福建省厦门外国语学校2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含答案)

福建省厦门外国语学校2019～2020学年高二上学期期中测试
数学试题
一. 选择题（第1-8小题为单选题，每题5分，9-10小题为多选题，每题5分，少选得3分，选错得0分，共50分）
1．从编号为001，002，…，460的460个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，己知样本中编号最小的两个编号分别为007，030，则样本中第5个产品的编号应该为( ) A ．099
B ．122
C ．145
D ．168
2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为
1
7
，都是白子的概率是
11
35
，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( ) A.
1
7
B.
1935
C.
1635
D.1
3．已知甲、乙两组数据用茎叶图表示如图所示，若它们的中位数相同， 平均数也相同，则图中的,m n 的比值m
n
等于( ) A ．38
B ．
29
C ．13
D ．
12
4．已知直线l ：1=-y x 与抛物线2
:4C y x =相交于A 、B 两点，则||AB 的长为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
5．已知函数⎩⎨⎧>-≤-=0
,0
,3)(2
x x x m x f x 给出下列两个语句，命题:p )0,(-∞∈∀m ，使得方程0)(=x f 无实数解；命题:q 当3
1
=m 时，0))1((=f f ，则下列为真命题的是( )
A.
q p ∧
B.q p ∧⌝)（
C.)(q p ⌝∧
D.)(q p ⌝∨
6．设椭圆C ：22
194
x y +=的左，右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与C 在第一象
限的交点为P ，则直线1PF 的斜率为( )
A.1
3
B.
12
C.
7．已知数列}{n a 的通项公式为n
a
n a n +=，则“12a a >”是“数列}{n a 单调递增”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.不要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
8．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >），设左、右焦点分别为1F ，2F ，12||2=F F c ，
在C 的右支上存在一点P ，使得以12F F ，2F P 为邻边的平行四边形为菱形，且直线1PF 与圆
()
2
22x c y c -+=相切，则该双曲线C 的离心率为( )
A
B
C
D ．2
9.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.
B.若A 、B 为互斥事件，则A 的对立事件与B 的对立事件一定互斥.
C.某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，则每4人中必有1人抽中.
D.若回归直线a x b y
ˆˆˆ+=的斜率0ˆ>b ，则变量x 与y 正相关. 10. (多选题)下列命题为真命题的是( )
A.()00,x ∃∈+∞，001123x x
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B.()00,1x ∃∈，
10102
3
log log x x >
C.()0,x ∀∈+∞，12
1log 2x
x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
D.10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，13
1log 2x
x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
二. 填空题（每小题5分，共30分）
11.随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为______
12.在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为
2
3
，则m =_______ 13.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____
14.若[]2"2,8,log 4log 2"x x m x ∃∈≤+为真命题，则实数m 的最大值为__________ 15.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是
________
16．如图，过抛物线214
y x =的焦点的直线交抛物线与圆()2
211x y +-=于,,,A B C D 四点，则AB CD ⋅= ______
三、解答题（第17题为10分，其余各题均为12分，共70分）
17.某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.
（1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74 ，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.
18.已知p ：212m a m ++＜＜；q ：函数2()log f x x a =-在区间1,44⎛⎫
⎪⎝⎭
上有零点. (1)若1m =，求使p q ∨为真命题时实数a 的取值范围； (2)若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
19．已知双曲线22
221(0,0)y x a b a b
-=>>0+=y ，且顶点到渐近线
的距离为1.
（1）求此双曲线的方程；
（2）设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若
=，求AOB 的面积.
20．某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据：
验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数y ，再求y 与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．
（1）从这6组数据中随机选取2组数据，求选取的这2组数据的间隔时间不相邻的概率； （2）若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；
附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，……，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+$$$的斜率和截距
的最小二乘估计分别为：()
12
1
n i i
i n
i
i x y nx y b x x ==-=
-∑∑()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i x x y y x x ==--=
-∑∑，a y bx =-.
21.如图，在平面直角坐标系xoy 中，设点1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
F ，直线l :14=-x ，
点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点, 过R 、P 分别作直线1l 、2l ，使1l PF ⊥，2l l ⊥12l l Q =.
