高考数学一轮总复习 第47讲 空间中的平行关系课件 理 新人教A版
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第十六页，共43页。
【解析】 因为三棱柱 ABC－A′B′C′的侧棱有三条， 所以题目要求的 2 条棱一定是两底面的两条对应边，显然 EF∥AB，EF∥A′B′，所以选 P 为 G 点．
第十七页，共43页。
第十八页，共43页。
一 平行(píngxíng)判断的基本应用
【例 1】m、n 是不同的直线，α、β、γ 是不同的平面， 有以下四个命题：
第四十三页，共43页。
第四十页，共43页。
第四十一页，共43页。
1．两个平面的位置关系是空间中各种元素位置 的“最高境界”，解决空间两个平面的位置关 系的思维方法是“以退为进”，即面面问题退 证线面问题，再退证线线问题．充分揭示了面 面、线面、线线相互之间的转化关系．
第四十二页，共43页。
2．直线与平面相互平行的证明方法：
①若 α∥β，α∥γ，则 β∥γ； ②若 α⊥β，m∥α，则 m⊥β； ③若 m⊥α，m∥β，则 α⊥β ④若 m∥n，n⊂α，则 m∥α. 其中是真命题的是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
第十九页，共43页。
【解析】 确定命题正确常常需要严格的证明，判断 命题错误只需一个反例就可以了．如图在正方体 A′C 中，平面 B′C 垂直平面 A′C′，直线 AD 平行平面 B′C，但直线 AD 并不垂直平面 A′C′，故②错误，排 除 C、D；由线面平行的判定定理知，④缺少 m⊄α 的条 件，故④错误，故选 A.
第三十七页，共43页。
备选(bèi xuǎn)例题
如图，四边形 ABCD 为矩形，AD⊥平面 ABE，AE＝EB＝ BC，设 M 在线段 AB 上，且满足 AM＝2MB.试在线段 CE 上确 定一点 N，使得 MN∥平面 DAE.
第三十八页，共43页。
【解析】 在△ABE 中，过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点．在 △BEC 中，过 G 点作 GN∥BC 交 EC 于 N 点，连接 MN.
面平行没有传递性，如a//， //不一定得到 //，同时a//，b//也不一定得到a//b.
第七页，共43页。
【要点指南】
①没有；②a//；③平行；
④a//b；⑤平行；⑥a//l；
⑦没有；⑧ //；⑨平行； ⑩ //； b//；
平行； a//b
第八页，共43页。
第九页，共43页。
1.已知直线 a⊄α，直线 b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
第三十三页，共43页。
【点评】证明面面平行的常用方法： ①面面平行的定义； ②面面平行的判定定理； ③两个平面同时与第三个平面平行，则这两个平面平行．
第三十四页，共43页。
素材
(sùcái) 3
如图，在三棱柱
ABC－A1B1C1 中，E，F，G，H
分别
是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：
第十页，共43页。
【解析】由线面平行的判定定理可知充分条件成立，但 a∥α 时，a 与 b 的 位置关系是平行或异面，即必要条件不 成立，故选 A.
第十一页，共43页。
2.若平面 α∥平面 β，直线 a∥α，点 B∈β，则在平面 β
内且过点 B 的所有直线中( A )
A．不一定存在与 a 平行的直线 B．只有两条与 a 平行的直线 C．存在无数条与 a 平行的直线 D．存在唯一的一条与 a 平行的直线
用符号表示为：a ，b ，a b P， _____， _______ //.
第六页，共43页。
3 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个
平面相交，那么它们的交线 __________ .
用符号表示为： //， a， b
_______ . 特别提醒：线线平行、面面平行有传递性，而线
第十四页，共43页。
4.(教材改编题)已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，下列
结论中，正确的结论是 ①②④ (只填序号)．
①AD1∥BC1;
②平面 AB1D1∥平面 BDC1；
③AD1∥DC1;
④AD1∥平面 BDC1.
第十五页，共43页。
5.如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，点 E、F、H、K 分 别为 AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G 为△ABC 的 重心. 从 K、H、G、B′中取一点作为 P，使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行，则 P 为 G 点 .
2 判定定理平面外一条直线与此平面内的一条
直线③ __________，则该直线与此平面平行．
用符号表示为：a ，b ，且④ ___ a//.
