2021_2022学年新教材高中数学第二章圆锥曲线1.1椭圆及其标准方程课后篇巩固提升训练含解析北师

第二章圆锥曲线
§1 椭圆
1.1 椭圆及其标准方程
课后篇巩固提升
合格考达标练
1.已知方程
x 2
k -4
+
y 210-k
=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是( )
A.(4,10)
B.(7,10)
C.(4,7)
D.(4,+∞)
k-4>10-k>0,解得7<k<10.
2.中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为( ) A.x 2
4+y 2
2=1 B.y 24+x 22
=1 C.
y 216+
x 24
=1
D.
x 216
+
y 24
=1
方法一)验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C,故选D .
(方法二)设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0),则{16m =1,4n =1,解得{m =1
16,n =14,
故选D . 3.已知椭圆x 2
k +y 2=1的一个焦点是(2,0),那么实数k= ( )
A.√3
B.√5
C.3
D.5
因为椭圆x 2
k +y 2=1的一个焦点是(2,0),所以k>1,因为k-1=4,所以k=5.故选D.
4.已知F 1,F 2分别为椭圆
x 225
+
y 29
=1的左、右焦点,倾斜角为60°的直线l 过点F 1,且与椭圆交于A ,B
两点,则△AF 2B 的周长为( ) A.10 B.12
C.16
D.20
由椭圆
25+
9
=1可得a=5,△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,所以△AF2B周长
=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,
由椭圆的定义知,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△AF2B周长=4a=20.故选D.
5.(多选题)椭圆x2
m +y2
8
=1的焦距为4,则m的值可能是()
A.12
B.10
C.6
D.4
2c=4,则c=2,
当焦点在x轴上时,有m=8+22=12,解得m=12;
当焦点在y轴上时,有8=m+22,解得m=4.
故m=4或12.
6.一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,√3)是椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,则椭圆的标准方程为()
A.x2
8+y2
6
=1 B.x2
16
+y2
6
=1
C.x2
8+y2
4
=1 D.x2
16
+y2
4
=1
2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,P是椭圆上的一点,∴2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=2a,
∴a=2c.设椭圆方程为x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0),则{
a=2c,
a2=b2+c2,
4
a2
+3
b2
=1,
解得a=2√2,c=√2,b2=6.
故椭圆的标准方程为x 2
8+y2
6
=1.
7.过点(√3,-√5),且与椭圆y2
25+x2
9
=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为.
x2
4
=1
椭圆y 2
25+x2
9
=1的焦点为(0,±4),
设椭圆方程为y 2
a2+x2
b2
=1(a>b>0),
则有a2-b2=16, ①
再代入点(√3,-√5),得5
a2+3
b2
=1, ②
由①②解得a2=20,b2=4.
则所求椭圆的标准方程为y 2
20+x2
4
=1.
8.已知椭圆
a 2
+
b 2
=1(a>b>0)的左、右焦点是F 1,F 2,P 是椭圆的一个动点,如果M 是线段F 1P 的中点,
那么动点M 的轨迹是 .(填轨迹的名称)
|PF 1|+|PF 2|=2a , 设椭圆方程为
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(其中a>b>0).
连接MO ,当P 不在x 轴上时,由三角形的中位线可得|F 1M|+|MO|=a (a>|F 1O|), 当P 在x 轴上时,|MF 1|+|MO|=a (a>|F 1O|), 所以M 的轨迹为以F 1,O 为焦点的椭圆.
等级考提升练
9.F 1是椭圆x 2
9+y 25
=1的左焦点,P 是椭圆上的动点,A (1,1)为定点,则|PA|+|PF 1|的最小值是( ) A.9-√2 B.6-√2
C.3+√2
D.6+√2
,设点F 2为椭圆的右焦点,连接F 2A 并延长交椭圆于点P',连接P'F 1,PF 2.
∵|PF 1|+|PF 2|=2a=6, ∴|PF 1|=6-|PF 2|,
∴|PA|+|PF 1|=|PA|+6-|PF 2|
=6+(|PA|-|PF 2|).
根据三角形两边之差小于第三边,当点P 位于P'时,|PA|-|PF 2|最小,其值为-|AF 2|=-√2,此时|PA|+|PF 1|的最小值为6-√2.
10.若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23
=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP
⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ( )
A.2
B.3
C.6
D.8
,得F (-1,0),设点P (x 0,y 0),
设y 02
=3(1-x 02
4),
OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+y 02=x 02+x 0+y 02 =x 02+x 0+3(1-x 024)
=1
4(x 0+2)2+2,
当x 0=2时,OP
⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为6. 11.如图所示,一圆形纸片的圆心为O ,F 是圆内一定点,M 是圆周上一动点,把纸片折叠使M 与F 重合,然后抹平纸片,折痕为CD ,设CD 与OM 交于点P ,则点P 的轨迹是( )
A.圆
B.双曲线
C.抛物线
D.椭圆
,M ,F 关于CD 对称,所以|PF|=|PM|,故|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=R>|FO|, 可知点P 的轨迹是椭圆.
