2021年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷(解析版)

2021年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．比﹣3大1的数是（）
A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．2
2．空气中某种微粒的直径是0.00000297米，数据0.00000297用科学记数法可表示为（）A．2.97×105B．2.97×106C．2.97×10﹣5D．2.97×10﹣6
3．如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是（）
A．B．C．D．
4．不等式组的解集为（）
A．x≥2B．x＜3C．2≤x＜3D．2＜x≤3
5．如图，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为α，同时测得AC＝15m，则树的高度AB为（）
A．B．15tanαm C．D．15sinαm
6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是（）
A．15°B．25°C．35°D．50°
7．如图，C是直线AB外一点，按下列步骤完成作图：
Ⅰ．以点C为圆心，作能与直线AB相交于D、E点的圆弧；
Ⅱ．分别以点D和点E为圆心，DE长为半径作圆弧，两弧交于点F，连接DF、EF；
Ⅲ．作直线CF交AB于点G．
根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：
①CF⊥AB；②DE＝FG；③∠DFG＝∠EFG；④DF＝2DG．
其中正确的结论是（）
A．①②③B．①③④C．③④D．①④
8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OACB的顶点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（0，1）、（3，3）．点P在折线BO﹣OA上，连接CP，交函数y＝（x ＞0）的图象于点Q．若CQ＝2PQ，则k的取值范围是（）
A．1≤k≤B．1≤k≤2C．≤k≤3D．1≤k≤3．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．分解因式：a2+ab＝．
10．已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则b a＝．
11．若方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的值可能是．（写出一个即可）
12．如图，BE是正五边形ABCDE的对角线．若过点A作直线l∥BE，则∠1的大小是°．
13．如图，在扇形AOD中，点B、C将三等分，连接OB、OC，⊙O的切线DE交OC 的延长线于点E，过点B、C分别作BG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F．若∠AOD＝135°，OA＝4，则图中阴影部分图形的面积和为．（结果保留π）
14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（2，﹣1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点P在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D 的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2．若x1的最小值是﹣2，则x2的最大值是．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．先化简，再求值：（3a+b）2+（3a+b）（3a﹣b），其中a＝，b＝﹣3．
16．如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是三张牛年生肖邮票，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票的概率．
17．某学校需要购进甲、乙两种电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．求每台甲种电脑价格．
18．图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点和点O都在格点上．在图①、图②、图③中，分别以AB为边画一个四边形，使点O到四边形的某两个顶点的距离相等，且所画图形的顶点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中画一个四边形ABCD，使该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点O在所画四边形的内部；
（2）在图②中画一个面积为16的四边形ABEF，使该四边形只是中心对称图形，且点O 在所画四边形的内部；
（3）在图③中画一个四边形ABGH，使∠H＝90°，且点O在所画四边形的边上．
19．某校为了解九年级360名学生周末在家体育锻炼的情况，在该校九年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了如下数据（单位：分钟）：
【收集整理数据】
男生：28，30，32，39，46，57，58，66，68，69，70，70，80，88，95，99，100，105；
女生：29，35，36，48，55，56，62，69，69，72，73，78，88，88，90，98，99，109；
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数如表：
统计量数值组别
平均数
（单位：
分钟）
中位数
（单位：
分钟）
众数（单
位：分钟）
男生66.768.5a
女生69.7b69 88
根据以上信息解答下列问题：
（1）a ＝，b＝．
（2）如果该校男、女生人数相同，估计该校九年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）同学的人数；
（3）王老师看了表格数据后认为九年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．
20．如图，BD是▱ABCD的对角线，且BD⊥BC，DE、BF分别是边AB、CD的中线．（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若AB＝9，sin A＝，则点E、F之间的距离为．