(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；
(2)已知⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点)
1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．
22.如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 过点）
，（221，离心率为2
2
，左、右焦点分别为F 1、F 2.点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别
为
A 、
B 和
C 、
D ，O 为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程．
(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2.
(ⅰ)证明：
23
12
1=-k k ； (ⅱ)问直线l 上是否存在点P ，使得直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率k OA 、k OB 、k OC 、k OD 满足k OA ＋
k OB ＋k OC ＋k OD ＝0？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．A 【解析】 【分析】
系统抽样所有样本编号成等差数列. 【详解】
由系统抽样所有样本编号成等差数列，可以理解为127,30a a ==求5a 的值.
由127,3023a a d ==⇒=，514742399a a d ∴=+=+⨯=所以编号为099选择A. 【点睛】
考查系统抽样特点：所有样本编号成等差数列，从而转化为数列题，属于简单题. 2．C 3．A 【解析】 【分析】
从茎叶图提取甲、乙两组数据中的原始数据，并按从小到大排列，分别得到中位数30,33m +，并计算各自的平均数，再根据中位数、平均值相等得到关于,m n 的方程. 【详解】
甲组数据：27,30,39m +，中位数为30m +， 乙组数据：20,32,34,38n +，中位数为：
3234
332
+=， 所以27(30)3996(20)3234381243344
m m n n
x x +++++++++=
===甲乙，，
所以3033,
3,3961248,83
4m m m m n n n +=⎧=⎧⎪
⇒⇒=++⎨⎨==⎩⎪⎩，故选A. 【点睛】
本题考查中位数、平均数的概念与计算，对甲组数据排序时，39一定是最大，乙组数据中
20n +一定是最小.
4．D 5．A 6．B 7．A 【解析】 【分析】
分别根据数列单调递增的性质证明充分性和必要性，得到答案. 【详解】 充分性：
时，
，即
，此时
，
又，故，所以成立，满足充分条件；
必要性：若为递增数列，则恒成立，，故，此时
，满足必要条件，
故答案选. 【点睛】
本题考查了数列的单调性，充分必要条件，分别判断函数的充分性和必要性是解题的关键. 8．B 【解析】
由题设1122PF F F c ==，设直线与()2
22x c y c -+=相切点T ，则122,PF TF TF c ⊥=，在
12Rt FTF ∆中，故211cos 60TF F PF ∠=⇒=，则由双曲线的定义可得
2122PF PF a a =-=-，所以1
222
c a c e a -=⇒=
=
，应选答案B 。

点睛：解答本题的关键是依据题设条件中的“以12F F ，2F P 为邻边的平行四边形为菱形”可以推断1122PF F F c ==，即12PF F 是等腰三角形，进而依据1PF 所在直线与圆
()
2
22x c y c -+=相切推知切点是1PF 的中点，且122,PF TF TF c ⊥=，进而推得
211cos 60TF F PF ∠=⇒=，最后运用双曲线的定义建立方程
22
c
a c e
a
-=⇒==
9.AD
10.BD
【解析】
【分析】
A选项中构造幂函数0
(0)
x
y x x
=>，再利用增函数性质进行比较大小；B选项中借助函数
1
2
log
y x
=
与1
3
log
y x
=
的图象比较大小；C选项中()
0,
x
∀∈+∞，
1
2
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
的值恒大小0，而
1
2
log x
的值可正可负；D选项中
1
2
x
⎛⎫
⎪
⎝⎭
恒小于1，而1
3
log x
恒大于1.
