S
最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥，
所以21
12
PCE
S PC EF PE =
⋅=-， 因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8， 所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 最大值为22543-=， 所以PCE S ∆最大值为22，故P BCD V -的最大值为8
223
⨯162
3
=. 故选：C.
【点睛】
本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题. 2、C 【解析】
由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为22633(
)
2
r =+圆锥的高
22(35)3h =-截去的底面劣弧的圆心角为23π
，底面剩余部分的面积为221412sin
2323
S r r ππ=⋅+,利用锥体的体积公式即可求得. 【详解】
由已知中的三视图知圆锥底面半径为6r ==，圆锥的高6h ==，圆锥母线
l ==120°
，底面剩余部分的面积为
2222212212sin 66sin 24323323S r r ππ
πππ=+=⨯+⨯⨯=+11
(2464833
V Sh ππ==⨯+⨯=+故选C. 【点睛】
本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般. 3、D 【解析】
先由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数()sin()f x x ωϕ=+的解析式，从而得出()6f x π
-的解析式，再根据正弦函数()sin f x x =的单调递增区间得出函数()6
f x π
-的单调递增区间，可得选项. 【详解】
因为函数()sin()(0,)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
的最小正周期是π，所以2π
π=
ω
，即2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，
()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移6
π
个单位长度后得到的函数解析式为sin 2+sin 2++63y x x ππϕϕ⎤⎡⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎥ ⎪ ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎦
，
由于其图象关于y 轴对称，所以
++2,3
2
k k Z π
π
ϕπ=
∈，又2
π
ϕ<
，所以6π=
ϕ，所以()sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
所以sin 2(+)6sin 2666x f x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣-⎦， 因为()sin f x x =的递增区间是：2,22
2k k π
πππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，
由+2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，k Z ∈，得：6
3
k x k π
π
ππ-
+≤≤+
，k Z ∈，
所以函数()6f x π
-的单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
（k Z ∈）.
故选：D. 【点睛】
本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于中档题. 4、D 【解析】
根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【详解】
对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41
123
=，故A 正确；
对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确； 对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D. 【点睛】
本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题. 5、B 【解析】
先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可. 【详解】
本程序框图的功能是计算m ，n 中的最大公约数，所以199********=⨯+，
228171157=⨯+，1713570=⨯+，故当输入1995m =，228n =，则计算机输出的数
是57. 故选：B. 【点睛】
本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 6、A 【解析】
根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值.
【详解】
复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，
所以由复数定义可知10a -=， 解得1a =， 故选：A. 【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题. 7、B 【解析】
观察已知条件，对11
1(1)
n n a a n n +=-++进行化简，运用累加法和裂项法求出结果.
【详解】 已知111(1)n n a a n n +=-
++，则1111111()11()(1)11n n a a n n n n n n +--
+=--+=--+++=，所以有2111
1()12
a a ---=， 3211
1()23a a ---=，
4311
1()34a a ---=，
109111()910a a ---=，两边同时相加得10119(1)10a a ---=，又因为11a =，所以10191
9(11)1010a --==+.
故选：B 【点睛】
本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如1
n(n 1)
+时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握
数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解. 8、A 【解析】
根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得234a +=，解可得1a =，由离心率公式计算可得答案． 【详解】
根据题意，抛物线2
8x y =的焦点为(0,2)，
则双曲线22
213
y x a -=的焦点也为(0,2)，即2c =，
则有234a +=，解可得1a =， 双曲线的离心率2c
e a
==. 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 9、C 【解析】
由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量b 的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案. 【详解】
0a =，1b =，1n =，022b =+=，5n <，满足条件，
20
12a -=
=，2n =，145b =+=，5n <，满足条件， 5122a -==，3n =，21012b =+=，5n <，满足条件，
12252a -==，4n =，52429b =+=，5n <，满足条件，
295122a -==，5n =，125870b =+=，5n =，不满足条件，
输出70b =. 故选：C 【点睛】
本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题. 10、B 【解析】
根据三角函数的定义求得sin ,cos a a 后可得结论． 【详解】
由题意得点P 与原点间的距离5r m ==．
①当0m >时，5r m =， ∴3344
sin ,cos 5555
m m a a m m -=
===-，
∴3422sin cos 2555
a a +=⨯-=． ②当0m <时，5r m =-， ∴3344sin ,cos 5555
m m a a m m -==-==--， ∴3422sin cos 2555a a ⎛⎫+=⨯-+
=- ⎪⎝⎭． 综上可得2sin cos a a +的值是
25或25
-． 故选B ．
【点睛】 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ，然后再根据三角函数的定义求解即可．
11、C
【解析】
先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项.
【详解】
因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =，
由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故24
28a a =⎧⎨=⎩符合. 此时24q =，所以2q 或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.
故3313422n n n n a a q
---==⨯=，()1122112n n n S ⨯-==--.