21．一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽．设轮船触礁后船舱内积水量为y（t），时间为x（min），y与x之间的函数图象如图所示．（1）修船过程中排水速度为t/min，a的值为．
（2）求修船完工后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当船内积水量是船内最高积水量的时，直接写出x的值．
22．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第79页的部分内容．
请根据教材分析，结合图①，写出完整的证明过程．
【拓展】如图②，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BC＝4，AD是边BC的中线．将△ACD绕着点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°）得到△AC′D′，连接BC′，如图③．
（1）设边C′D′与边BD相交于点E，若E为边BD的中点，则BC′的长为．
（2）连接BD'，在整个旋转过程中，△BC′D′面积的最大值为．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝25．动点P从点A出发，以每秒7个单位长度的速度沿折线AC﹣CB向终点B运动．当点P不与△ABC顶点重合时，作∠CPQ＝135°，交边AB于点Q，以CP、PQ为边作▱CPQD．设点P的运动时间为t 秒．
（1）求AC的长．
（2）当点P在边AC上时，求点Q到边AC的距离（用含t的代数式表示）；
（3）当▱CPQD的某条对角线与△ABC的直角边垂直时，求▱CPQD的面积；
（4）以点P为直角顶点作等腰直角三角形EPQ，使点E与点C在PQ同侧，设EQ的中点为F，▱CPQD的对称中心为点O，连接OF．当OF∥PQ时，直接写出t的值．
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2﹣2x+a2﹣1（a≠0，且a为常数）的图象记为G．
（1）当点O在图象G上时，求a的值．
（2）当图象G的对称轴与直线x＝﹣2之间的部分的函数值y随x增大而减小时（直线x＝﹣2与对称轴不重合），求a的取值范围；
（3）当图象G的x≥4a部分的图象的最低点到x轴的距离是x＜2a部分图象的最低点到x轴的距离的2倍时，求a的值；
（4）以点A（0，﹣1）为对称中心，以|4a|为边长作正方形，使该正方形的边与坐标轴平行或垂直．若图象G与该正方形的某条边只有两个交点，且两个交点之间的距离为|a|，直接写出a的值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．比﹣3大1的数是（）
A．﹣4B．﹣2C．﹣1D．2
【分析】根据题意列出算式进行计算．
解：﹣3+1＝﹣（3﹣1）＝﹣2，
故选：B．
2．空气中某种微粒的直径是0.00000297米，数据0.00000297用科学记数法可表示为（）A．2.97×105B．2.97×106C．2.97×10﹣5D．2.97×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00000297＝2.97×10﹣6．
故选：D．
3．如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是（）
A．B．C．D．
【分析】根据圆柱体的截面图形可得．
解：将这杯水斜着放可得到A选项的形状，
将水杯倒着放可得到B选项的形状，
将水杯正着放可得到D选项的形状，
不能得到三角形的形状，
故选：C．
4．不等式组的解集为（）
A．x≥2B．x＜3C．2≤x＜3D．2＜x≤3
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
解：，
解不等式①，得x≥2，
解不等式②，得x＜3，
所以不等式组的解集是2≤x＜3，
故选：C．
5．如图，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为α，同时测得AC＝15m，则树的高度AB为（）
A．B．15tanαm C．D．15sinαm
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
解：在Rt△ABC中，AC＝15m，∠ACB＝α，sinα＝，
∴AB＝AC•sinα＝15sinα（m），
故选：D．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是（）
A．15°B．25°C．35°D．50°
【分析】利用平角的定义先求∠AOC，再根据圆周角定理求出∠D．
解：∵∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝50°．
∴∠D＝∠AOC＝25°．
故选：B．
7．如图，C是直线AB外一点，按下列步骤完成作图：
Ⅰ．以点C为圆心，作能与直线AB相交于D、E点的圆弧；
Ⅱ．分别以点D和点E为圆心，DE长为半径作圆弧，两弧交于点F，连接DF、EF；
Ⅲ．作直线CF交AB于点G．
根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：
①CF⊥AB；②DE＝FG；③∠DFG＝∠EFG；④DF＝2DG．
其中正确的结论是（）
A．①②③B．①③④C．③④D．①④
【分析】根据作图过程可得CF是线段DE的垂直平分线，然后逐一进行判断即可．解：根据作图过程可知：CF是线段DE的垂直平分线，
∴CF⊥AB，故①正确；
∵DE＝DF＝EF＞FG，
∴②错误；
∵CF⊥AB，DF＝EF，
∴∠DFG＝∠EFG，故③正确；
∵DE＝2DG，
∴DF＝2DG，故④正确．
∴其中正确的结论是①③④．
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OACB的顶点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（0，1）、（3，3）．点P在折线BO﹣OA上，连接CP，交函数y＝（x ＞0）的图象于点Q．若CQ＝2PQ，则k的取值范围是（）
A．1≤k≤B．1≤k≤2C．≤k≤3D．1≤k≤3．
【分析】分三种情况讨论，求得Q点的坐标，进而求得k的值，结合图象即可求得k的取值范围．
解：∵四边形OACB的顶点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（0，1）、（3，3），CQ ＝2PQ，
∴当P与B重合时，Q（1，），
∴此时k＝1×＝，
连接OC，
