金新学案 北师大高中数学选修检测 阶段质量评估1 含答案

第一章常用逻辑用语
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题：
①至少有一个实数x使x2－x＋1＝0成立；
②对于任意的实数x都有x2－x＋1＝0成立；
③所有的实数x都使x2－x＋1＝0不成立；
④存在实数x使x2－x＋1＝0不成立．
其中全称命题的个数是()
A．1B．2
C．3 D．4
解析：②与③含有全称量词“任意的”，“所有的”，故为全称命题，①与④是特称命题．
答案： B
2．给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b且c≠d，则a＋c≠b＋d”．对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中的真命题有()
A．0个B．1个
C．2个D．4个
解析：原命题是假命题，如3≠5,4≠2，但3＋4＝5＋2，逆命题为“若a＋c≠b＋d，则a≠b且c≠d”也是假命题，如3＋4≠3＋5中，a＝b＝3，c＝4，d＝5，c≠d，由原命题与逆否命题等价、否命题与逆命题等价，知否命题和逆否命题均为假命题，故选A.
答案： A
3．下列命题是真命题的有()
①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；
②“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆命题；
③“全等三角形的面积相等”的否命题．
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析：只有①正确．
4．下列语句是特称命题的是( ) A ．整数10是2和5的倍数 B ．存在整数n ，使n 能被11整除 C ．若3x －7＝0，则x ＝7
3
D ．任给x ∈M ，p (x )
解析： A 为“p 且q ”命题，D 为全称命题，C 为简单命题，故选B. 答案： B
5．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析： 若x ＋y ＝0与x －ay ＝0互相垂直， 则x －ay ＝0的斜率必定为1，故a ＝1；
若a ＝1，直线x ＋y ＝0和直线x －y ＝0显然垂直． 答案： C
6．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0
解析： “对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”等价于关于x 的不等式：x 3－x 2＋1≤0恒成立，其否定为：x 3－x 2＋1≤0不恒成立；即存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1＞0成立，故选C.
答案： C
7．命题“负数的平方是正数”隐含的量词是( ) A ．有一个 B ．有些 C ．不含有量词
D ．任意一个
解析： 这是一个省略量词的全称命题．故选D. 答案： D
8．“a ＝－1”是函数f (x )＝ax 2＋(a －1)x －1有且只有一个零点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解析： 当a ＝0时，函数f (x )也只有一个零点，故必要性不成立． 答案： A
9．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．x <0 B ．x ≥0
C ．x ∈{－1,3,5}
D ．x ≤－1
2
或x ≥3
解析： 原不等式的解集为{x |x ≤－1
2或x ≥3}，其充分不必要条件应为其真子集．选项中
只有C 符合．
答案： C
10．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为( )
A ．m ≥3
B ．m ＜8
C ．m ≥3或m ＜8
D ．3≤m ＜8
解析： 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0，解得m ＜8，故实数m 的取值范围为3≤m ＜8，故选D.
答案： D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．命题“若ab 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是______．
解析： 将原命题的结论和条件的否定分别作为命题的条件和结论，即为其逆否命题． 答案： 若a ，b 至少有一个为零，则ab 为零
12．“|x －1|<2成立”是“x (x －3)<0成立”的________条件． 解析： 由|x －1|<2，得－2<x －1<2⇔－1<x <3. 由x (x －3)<0⇔0<x <3， 显然，有－1<x <3⇐0<x <3. 答案： 必要不充分
13．已知命题p ：1∈{x |x 2＜a }，q ：2∈{x |x 2＜a }，则“p 且q ”为真命题时a 的取值范围是________．
解析： 由1∈{x |x 2＜a }，得a ＞1； 由2∈{x |x 2＜a }，得a ＞4.
当“p 且q ”为真命题时，有p 真q 真，所以a ＞4. 答案： a ＞4 14．有下列四个命题：
①“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”；
②“若sin α＋cos α＝π
3，则α是第一象限角”的否命题；
③“若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题； ④“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的逆命题． 其中是真命题的有________．
解析： 对于①，取x ＝y ＝－1，可知①是假命题；
对于②，其否命题为“若sin α＋cos α≠π3，则α不是第一象限角”．取α＝π
4，可知②是
假命题；
对于③，当b ≤0时，Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，其逆否命题也为真命题；
对于④，其逆命题为“若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ”是真命题． 答案： ③④
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题，并判断真假．
(1)p ：1是质数，q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；
(2)p ：平行四边形的对角线相等，q ：平行四边形的对角线互相垂直； (3)p ：N ⊆Z ，q ：0∈N .
解析： (1)因为p 假，q 真，所以p 或q ：1是质数或是方程x 2＋2x －3＝0的根，为真；p 且q ：1是质数且是方程x 2＋2x －3＝0的根，为假；非p ：1不是质数，为真．
(2)因为p 假，q 假，所以p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假；p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相垂直，为假；非p ：平行四边形的对角线不一定相等，为真．
(3)因为p 真，q 真，所以p 或q ：N ⊆Z 或0∈N ，为真；p 且q ：N ⊆Z 且0∈N ，为真；非p ：N ⃘Z ，为假．
16．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)m >1
4时，mx 2－x ＋1＝0无实根；
(2)当ab ＝0时，a ＝0或b ＝0.
解析： (1)原命题：若m >1
4，则mx 2－x ＋1＝0无实根，是真命题；逆命题：若mx 2－x
＋1＝0无实根，则m >14，是真命题；否命题：若m ≤1
4，则mx 2－x ＋1＝0有实根，是真命题；
逆否命题：若mx 2－x ＋1＝0有实根，则m ≤1
4
，是真命题．
(2)原命题：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，是真命题；逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，是真命题；否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，是真命题；逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，是真命题．
17．(12分)设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2
＋2x －8＞0，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
解析： 设p ：A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＜0} ＝{x |3a ＜x ＜a ，a ＜0}，
q ：B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8＞0} ＝{x |x ＜－4或x ≥－2}． ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件，
∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4，a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧
3a ≥－2，
a ＜0，
解得－2
3
≤a ＜0或a ≤－4.
18．(14分)已知a >0.设命题p ：函数y ＝a x 为减函数，命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤
12，2时，函数y ＝x ＋1x >1
a
恒成立，如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围． 解析： p 为真命题⇔0<a <1， q 为真命题⇔1
a <⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ， x ∈⎣⎡⎦⎤
12，2.
∵y ＝x ＋1x 在⎣⎡⎦
⎤
12，1上是递减的，在[1,2]上是递增的．
∴当x ＝1时，y ＝x ＋1
x 取最小值2，
∴1a <2，∴a >12
. ∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 与q 一真一假．
①若p 真q 假，则0<a <1且a ≤12，
所以0<a ≤1
2
.
②若p 假q 真，则a ≤0或a ≥1且a >1
2
，所以a ≥1.
综上所述，a 的取值范围是0<a ≤1
2
或a ≥1，即⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞)．。