3 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过
这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线 ⑤ __________。
用符号表示为：a//，a ， l ⑥ __.
第二十四页，共43页。
【证明】方法 1：连接 AB1，B1C，如右图． 因为 M 是 AB1 的中点，O 是 AC 的中点，所以 MO∥B1C. 又 MO⊄平面 BB1C1C，B1C⊂平面 BB1C1C，所以 OM∥平 面 BB1C1C.
第二十五页，共43页。
方法 2：取 AB 的中点 N，连接 MN、ON，如图，则 MN∥BB1. 又 MN⊄平面 BB1C1C，BB1⊂平面 BB1C1C， 所以 MN∥平面 BB1C1C. 同理可得 ON∥平面 BB1C1C. 又 MN∩ON＝N，所以平面 MON∥平面 BB1C1C. 而 OM⊂平面 MON，所以 OM∥平面 BB1C1C.
第十二页，共43页。
3.平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( ) A．存在一条直线 a，a∥α，a∥β B．存在一条直线 a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
第十三页，共43页。
【解析】 A、B、C 中 α 与 β 都有可能相交．
素材 (sùcái)
2 如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰 梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1，F 分别是棱 AD，AA1，AB 的中点．
求证：直线 EE1∥平面 FCC1.
第二十八页，共43页。
【证明】 在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，取 A1B1 的中 点 F1，连接 A1D，C1F1，CF1，FF1，则四边形 FCC1F1 是平 行四边形．
第三十页，共43页。
三 平面与平面平行(píngxíng)的判定与性 质
【例 3】如图，三棱柱 ABC—A1B1C1，D 是 BC 上一点， 且 A1B∥平面 AC1D，D1 是 B1C1 的中点，求证：平面 A1BD1 ∥平面 AC1D.
第三十一页，共43页。
【证明】 连接 A1C 交 AC1 于点 E. 因为四边形 A1ACC1 是平行四边形，所以 E 是 A1C 的中点． 连接 ED.
第二十一页，共43页。
素材 (sùcái
)1 已知两个不同的平面 α，β 和两条不重合的直线 a，b，则 下列四个命题中为真命题的是( )
A．若 a∥b，b⊂α，则 a∥α B．若 α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，则 a⊥β C．若 a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则 α∥β D．若 α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α，则 a∥β
第二十页，共43页。
【点评】(1)运用立方体的模型判断命题的真假，是解 此类问题最常见的方法，解题时除了考虑正方体各侧面、 各侧棱、侧面对角线、正方体的对角线外，也应考虑正方 体的对角面内的各条线段，经过反复验证，错误命题就会 被排除掉．
(2)在判断命题真假时，常就地取材，借助笔、手指、 桌面、书本面等作为直线和平面的模型，构造符合条件的 实体模型，然后考虑结论是否成立．这是解决此类问题的 最直观有效的方法．
第五页，共43页。
2．平面与平面平行的判定与性质
1定义：如果平面与平面 ⑦ _____公共点，
则平面与平面平行，记作⑧ __________ .
特别提醒：两个平面平行，其中一个平面内的任 一直线与另一个平面必平行，即“面//面 线//面”．
2 判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一
个平面⑨ __________，则这两个平面平行．
第三十九页，共43页。
则由比例关系易得 CN＝31CE. 因为 MG∥AE，MG⊄平面 ADE，AE⊂平面 ADE， 所以 MG∥平面 ADE. 同理，GN∥平面 ADE. 又 MG∩GN＝G，所以平面 MGN∥平面 ADE. 而 MN⊂平面 MGN，所以 MN∥平面 ADE. 所以 N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点．
第三十二页，共43页。
因为 A1B∥平面 AC1D， 平面 A1BC∩平面 AC1D＝ED， 所以 A1B∥ED. 因为 E 是 A1C 的中点， 所以 D 是 BC 的中点． 又因为 D1 是 B1C1 的中点，所以 BD1∥C1D，A1D1∥AD. 又 A1D1∩BD1＝D1，所以平面 A1BD1∥平面 AC1D.