故选C.
【点睛】 一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：
（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；
（2）公比1q ≠时，则有n n S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；
（3）232,,,
n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .
12、A
【解析】
根据题意可得AC BC ⊥,即知C 在以AB 为直径的圆上.
【详解】
PB α⊥,AC α⊂，
PB AC ∴⊥,
又PC AC ⊥，PB PC P ⋂=,
AC ∴⊥平面PBC ,又BC ⊂平面PBC
AC BC ∴⊥，
故C 在以AB 为直径的圆上，
又C 是α内异于,A B 的动点，
所以C 的轨迹是圆，但要去掉两个点A ,B
故选：A
【点睛】
本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2
【解析】
由这五位同学答对的题数分别是17,20,16,18,19，得该组数据的平均数1720161819185
++++==x ，则方差22221[(1718)(2018)(1618)5=⨯-+-+-+s 22(1818)(1918)]-+-=1025
=．
14、【解析】
利用等比数列的性质求得6a ，进而求得11T ，再利用对数运算求得b 的值.
【详解】
由于0
n a >，24864a a a ⋅==，所以62a =，则11111162T a ==，∴1122log 11log 23b b T =⨯=，2log 23
b =，233b ==
故答案为：【点睛】
本小题主要考查等比数列的性质，考查对数运算，属于基础题.
15 【解析】
由等腰三角形及双曲线的对称性可知121F F PF =或122F F PF =,进而利用两点间距离公式求解即可.
【详解】
由题设双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -,()2,0F c ,
因为左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点,
当122F F PF =时,2c =,由222b c a =-可得222430c ac a +-=,等式两边同除2a 可得
22430e e +-=,解得212e =
<（舍）；
当121F F PF =时,2c =由222b c a =-可得222430c ac a --=,等式两边同除2a 可得
22430e e --=,解得22e +=
,
故答案为 【点睛】
本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想. 16、3
12 【解析】 根据题意，分析可得11b b a b b a a b a b a b
++=+=++，由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条件可得a 的值，即可得答案．
【详解】
根据题意，正数a 、b 满足1a b +=，
则1113b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥=， 当且仅当12a b ==
时，等号成立， 故1b a b
+的最小值为3，此时12a =.
故答案为：3；1 2 .
【点睛】
本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由题意不等式化为，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）由题意把问题转化为，分别求出和，列出不等式求解即可．
【详解】
（Ⅰ）由题意知，，
若，则不等式化为，解得；
若，则不等式化为，解得，即不等式无解；
若，则不等式化为，解得，
综上所述，的取值范围是；
（Ⅱ）由题意知，要使得不等式恒成立，
只需，
当时，，，
因为，所以当时，
，
即，解得，
结合，所以的取值范围是.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的求解问题，含有绝对值的不等式恒成立应用问题，以及绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论思想，是中档题．含有绝对值的不等式恒成立应用问题，关键是等价转化为最值问题，再通过绝对值三角不等式求解最值，从而建立不等关系，求出参数范围.
18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）42 9
.
【解析】
（Ⅰ）根据GE GA ⊥，GE GF ⊥，可得GE ⊥平面GAF ，故而平面GEF ⊥平面GAF ．
（Ⅱ）过F 作FH AG ⊥于H ，则可证FH ⊥平面GAE ，故FGH ∠为所求角，在AGF ∆中利用余弦定理计算cos FGH ∠，再计算sin FGH ∠．
【详解】
解：（Ⅰ）因为GE GA ⊥，GE GF ⊥，GE
GF G =，GE 平面GAF ，GF ⊂平面GAF
所以GE ⊥平面GAF ，
又GE 平面GEF ， 所以平面GEF ⊥平面GAF ；
（Ⅱ）过F 作FH AG ⊥于H ，则由GE ⊥平面GAF ，且FH ⊂平面GAF 知
GE FH ⊥，所以FH ⊥平面GAE ，从而FGH ∠是直线GF 与平面GAE 所成角.
因为3AG =，32FG =，223734()22
AF =+=， 所以2229739744cos 329232
GA GF AF AGF GA GF +-+-∠===-⋅⋅⋅⋅， 从而242sin sin 1cos 9
FGH AGF AGF ∠=∠=-∠=.
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题．
19、（1）63.47；（2）分布列见详解，期望为
167
；（3）余下所有零件不用检验，理由见详解. 【解析】
（1）计算[)[)62.0,63.0,63.0,63.5的频率，并且与0.5进行比较，判断中位数落在的区间，然后根据频率的计算方法，可得结果.
（2）计算位于[)62.5,64.5之外的零件中随机抽取4个的总数，写出X 所有可能取值，并计算相对应的概率，列出分布列，计算期望，可得结果.
（3）计算整箱的费用，根据余下零件个数服从二项分布，可得余下零件个数的期望值，然后计算整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值，进行比较，可得结果.