【详解】
对A选项，构造幂函数0
(0)
x
y x x
=>，因为00
x>，所以幂函数在(0,)
+∞单调递增，
因为
11
23
>，所以00
11
23
x x
⎛⎫⎛⎫
>
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
恒成立，故A是错误的；
对B选项，如图所示，1
2
log
y x
=
的图象为虚线部分，1
3
log
y x
=
的图象为实线部分，显然
()
0,1
x∃∈，使得1010
23
log log
x x
>
成立，故B正确；
对C选项，()
0,
x
∀∈+∞，1
1
2
x
⎛⎫
< ⎪
⎝
<
⎭
恒成立，而当
1
4
x=时，1
2
1
2
og
4
l=，所以
1
2
1
log
2
x
x
⎛⎫
>
⎪
⎝⎭
不会恒成立，故C是错误；
对D选项，
1
0,
3
x
⎛⎫
∀∈ ⎪
⎝⎭
，由指数函数
1
2
x
y
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的图象知，函数值恒小于1，由对数函数
13
log y x =的图象知，函数值恒大于1，所以13
1log 2x
x ⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立，故D 正确；
故选：BD. 【点睛】
本题考查简易逻辑中的全称命题与特称命题，与幂函数、指数函数、对数函数知识进行交会，综合考查三个函数的图象与性质，求解过程中注意引入中间变量0或1进行比较大小. 11．3 【解析】 【分析】
根据频率分布直方图，求得不小于40岁的人的频率及人数，再利用分层抽样的方法，即可求解，得到答案． 【详解】
根据频率分布直方图，得样本中不小于40岁的人的频率是0.015×10+0.005×10=0.2， 所以不小于40岁的人的频数是100×0.2=20；
从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，
在[50，60）年龄段抽取的人数为0.00510100
12320
⨯⨯⨯
=．
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及频率分布直方图中概率的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 12．2 【解析】 【分析】
画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可. 【详解】 如图所示，
区间[2,4]-的长度是6，
在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23
， 则有
22
63
m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】
该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目. 13．
710
. 【解析】 【分析】
先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案. 【详解】
从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2
510C =种情况.
若选出的2名学生恰有1名女生，有11
326C C =种情况， 若选出的2名学生都是女生，有2
21C =种情况， 所以所求的概率为617
1010
+=. 【点睛】
计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”. 14．5
【解析】 【分析】
根据题意转化为()2max log 4log 2x m x ≤+，利用21
log 2log x x
=，可将函数进行换元，利用
对勾函数求函数的最大值. 【详解】
当[]2,8x ∈时，[]2log 1,3x ∈ 又21
log 2log x x
=
，设[]2log 1,3x t =∈ ， 设24log 4log 2x y x t t
=+=+
当1t =时，取得最大值max 5y =.
若[]2"2,8,log 4log 2"x x m x ∃∈≤+为真命题，
()2max log 4log 2x m x ≤+ ，
即5m ≤,
m ∴的最大值是5.
故填:5. 【点睛】
本题考查了根据全称命题的真假，求参数取值范围的问题，考查了转化与化归的思想，若存在0x ，使(
)0
m f x ≤，即()()m a
x m f x ≤，若0x ∀，使(
)0
m f x ≤恒成立，
所以()()min m f x ≤，需注意时任意还是存在问题.
15
．0,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
设椭圆的方程为22
221x y a b
+=，根据题意可得点M 在以为12F F 直径的圆上运动且这个圆上的