第二十九页，共43页。
因为 AB＝2CD，且 AB∥CD，所以 CD A1F1， 所以四边形 A1F1CD 为平行四边形，所以 CF1∥A1D. 又因为 E、E1 分别是棱 AD、AA1 的中点， 所以 EE1∥A1D，所以 CF1∥EE1. 又因为 EE1⊄平面 FCC1，CF1⊂平面 FCC1， 所以直线 EE1∥平面 FCC1.
(1)B，C，H，G 四点共面；
(2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
第三十五页，共43页。
【证明】 (1)因为 GH 是△A1B1C1 的中位线，所以 GH∥B1C1.
又因为 B1C1∥BC，所以 GH∥BC， 所以 B，C，H，G 四点共面．
第三十六页，共43页。
(2)因为 E，F 分别为 AB、AC 的中点，所以 EF∥BC， 因为 EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， 所以 EF∥平面 BCHG. 因为 A1G EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形， 所以 A1E∥GB. 因为 A1E⊄平面 BCHG，BG⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG. 因为 A1E∩EF＝E，所以平面 EFA1∥平面 BCHG.
第二十六页，共43页。
【点评】判断或证明线面平行的常用方法有： (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
第二十七页，共43页。
1 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行； 2 证明这条直线的方向向量和这个平面内的一
个向量相互平行；
3 证明这条直线的方向向量和这个平面的法
向量相互垂直． 3．平面和平面相互平行的证明方法：
1 证明一个平面内的两条相交直线与
另一个平面平行；
2 证明两个平面同时和第三个平面平行； 3 证明两个平面的法向量相互平行．
第一页，共43页。
第二页，共43页。
以立体几何的相关定义、公理和定理 为出发点，认识和理解直线与平面、 平面与平面平行的判定定理和性质定理．
第三页，共43页。
第四页，共43页。
1．直线与平面平行
1定义：如果直线a与平面a① ______公共点，
则直线a与平面a平行，记作② __________ .
第二十二页，共43页。
【解析】选项 A 中，直线 a 可能在平面 α 内；选项 B 中，直线 a 可能在平面 β 内；选项 C 中，直线 a，b 为相交 直线时命题才成立．
第二十三页，共43页。
二 直线与平面平行的判定(pàndìng) 和性质
【例 2】如下图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、O 分别是 A1B、AC 的中点．求证：OM∥平面 BB1C1C.
【解析】 因为三棱柱 ABC－A′B′C′的侧棱有三条， 所以题目要求的 2 条棱一定是两底面的两条对应边，显然 EF∥AB，EF∥A′B′，所以选 P 为 G 点．
第十七页，共43页。
第十八页，共43页。
一 平行(píngxíng)判断的基本应用
【例 1】m、n 是不同的直线，α、β、γ 是不同的平面， 有以下四个命题：
第四十三页，共43页。
第四十页，共43页。
第四十一页，共43页。
1．两个平面的位置关系是空间中各种元素位置 的“最高境界”，解决空间两个平面的位置关 系的思维方法是“以退为进”，即面面问题退 证线面问题，再退证线线问题．充分揭示了面 面、线面、线线相互之间的转化关系．
第四十二页，共43页。
2．直线与平面相互平行的证明方法：
①若 α∥β，α∥γ，则 β∥γ； ②若 α⊥β，m∥α，则 m⊥β； ③若 m⊥α，m∥β，则 α⊥β ④若 m∥n，n⊂α，则 m∥α. 其中是真命题的是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
第十九页，共43页。
【解析】 确定命题正确常常需要严格的证明，判断 命题错误只需一个反例就可以了．如图在正方体 A′C 中，平面 B′C 垂直平面 A′C′，直线 AD 平行平面 B′C，但直线 AD 并不垂直平面 A′C′，故②错误，排 除 C、D；由线面平行的判定定理知，④缺少 m⊄α 的条 件，故④错误，故选 A.
第三十七页，共43页。
备选(bèi xuǎn)例题
如图，四边形 ABCD 为矩形，AD⊥平面 ABE，AE＝EB＝ BC，设 M 在线段 AB 上，且满足 AM＝2MB.试在线段 CE 上确 定一点 N，使得 MN∥平面 DAE.
第三十八页，共43页。
【解析】 在△ABE 中，过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点．在 △BEC 中，过 G 点作 GN∥BC 交 EC 于 N 点，连接 MN.
面平行没有传递性，如a//， //不一定得到 //，同时a//，b//也不一定得到a//b.