【详解】
（1）尺寸在[)62.0,63.0的频率：
()0.50.0750.2250.15⨯+=
尺寸在[)63.0,63.5的频率：0.50.7500.375⨯=
且0.150.50.150.375<<+
所以可知尺寸的中位数落在[)63.0,63.5
假设尺寸中位数为x
所以()0.1563.00.7500.563.47x x +-⨯=⇒≈
所以这80个零件尺寸的中位数63.47
（2）尺寸在[)62.0,62.5的个数为800.0750.53⨯⨯=
尺寸在[]64.5,65.0的个数为800.1000.54⨯⨯=
X 的所有可能取值为1，2，3，4
则()1343474135C C P X C ===，()22434718235
C C P X C === ()31434712335C C P X C ===，()44471435
C P X C === 所以X 的分布列为
1234353535357
EX =⨯+⨯+⨯+⨯= （3）二等品的概率为()0.50.0750.2250.1000.2⨯++=
如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为
1100999900P =⨯=（元）
余下二等品的个数期望值为890.217.8⨯=
如果不对余下的零件进行检验，
整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为
2119950017.89989P =⨯+⨯=（元）
所以12P P >，所以可以不对余下的零件进行检验.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，掌握中位数，平均数，众数的计算方法，中位数的理解应该从中位数开始左右两边的频率各为0.5，考验分析能力以及数据处理，属中档题.
20、（1）2
2:12x C y +=，21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
；（2）见解析. 【解析】
（1）将曲线C 的极坐标方程变形为()22sin 2ρρθ+=，再由222
sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩
可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，求出点A 、B 的坐标，即可得出线段AB 的中点M 的坐标；
（2
）求得3
MA MB ==，写出直线EF 的参数方程，将直线EF 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，利用韦达定理求得ME MF ⋅的值，进而可得出结论.
【详解】
（1）曲线C 的极坐标方程可化为()222sin ρρθ=-，即()2
2sin 2ρρθ+=， 将222
sin x y y
ρρθ⎧=+⎨=⎩代入曲线C 的方程得2222x y +=， 所以，曲线C 的直角坐标方程为2
2:12
x C y +=. 将直线l 的极坐标方程化为普通方程得1x y -=， 联立22112x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得01x y =⎧⎨=-⎩或4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，则点()0,1A -、41,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因此，线段AB 的中点为21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
； （2）由（1
）得3
MA MB ==，89MA MB ∴⋅=，
易知AB 的垂直平分线EF
的参数方程为232132x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），
代入C
的普通方程得2340233
t t --=，4
83392ME MF -
∴⋅==， 因此，MA MB ME MF ⋅=⋅.
【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
21、（1）21n a n =-，1n n b x
-=（0x >）；（2）11112211n n x T n x
-⎛⎫=-+ ⎪+-⎝⎭. 【解析】
（1）根据{}n a 是等差数列，22181a a =+，1S 、4S 、16S 成等比数列，列两个方程即可求出1,a d ，从而求得n a ，代入化简即可求得n b ；（2）化简n c 后求和为裂项相消求和，{}n n c b +分组求和即可，注意讨论公比是否为1.
【详解】
（1）由题意知11S a =，4146S a d =+，16116120S a d =+，
由42116S S S =⋅得
()()21114616120a d a a d +=+，
解得120d a =>.
又()2221181a a d a =+=+，得211981a a =+，
解得11a =或119a =-
（舍）. 2d ∴=，21n a n =-.
又(
)1222log 22log log n n b n x -=-=（0x >）
， 1n n b x -∴=（0x >）.
（2）()()111111212122121n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭
，
①当1x =时，
()()121n n n T c c c b b =++++++
111221n n ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭
. ②当1x ≠时，
11112211n
n x T n x
-⎛⎫=-+ ⎪+-⎝⎭. 【点睛】
此题等差数列的通项公式的求解，裂项相消求和等知识点，考查了化归和转化思想，属于一般性题目. 22、 (1) 11[,]44
- (2) [4,0)-
【解析】
（1）当2a =时，12,211()|21||21|4,2212,2x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，当21x <-或12x >时，|()|2f x =，所以1()1f x -≤≤可转化为112
4211x x -≤-≤≤⎧≤⎪⎨⎪⎩， 解得1144x -
≤≤，所以不等式1()1f x -≤≤的解集为11[,]44
-． （2）因为1(,0)2x ∈-，所以|21|21x x +=+， 所以()2f x x >，即21|1|2x ax x +-->，即|1|1ax -<．
当0a ≥时，因为1(,0)2x ∈-，所以|1|1ax -≥，不符合题意．
当0a <时，解|1|1ax -<可得20x a
<<， 因为当1(,0)2
x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，所以12(,0)(,0)2a -⊆， 所以
212a ≤-，解得40a -≤<，所以实数a 的取值范围为[4,0)-．。