点都在椭圆内部．由此建立a 、b 、c
的不等式，解出a ．再利用离心率的公式加以计
算，可得此椭圆离心率的取值范围． 【详解】
解：设椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，焦点为1(,0)F c -、2(,0)F c ，如图所示．
若点M 满足120MF MF =，则12MF MF ⊥， 可得点M 在以为12F F 直径的圆上运动， 满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，
∴以为12F F 直径的圆是椭圆内部的一个圆，即椭圆短轴的端点在椭圆内．
由此可得b c >c ，解之得a >．
因此椭圆的离心率c e a =
<(0,2
．
故答案为：(0,
2
【点睛】
本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的离心率的范围．着重考查了向量数量积的运算性质、椭圆的标准方程与简单性质等知识，属于中档题． 16．1 【解析】 【分析】
设过抛物线的焦点F 的直线1y kx =+，与2
14
y x =联立，结合抛物线的第一定义和韦达定理及圆的性质，求出AB CD ⋅的乘积 【详解】
抛物线的焦点为()0,1F ，准线为1y =-，可设直线方程为1y kx =+，直线1y kx =+，与
2
14
y x =
联立得：()
224210y k y --+=，可得1A D y y =,111A A AB AF y y =-=+-=,
111D D CD DF y y =-=+-=,1AB CD ∴⋅=
答案为1. 【点睛】
抛物线的弦长问题通常转化为到准线距离,本题既考查了直线与圆，又考查了直线与抛物线的应用问题
17.(1) 男、女同学的人数分别为3人，1人；(2) 1
2
；(3) 第二位同学的实验更稳定，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）设有x 名男同学，利用抽样比列方程即可得解
（2）列出基本事件总数为12，其中恰有一名女同学的有6种，利用古典概型概率公式计算即可
（3）计算出两位同学的实验数据的平均数和方差，问题得解 【详解】
（1）设有x 名男同学，则
45604
x
=，∴3x =，∴男、女同学的人数分别为3人，1人 （2）把3名男同学和1名女同学记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有12(,)a a ，
13(,)a a ，1(,)a b ，21(,)a a ，23(,)a a ，2(,)a b ，31(,)a a ，32(,)a a ，3(,)a b ，1(,)b a ，2(,)b a ，3(,)b a 共12种，其中恰有一名女同学的有6种，
∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122
P =
= （3）16870717274715x ++++=
=，26970707274
715
x ++++==
22222
21
(6871)(7071)(7171)(7271)(7471)45
s -+-+-+-+-==，
22222
22
(6971)(7071)(7071)(7271)(7471) 3.25
s -+-+-+-+-==
因22
12s s >，所以第二位同学的实验更稳定. 【点睛】
本题主要考查了分层抽样比例关系及古典概型概率计算公式，还考查了样本数据的平均数及方差计算，考查方差与稳定性的关系，属于中档题 18．（Ⅰ）()2,2-；（Ⅱ）(]1,1- 【解析】 【分析】
（Ⅰ）判断函数的单调性和根据零点存在定理求解；
（Ⅱ）根据p 是q 成立的充分不必要条件得p 集合是q 集合的子集求解，注意是否有等号成立. 【详解】
解：（Ⅰ）当1m =时，p :02a ＜＜ ∵函数2()log f x x a =-在区间1,44⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增 且函数2()log f x x a =-在区间1,44⎛⎫
⎪⎝⎭
上有零点 ∴1
()04(4)0
f f ⎧<⎪⎨⎪⎩＞ 解得22-＜a ＜， 则q ：22-＜a ＜. ∵p q ∨为真命题， ∴02,a <<或22-＜a ＜， 解得2 2.a -<＜
则a 的取值范围是()2,2-.
（Ⅱ）∵p ：211m a m -+＜＜，q ：22-＜a ＜，且p 是q 成立的充分条件
∴212,(1)12,(2)m m -≥-⎧⎨+≤⎩
∴11m -≤≤
又因为p 是q 成立的不必要条件，所以（1）、（2）等号不能同时成立 ∴1m ≠-
综上得，实数m 的取值范围是(]1,1-. 【点睛】
本题考查复合命题的真假和充分必要条件的判断，属于基础题.
19．(1) 2214
y x -=.(2)2.
【解析】 【分析】
（1）由双曲线的一条渐近线方程为20x y +=
，列出方程组，即可求解.