第七页，共43页。
【要点指南】
①没有；②a//；③平行；
④a//b；⑤平行；⑥a//l；
⑦没有；⑧ //；⑨平行； ⑩ //； b//；
平行； a//b
第八页，共43页。
第九页，共43页。
1.已知直线 a⊄α，直线 b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
第三十三页，共43页。
【点评】证明面面平行的常用方法： ①面面平行的定义； ②面面平行的判定定理； ③两个平面同时与第三个平面平行，则这两个平面平行．
第三十四页，共43页。
素材
(sùcái) 3
如图，在三棱柱
ABC－A1B1C1 中，E，F，G，H
分别
是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：
第十页，共43页。
【解析】由线面平行的判定定理可知充分条件成立，但 a∥α 时，a 与 b 的 位置关系是平行或异面，即必要条件不 成立，故选 A.
第十一页，共43页。
2.若平面 α∥平面 β，直线 a∥α，点 B∈β，则在平面 β
内且过点 B 的所有直线中( A )
A．不一定存在与 a 平行的直线 B．只有两条与 a 平行的直线 C．存在无数条与 a 平行的直线 D．存在唯一的一条与 a 平行的直线
用符号表示为：a ，b ，a b P， _____， _______ //.
第六页，共43页。
3 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个
平面相交，那么它们的交线 __________ .
用符号表示为： //， a， b
_______ . 特别提醒：线线平行、面面平行有传递性，而线
第十四页，共43页。
4.(教材改编题)已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，下列
结论中，正确的结论是 ①②④ (只填序号)．
①AD1∥BC1;
②平面 AB1D1∥平面 BDC1；
③AD1∥DC1;
④AD1∥平面 BDC1.
第十五页，共43页。
5.如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，点 E、F、H、K 分 别为 AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G 为△ABC 的 重心. 从 K、H、G、B′中取一点作为 P，使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行，则 P 为 G 点 .
2 判定定理平面外一条直线与此平面内的一条
直线③ __________，则该直线与此平面平行．
用符号表示为：a ，b ，且④ ___ a//.
3 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过
这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线 ⑤ __________。
用符号表示为：a//，a ， l ⑥ __.
第二十四页，共43页。
【证明】方法 1：连接 AB1，B1C，如右图． 因为 M 是 AB1 的中点，O 是 AC 的中点，所以 MO∥B1C. 又 MO⊄平面 BB1C1C，B1C⊂平面 BB1C1C，所以 OM∥平 面 BB1C1C.
第二十五页，共43页。
方法 2：取 AB 的中点 N，连接 MN、ON，如图，则 MN∥BB1. 又 MN⊄平面 BB1C1C，BB1⊂平面 BB1C1C， 所以 MN∥平面 BB1C1C. 同理可得 ON∥平面 BB1C1C. 又 MN∩ON＝N，所以平面 MON∥平面 BB1C1C. 而 OM⊂平面 MON，所以 OM∥平面 BB1C1C.
第十二页，共43页。
3.平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( ) A．存在一条直线 a，a∥α，a∥β B．存在一条直线 a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线 a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
第十三页，共43页。
【解析】 A、B、C 中 α 与 β 都有可能相交．
素材 (sùcái)
2 如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰 梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1，F 分别是棱 AD，AA1，AB 的中点．
求证：直线 EE1∥平面 FCC1.
第二十八页，共43页。
【证明】 在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，取 A1B1 的中 点 F1，连接 A1D，C1F1，CF1，FF1，则四边形 FCC1F1 是平 行四边形．
第三十页，共43页。
三 平面与平面平行(píngxíng)的判定与性 质
【例 3】如图，三棱柱 ABC—A1B1C1，D 是 BC 上一点， 且 A1B∥平面 AC1D，D1 是 B1C1 的中点，求证：平面 A1BD1 ∥平面 AC1D.
第三十一页，共43页。
【证明】 连接 A1C 交 AC1 于点 E. 因为四边形 A1ACC1 是平行四边形，所以 E 是 A1C 的中点． 连接 ED.
