2016年高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题03 导数(含解析)

第三章 导数
导数与函数的单调性、极值、最值
【背一背重点知识】
1. 求函数单调区间的步骤：(1）确定()f x 的定义域，(2）求导数'
()f x ，(3）令'
()0f x >(或
'()0f x <),解出相应的x '()0f x >时，()f x 在相应区间上是增函数；当'()0f x <时，
()f x 在相应区间上是减函数
2. 求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程'
()0f x =的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值．.
3. 求函数)(x f y =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数)(x f y =在(),a b 内的极值；
(2)将函数)(x f y =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【讲一讲提高技能】
1.必备技能：函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质，函数的单调区间是函数的定义域的子区间，求函数的单调区间时千万不要忽视函数的定义域．如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．
利用导数研究函数最值问题讨论思路很清晰，但计算比较复杂，其次有时需要二次求导研究导函数的最值来判断导函数的正负．
根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同X 围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论． 2.典型例题： 例1 函数34
11()34
f x x x =
-在区间[]3,3-上的极值点为________．
分析:因为34
11()34
f x x x =
-，所以232()(1)f x x x x x '=-=--，令()0f x '=，则0x =或1x =,因为[]3,3x ∈-，所以1x =，并且在1x =左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，所以函数34
11()34
f x x x =
-在区间[]3,3-上的极值点为1． 例2已知不等式02
≥++c bx ax 的解集[]3,1-，则函数m cx ax bx x f +++-=2
3
6
1
)(单
调递增区间为( )
A. (-），（∞+∞3),1-,
B. (-1,3)
C.( -3,1)
D.(），（∞+-∞-1),3, 分析：先由不等式02
≥++c bx ax 的解集[]3,1-，得到0a <,2,3b a c a =-=-，得
321
()33
m f x a x x x a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭,对()f x 求导得()'2()23f x a x x =+-，再根据函数单调
性和导数正负的关系得到'
()0f x >时，()3,1x ∈-，即得答案．
【答案】C
【练一练提升能力】
1.设)(x f 是定义在R 上的函数，其导函数为)(x f '，若)(x f +1()f x '<，()02015f =，则不等式201(4)x
x
e e
f x ->（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()2014,2015B ．()()02015, -∞+∞，
C ．()0+∞，
D ．()0∞-， 【答案】D
【解析】构造函数()()x
x
F x e f x e =-，因此()()()()
1x
F x f x f x e ''=+-，故函数
()()x x F x e f x e =-在R 上是减函数，所以201(4)x x e e f x ->，即()()0F x F >，因此
201
(4
)
x x
e e
f x->的解集()0
∞
-，，故答案为D．
2. 设a R
∈，若函数,
x
y e ax x R
=+∈有大于零的极值点，则（）
A．1
a<-B．1
a>-C．
1
a
e
>- D．
1
a
e
<-
【答案】A
利用导数探求参数的X围问题
【背一背重点知识】
1. 由函数的单调性求参数的取值X围，这类问题一般已知()
f x在区间I上单调递增(递减)，等价于不等式'()0
f x≥(或'()0
f x≤)在区间I上恒成立，通过分离参数求得新函数的最值，从而求出参数的取值X围．
2.常见结论：(1)若x I
∀∈，()
f x0
>恒成立，则
min
()
f x0
>; 若x I
∀∈，()
f x0
<恒
成立，则
max
()
f x0
<
(2)若
x I
∃∈，使得
()
f x0
>，则
max
()
f x0
>；若
x I
∃∈，使得
()
f x0
<，则min
()
f x0
<.
(3)设()
f x与()
g x的定义域的交集为D，若x
∀∈D ()()
f x
g x
>恒成立，则有
[]
min
()()0
f x
g x
->.
(4)若对
11
x I
∀∈、
22
x I
∈，
12
()()
f x
g x
>恒成立，则
min max
()()
f x
g x
>.
(5)若对
11
x I
∀∈，
22
x I
∃∈，使得
12
()()
f x
g x
>,则
min min
()()
f x
g x
>.
(6)若对
11
x I
∀∈，
22
x I
∃∈，使得
12
()()
f x
g x
<，则
max max
()()
f x
g x
<.