12.如图,已知椭圆C 的中心为原点O ,F (-5,0)为C 的左焦点,P 为C 上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C 的方程为( )
A.
x 236
+
y 216=1 B.
x 240+
y 215
=1
C.x 2
49+y 2
24=1 D.x 2
45+y 2
20=1
c=5,设右焦点为F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO ,
∠OF'P=∠OPF',
∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF', ∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF ⊥PF',
在Rt △PFF'中,由勾股定理, 得|PF'|=√|FF '|2-|PF |2=√102-62=8, 由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14, 从而a=7,a 2=49, 于是b 2=a 2-c 2=49-52=24,
∴椭圆C 的方程为x 249+y 2
24=1.
13.已知椭圆
x 29
+
y 22
=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,∠F 1PF 2的大小
为 .
120°
|PF 1|+|PF 2|=6,且|PF 1|=4,知|PF 2|=2. 在△PF 1F 2中, cos ∠F 1PF 2=
|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2
2|PF 1||PF 2|
=-1
2.故∠F 1PF 2=120°.
14.(2020山东烟台检测)已知F 1,F 2是椭圆C :
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且
PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若△PF 1F 2的面积为9,则b= .
F 1,F 2是椭圆C :x 2
a 2+y
2
b 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴
|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,
12
|PF 1||PF 2|=9,∴(|PF 1|+|PF 2|)2=4c 2+2|PF 1||PF 2|=4a 2,∴36=4(a 2-c 2)=4b 2,∴b=3.
15.已知椭圆的中心在原点,且经过点P (3,0),a=3b ,求椭圆的标准方程.
x 轴上时,设其标准方程为x 2a
2+
y 2b
2=1(a>b>0),由椭圆过点P (3,0),知
9
a
2+
0b 2
=1.
又a=3b ,解得b 2=1,a 2=9, 故椭圆的方程为x 2
9+y 2=1.
当焦点在y 轴上时,设其标准方程为y 2
a 2+x 2
b 2=1(a>b>0). 由椭圆过点P (3,0),知0a 2
+
9b 2
=1.
又a=3b ,联立解得
a 2=81,
b 2=9,故椭圆的方程为
y
2
81
+
x 29
=1.
故椭圆的标准方程为y 281+
x 2
9
=1或x 2
9+y 2=1. 新情境创新练
16.已知F 1(-c ,0),F 2(c ,0)为椭圆x 2a
2+
y 2b 2
=1(a>b>0)的两个焦点,P 在椭圆上,且△PF 1F 2的面积为√2
2
b 2,求
cos ∠F 1PF 2的值.
{|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos∠F 1PF 2=4c 2,
整理得|PF 1|·|PF 2|=2b 2
1+cos∠F 1
PF 2
.
∵△PF 1F 2的面积为√2
2b 2,
∴1
2×2b 2
1+cos∠F 1
PF 2
×sin ∠F 1PF 2=√2
2b 2,
∴1+cos ∠F 1PF 2=√2sin ∠F 1PF 2.
又∵sin 2∠F 1PF 2+cos 2∠F 1PF 2=1,
∴cos ∠F 1PF 2=1
3(cos ∠F 1PF 2=-1舍去).
17.如图所示,△ABC 的底边BC=12,其他两边AB 和AC 上中线的和为30,求此三角形重心G 的轨迹方程,并求顶点A 的轨迹方程.
BC 边所在直线为x 轴,BC 边中点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则B (6,0),C (-6,0),CE ,BD 为AB ,AC 边上的中线,
则|BD|+|CE|=30. 由重心性质可知,
|GB|+|GC|=2
3(|BD|+|CE|)=20>12.
∵B ,C 是两个定点,G 点到B ,C 的距离和等于定值20,且20>12=|BC|, ∴G 点的轨迹是椭圆,B ,C 是椭圆焦点, ∴2c=|BC|=12,c=6,2a=20,
a=10,b 2=a 2-c 2=102-62=64,
故G 点的轨迹方程为x 2
100+y 2
64=1(x ≠±10). 设G (x',y'),A (x ,y ), 则有x '2
100+y '2
64=1. 由重心坐标公式知{
x '=x
3,y '=y 3,
故A 点轨迹方程为(x 3
) 2
100+(y 3
) 264
=1,
即x 2
900+y 2
576=1(x ≠±30).。