（2）由（1）知双曲线的渐近线方程为2y x =±，根据AP PB =uu u r uu r
得点P 的坐标代入双曲线的
方程，求得1mn =，进而利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】
（1
0+=y ，且顶点到渐近线的距离为1，
可得1⎧=⎪=a
b
，解得2=⎧⎪⎨=
⎪⎩a b 22
3144-=y x . （2）由（1
）知双曲线的渐近线方程=y
，设(,)A m
，()-B n ，其中0m >，
0n >，
由AP PB =uu u r uu r 得点P 的坐标为,2m n m n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入22
3144
-=y x ，
整理得4
3
=
mn ，
设2AOB θ∠=，则tan θ=
，3
πθ=从而sin 2θ=， 又||2=OA m ，||2=OB n ，
∴1||||sin 22θ∆===
AOB S OA OB 【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，合理利用向量的坐标运算求得点P 的坐标，得出1mn =是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 20．（1）2
3
；（2） 1.49.6y x =+，见解析；（3）18 【解析】 【分析】
（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；
（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可； （3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间． 【详解】
（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A . 记这六组数据分别为1,2,3,4,5,6，23,24,25,26,34,35,36,45,46,56， 剩下的两组数据的基本事件有12,13,14,15,16,，共15种， 其中相邻的有12,23,34,45,56,共5种，所以()521153
P A =-=. （2）后面4组数据是：
因为1213141513.54x +++=
=，26282931
28.54
y +++==，
所以
()()()()()1
1.5
2.50.50.5n
i
i
i x x y y =--=-⨯-+-⨯∑()0.50.5 1.5 2.57+⨯-+⨯=，
()
22
2
1
111213131322n
i
i x x =⎛
⎫⎛⎫-=-+- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭∑2
2
2
2
1131141315132252222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+-+-=⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以()()
()
1
2
1
7
1.45
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
=
=-∑∑，28.5 1.413.59.6a y bx =-=-⨯=， 所以 1.49.6y x =+，
当10x =时， 1.4109.623.6y =⨯+=,23.6230.61-=<； 当11x =时, 1.4119.625y =⨯+=,252501-=<； 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”. （3）由1.49.635x +≤，得1
187
x ≤，故间隔时间最多可设置为18分钟. 【点睛】
本题主要考查古典概型计算公式，求线性回归直线方程及其应用等知识，属于中档题． 21.解： (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．
∴PQ QF =．故动点Q 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为：x y =2
．
（2）：设),(),,(2211y x B y x A ，∵411-=
x y k MA ，∴1
1
4y x k HA -=，
可得，直线HA 的方程为0154)4(111=-+--x y y x x ， 同理，直线HB 的方程为0154)4(222=-+--x y y x x ，
∴0154)4(101201=-+--x y y y x ，0154)4(2022
02=-+--x y y y x ， ∴直线AB 的方程为0154)4(02
0=-+--x yy y x ， 令0=x ，可得)1(15
400
0≥-
=y y y t ，
∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞单调递增， ∴11min -=t ． 22.【答案】 (1)解：因为椭圆过点(1，
)，e ＝
，
所以＝1，＝.又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝，b ＝1，c ＝1.
故所求椭圆方程为＋y 2＝1.
(2)(ⅰ)证明：方法一：由于F 1(－1,0)、F 2(1,0)，PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，且点P 不在
x 轴上，
所以k 1≠k 2，k 1≠0，k 2≠0.又直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋1)，y ＝k 2(x －1)，
联立方程解得所以P (，)．由于点P 在直线x ＋y ＝2上，
所以＝2.因此2k 1k 2＋3k 1－k 2＝0，即＝2，结论成立．
方法二：设P (x 0，y 0)，则k 1＝，k 2＝.
因为点P 不在x 轴上，所以y 0≠0. 又x 0＋y 0＝2， 所以
＝2.
因此结论成立．
(ⅱ)解：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，D (x D ，y D )．
联立直线PF 1与椭圆的方程得化简得(2k ＋1)x 2
＋4k x ＋2k －2＝0，
因此x A ＋x B ＝－，x A x B ＝，
由于OA ，OB 的斜率存在，所以x A ≠0，x B ≠0，因此k ≠0,1. 因此k OA ＋k OB ＝
＝2k 1＋k 1＝k 1(2－)＝－＝－.
相似地，可以得到x C≠0，x D≠0，k≠0,1，k OC＋k OD＝－，
故k OA＋k OB＋k OC＋k OD＝－2(＋)
＝－2＝－.若k OA＋k OB＋k OC＋k OD＝0，
须有k1＋k2＝0或k1k2＝1.
①当k1＋k2＝0时，结合(ⅰ)的结论，可得k2＝－2，所以解得点P的坐标为(0,2)；
②当k1k2＝1时，结合(ⅰ)的结论，解得k2＝3或k2＝－1(此时k1＝－1，不满足k1≠k2，舍去)，此时直线CD的方程为y＝3(x－1)，联立方程x＋y＝2得x＝，y＝.因此P(，)．综上所述，满足条件的点P的坐标分别为(0,2)，(，)．。