(7)已知()
f x在区间
1
I上的值域为A,，()
g x在区间
2
I上值域为B，若对
11x I ∀∈,22x I ∃∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ⊆.
(8)若三次函数()f x 有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大于0，极小值小于0.
(9)证题中常用的不等式:① ln 1(0)x x x ≤
->； ② ln +1(1)x x x ≤>-（）；③
1x e x ≥+； ④ 1x e x -≥-；⑤ ln 1
(1)12
x
x x x -<>+； ⑥
22
ln 11
(0)22x x x x
<-> 【讲一讲提高技能】
1.必备技能：不等式恒成立求参数取值X 围问题经常采用下面两种方法求解：一是最常使用的方法是分离参数求最值，即要使()a g x ≥恒成立，只需()max a g x ≥x ，要使()a g x ≤恒成立，只需()min a g x ≤，从而转化为求()f x 的最值问题．二是，当参数不宜进行分离时，还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如：要使不等式()0f x ≥恒成立，可求得
()f x 的最小值()h a ，令()0h a ≥即可求出a 的X 围．
2.典型例题：
例1设()(1)x
f x e a x =-+，若0,()0a f x >≥对一切x R ∈恒成立，求a 的最大值． 分析：在0,()0a f x >≥对一切x R ∈恒成立，只需要求出()f x 的最小值，最小值大于或等于零，由()(1)x
f x e a x =-+，利用导数求出最小值为ln a a -，令ln 0a a -≥，解出a 的最大值为1． 【答案】max 1a =
例2已知函数()()2
ln x x b f x x
+-=
（R b ∈）．若存在1,22
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得
()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值X 围是（ ）
A ．3,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．9,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭ C ．(),3-∞ D ．()
,2-∞
试题分析：()()0f x xf x '+>⇒()0xf x '>⎡⎤⎣⎦，设()()()2
ln g x xf x x x b ==+-，若存
在1
,22
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则函数()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上存在子区间使得
()0g x '>成立，
()()212212x bx g x x b x x -+'=+-=，设()2
221h x x bx =-+，则()20h >或102h ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，
即8410b -+>或
1102
b -+>，得9
4b <，故选B ．
【练一练提升能力】
1. 已知函数1
()()2ln ()f x a x x a R x =--∈，()a
g x x
=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的X 围为( ) A ．[
2e ，+∞) B ．(0，+∞) C ．[0，+∞) D ．(2
e
，+∞) 【答案】B
2.已知函数()2
1
2-
+=x e x x f ()0<x 与()()a x x x g ++=ln 2的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值X 围是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-e 1,
B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-e e ,1
C ．()
e ,∞- D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-e e 1,
【答案】C.
【解析】由题意可得，存在()0,0∞-∈x ，满足()()a x x e x x
+-+-=-
+02
02
0ln 2
10， 即()0ln 2
1
00
=+---
a x e
x 有负根，
利用定积分求解平面图形的面积
【背一背重点知识】
定积分求曲边梯形面积：
1.由三条直线()
,
x a x b a b
==<，x轴及一条曲线()
y f x
= (()0
f x≥)围成的曲边梯的面积⎰=b a dx
x
f
S)
(.
2.如果图形由曲线
11
()
y f x
=，
22
()
y
f x
=（不妨设
12
()()0
f x f x
≥≥），及直线()
,
x a x b a b
==
<围成，那么所求图形的面积S＝S曲边梯形AMNB－S曲边梯形DMNC＝
⎰⎰-
b
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f)
(
)
(
2
1
.