第二十一页，共43页。
素材 (sùcái
)1 已知两个不同的平面 α，β 和两条不重合的直线 a，b，则 下列四个命题中为真命题的是( )
A．若 a∥b，b⊂α，则 a∥α B．若 α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，则 a⊥β C．若 a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则 α∥β D．若 α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α，则 a∥β
第二十页，共43页。
【点评】(1)运用立方体的模型判断命题的真假，是解 此类问题最常见的方法，解题时除了考虑正方体各侧面、 各侧棱、侧面对角线、正方体的对角线外，也应考虑正方 体的对角面内的各条线段，经过反复验证，错误命题就会 被排除掉．
(2)在判断命题真假时，常就地取材，借助笔、手指、 桌面、书本面等作为直线和平面的模型，构造符合条件的 实体模型，然后考虑结论是否成立．这是解决此类问题的 最直观有效的方法．
第五页，共43页。
2．平面与平面平行的判定与性质
1定义：如果平面与平面 ⑦ _____公共点，
则平面与平面平行，记作⑧ __________ .
特别提醒：两个平面平行，其中一个平面内的任 一直线与另一个平面必平行，即“面//面 线//面”．
2 判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一
个平面⑨ __________，则这两个平面平行．
第三十九页，共43页。
则由比例关系易得 CN＝31CE. 因为 MG∥AE，MG⊄平面 ADE，AE⊂平面 ADE， 所以 MG∥平面 ADE. 同理，GN∥平面 ADE. 又 MG∩GN＝G，所以平面 MGN∥平面 ADE. 而 MN⊂平面 MGN，所以 MN∥平面 ADE. 所以 N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点．
第三十二页，共43页。
因为 A1B∥平面 AC1D， 平面 A1BC∩平面 AC1D＝ED， 所以 A1B∥ED. 因为 E 是 A1C 的中点， 所以 D 是 BC 的中点． 又因为 D1 是 B1C1 的中点，所以 BD1∥C1D，A1D1∥AD. 又 A1D1∩BD1＝D1，所以平面 A1BD1∥平面 AC1D.
第二十九页，共43页。
因为 AB＝2CD，且 AB∥CD，所以 CD A1F1， 所以四边形 A1F1CD 为平行四边形，所以 CF1∥A1D. 又因为 E、E1 分别是棱 AD、AA1 的中点， 所以 EE1∥A1D，所以 CF1∥EE1. 又因为 EE1⊄平面 FCC1，CF1⊂平面 FCC1， 所以直线 EE1∥平面 FCC1.
(1)B，C，H，G 四点共面；
(2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
第三十五页，共43页。
【证明】 (1)因为 GH 是△A1B1C1 的中位线，所以 GH∥B1C1.
又因为 B1C1∥BC，所以 GH∥BC， 所以 B，C，H，G 四点共面．
第三十六页，共43页。
(2)因为 E，F 分别为 AB、AC 的中点，所以 EF∥BC， 因为 EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， 所以 EF∥平面 BCHG. 因为 A1G EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形， 所以 A1E∥GB. 因为 A1E⊄平面 BCHG，BG⊂平面 BCHG， 所以 A1E∥平面 BCHG. 因为 A1E∩EF＝E，所以平面 EFA1∥平面 BCHG.
第二十六页，共43页。
【点评】判断或证明线面平行的常用方法有： (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
第二十七页，共43页。
1 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行； 2 证明这条直线的方向向量和这个平面内的一
个向量相互平行；
3 证明这条直线的方向向量和这个平面的法
向量相互垂直． 3．平面和平面相互平行的证明方法：
1 证明一个平面内的两条相交直线与
另一个平面平行；
2 证明两个平面同时和第三个平面平行； 3 证明两个平面的法向量相互平行．
第一页，共43页。
第二页，共43页。
以立体几何的相关定义、公理和定理 为出发点，认识和理解直线与平面、 平面与平面平行的判定定理和性质定理．
第三页，共43页。
第四页，共43页。
1．直线与平面平行
1定义：如果直线a与平面a① ______公共点，
则直线a与平面a平行，记作② __________ .
第二十二页，共43页。
【解析】选项 A 中，直线 a 可能在平面 α 内；选项 B 中，直线 a 可能在平面 β 内；选项 C 中，直线 a，b 为相交 直线时命题才成立．
第二十三页，共43页。
二 直线与平面平行的判定(pàndìng) 和性质
【例 2】如下图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、O 分别是 A1B、AC 的中点．求证：OM∥平面 BB1C1C.