3. 如果图形由曲线()
y f x
=以及直线()
,
x a x b a b
==<如下图围成，那么所求图形的面积为x轴上方的积分值，加上x轴下方的积分值的相反数．
【讲一讲提高技能】
1必备技能：
定积分的应用及技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求定积分．(2)求被积函数是分段函数
的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分再求和．(3)对含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能求定积分．(4)应用定积分求曲边梯形的面积，解题的关键是利用两条曲线的交点确定积分区间以及结合图形确定被积函数．求解两条曲线围成的封闭图形的面积一般是用积分区间内上方曲线减去下方曲线对应的方程、或者直接作差之后求积分的绝对值，否则就会求出负值．
[易错提示] 在使用定积分求两曲线围成的图形的面积时，要注意根据曲线的交点判断这个面积是怎样的定积分，既不要弄错积分的上下限，也不要弄错被积函数．
用微积分基本定理求定积分时，要掌握积分与导数的互逆关系及求导公式的逆向形式． 2典型例题：
例1由直线1,2x x ==，曲线1
y x
=及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．
74 B ．11
4
C ．ln 2
D ．2ln 2 【答案】C
例2如图是函数5cos(2)6
y x π
=-在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（ ） A ．
34 B ．54 C ．3
2
D ．332-
12
π
-
6
π
x
y
O
分析：由函数图像可得，阴影的最右的端点坐标为)0,
3
2
(
π
，将阴影分为两部分0,
6
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
与
2
,
63
ππ
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，利用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．
【答案】B
【练一练提升能力】
1.函数2
()2(,)
f x x x m x m R
=++∈的最小值为1-，则2
1
()
f x dx
⎰等于（）A．2 B．
16
3
C．6 D．7
【答案】B
【解析】由题22
()2(1)1
f x x x m x m
=++=++-，最小值为110
m m
-=-⇒=即2
()2
f x x x
=+，故()
222322
1
11
116
()2
33
f x dx x x dx x x
⎛⎫
=+=+=
⎪
⎝⎭
⎰⎰
2. 若()
3
2
4
10
cos2
x a dx xdx
π
-=
⎰⎰，则a等于（）
A．1
- B．1 C．2 D．4【答案】C
【解析】
试题分析：由()
2
22
1
1
13
22
x a dx x ax a
⎛⎫
-=-=-
⎪
⎝⎭
⎰，
3
3
4
4
11
cos2sin2
22
xdx x
π
π
==-
⎰，所以
31
22
a
-=-，解得2
a=，故选C．
（一）选择题（12*5=60分）
1. 函数()(1)ln x
f x x e x =-+的图象在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ） A ．21y ex e =-- B ．21y ex e =-+ C ．21y ex e =+- D ．21y ex e =++ 【答案】A 【解析】
试题分析：由函数()(1)ln x
f x x e x =-+知()11f e =-，()'1
1x x f x e xe x
=-++
，所以()'12k f e ==，在点(1,(1))f 处的切线方程是()()121y e e x --=-，化简得
21y ex e =--．
2.如图，阴影部分的面积是（ ）
A ．3．－3．353 D ．323
【答案】D 【解析】 试题分析：()1
2321
33132323|33S x x dx x x x --⎛⎫=
--=--= ⎪⎝⎭
⎰ 3.将ln y x =的图象绕坐标原点O 逆时针旋转角θ后第一次与y 轴相切，则角θ满足的条件是( )
A ．θθcos sin =e
B ．θθcos sin e =
C ．1sin =θe
D ．1cos =θe
【答案】B
4. 知函数()323f x ax bx x =+-在1x =±处取得极值，若过点()0,16A 作曲线()y f x =的切线，则切线方程是（ ）
A.9160x y +-=
B.9160x y -+=
C.9160x y +-=
D.9160x y -+=
【答案】B
5. 函数()f x 的定义域是R ，()02f =，对任意()(),1x R f x f x '∈+>，则不等式()1x x e f x e ⋅>+的解集为（ ）
A .{}|0x x >
B .{}|0x x <
C .{}|101x x x <-<<或
D .{}|11x x x ><-或
【答案】A
【解析】构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.
6. 已知函数1)(+-=mx e x f x 的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线x y 21=
垂直的切线，则实数m 的取值X 围是（ ）
A ．2≤m
B ．2>m
C ．2
1-
≤m D ．21->m 【答案】B
【解析】
试题分析：由题意可知 ()'x
f x e m =-，存在x 使得2x e m -=-有解，则2x m e =+有解，22x e +> ，知2>m 成立,选B ．
7.已知函数)(x f 的导函数)('x f 图象如图所示，那么函数)(x f 的图象最有可能的是（）
【答案】A
8.对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'
(1)()0x f x -≥，则必有（ ）
A ．(0)(2)2(1)f f f +<
B ．(0)(2)2(1)f f f +≤
C ．(0)(2)2(1)f f f +≥
D ．(0)(2)2(1)f f f +>
【答案】C
【解析】
试题分析：因为'(1)()0x f x -≥，所以当1x >时，'()0f x >；当1x <时，'()0f x <；所以()f x 在(1,)+∞为增函数，在(,1)-∞上为减函数，所以(2)(1),(0)(1)f f f f ≥≥，所
以(0)(2)2(1)f f f +≥，故应选C ．
9. 已知()y f x = 为R 上的连续可导函数，当x ≠0时()'()0f x f x x
+> ，则函数1()()g x f x x
=+ 的零点个数为（ ） A .1 B .2 C .0 D .0或2
【答案】C
【解析】∵当x ≠0时，()'()0f x f x x
+>，∴()()0＞xf x f x x '+，要求关于x 的方程0(1)＝f x x
+的根的个数可转化成10（）xf x += 的根的个数，令1（）（）F x xf x =+ 当0x > 时，0（）（）＞xf x f x '+即0（）＞F x ' ，∴F （x ）在（0，+∞）上单调递增；当x
＜0时，0（）（）＜xf x f x '+ 即0（）＜F x ' ，
∴（）F x 在（-∞，0）上单调递减而（）y f x = 为R 上的连续可导的函数∴10（）xf x += 无实数根，故选C ．
10.设点P 是曲线3y x b =+（b 为实常数）上任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值X 围是（ ）
A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．5,26ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
D ．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
【答案】D
【解析】
试题分析：设点P （x,y ）,所以3332-≥-=x y ',所以3-≥=αtan k ,则，∈α[0，
2π)∪)3
2[ππ，．故选D ． 11. 将边长为2的等边PAB ∆沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合（如图），设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =的有下列说法：①()f x 的值域为[]0,2；②()f x 是周期函数；③()()()4.12013f f f π<<；④()6092f x dx π=⎰，其中正确的个数是（ ）
【答案】C 3 4.1πP 4y x
P'''
P''O 26P'B A P
12.32()132x a f x x x =-++函数在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有极值点,则实数a 的取值X 围是( ) A.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.102,
3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】C
填空题（4*5=20分）
13.若函数()x x mx x f 2ln 2
-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值X 围是__． 【答案】⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,21
【解析】
试题分析：函数()x x mx x f 2ln 2-+=的定义域为()+∞,0，因为其为定义域上的增函数，所以满足()0212'>-+
=x mx x f 在()+∞,0上恒成立，整理得2
1112121122+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=->x x x m ，因为max 2)211(x x m ->，所以实数m 的取值X 围是⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,21． 14. 设函数0)(),()(3
=+-=x f b bx x x f 若方程为常数的根都在区间[-2，2]内，且函数)(x f 在区间（0，1）上单调递增，则b 的取值X 围是.
【答案】[]4,3
15.若函数21
()ln 12
f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值X 围是． 【答案】3[1,)2
【解析】 试题分析：根据题意，114()()122'()222x x f x x x x
+-=-=，所以函数有一个极值点12，所以有101112
a a a -≥⎧⎪⎨-<<+⎪⎩，解得312a ≤<，所以实数a 的取值X 围是3[1,)2． 16. 已知函数()x f x e ax
b =--，若()0f x ≥恒成立，则ab 的最大值为
【答案】2
e 【解析】由题意()x
f 'x e a,=-若a 0=,则()x f 'x e 0=>在R 上恒成立，若
0a =()0x f x e ax b =--≥恒成立， 则≤b 0, 此时ab 0=；若a 0<,则f'(x)>0,函数单调递增，此不可能恒有()0f x ≥；若a 0,>则得极小值点x lna =, 由
()f lna a alna b 0=--≥，得()b a 1lna ≤-()()2ab a 1ln g a a ≤-=现求
()()2g a 1ln a a =-的最大值： 由()()()'a 2a 1lna a a 12lna 0g =--=-=，得极大值
点112
2a e ,2
e g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 所以ab 的最大值为2e。