当P与O重合时，Q（1，1），
∴此时，k＝1×1＝1，
当P与A重合时，Q（3，1），
∴此时，k＝3×1＝3，
综上，k的取值范围是1≤k≤3，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．分解因式：a2+ab＝a（a+b）．
【分析】直接提取公因式a即可．
解：a2+ab＝a（a+b）．
10．已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则b a＝9．
【分析】直接利用的取值范围得出a，b的值，即可得出答案．
解：∵a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，
∴a＝2，b＝3，
∴b a＝32＝9．
故答案为：9．
11．若方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则实数c的值可能是1（答案不唯一）．（写出一个即可）
【分析】由方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，利用根的判别式Δ＞0，即可求出c的取值范围，任取其内的一值即可得出结论．
解：∵方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×c＞0，
∴c＜4．
故答案为：1（答案不唯一）．
12．如图，BE是正五边形ABCDE的对角线．若过点A作直线l∥BE，则∠1的大小是36°．
【分析】根据多边形的内角和定理、正多边形的概念求出正五边形的一个内角的度数，根据等腰三角形的性质、平行线的性质解答．
解：正五边形的一个内角的度数为：＝108°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝＝36°，
∵直线l∥BE，
∴∠1＝∠ABE＝36°，
故答案为：36．
13．如图，在扇形AOD中，点B、C将三等分，连接OB、OC，⊙O的切线DE交OC 的延长线于点E，过点B、C分别作BG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F．若∠AOD＝135°，OA＝4，则图中阴影部分图形的面积和为2π．（结果保留π）
【分析】根据圆周角定理得到∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
解：∵点B、C将三等分，∠AOD＝135°，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°，
∵BG⊥OA，CF⊥OB，
∴OG＝BG＝OB＝2，OF＝CF＝OC＝2，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴OD＝DE＝4，
∴阴影部分的面积＝（×4×4﹣）+（﹣×2×2）+（﹣×2×2）＝2π，
故答案为：2π．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（2，﹣1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点P在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D 的横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2．若x1的最小值是﹣2，则x2的最大值是3．
【分析】根据题意，可知当点P在点A的位置时，x1取得最小值，当点P在B点时，x2取得最大值，然后即可得到x2的最大值．
解：∵点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（2，﹣1），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点P在线段AB上，
∴当点P的坐标为（﹣1，﹣1）时，x1取得最小值﹣2，此时x2的值为0，
∴x2离对称轴的距离是1，
∴当点P的坐标为（2，﹣1）时，此时x2的最大值2+1＝3，
故答案为：3．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．先化简，再求值：（3a+b）2+（3a+b）（3a﹣b），其中a＝，b＝﹣3．【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
解：（3a+b）2+（3a+b）（3a﹣b）
＝9a2+6ab+b2+9a2﹣b2
＝18a2+6ab，
当a＝，b＝﹣3时，原式＝18×（）2+6×（﹣3）＝﹣4．
16．如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是三张牛年生肖邮票，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票的概率．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票的结果有1种，再由概率公式求解即可．
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票的结果有1种，∴小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票的概率为．
17．某学校需要购进甲、乙两种电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．求每台甲种电脑价格．
【分析】设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，由题意：用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同，列出分式方程，解方程即可．
解：设每台甲种电脑的价格为x万元，则每台乙种电脑的价格为（x+0.2）万元，
根据题意得：＝，
解得：x＝0.3，
经检验，x＝0.3是原分式方程的解，且符合题意，
答：每台甲种电脑的价格为0.3万元．
18．图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点和点O都在格点上．在图①、图②、图③中，分别以AB为边画一个四边形，使点O到四边形的某两个顶点的距离相等，且所画图形的顶点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中画一个四边形ABCD，使该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点O在所画四边形的内部；
（2）在图②中画一个面积为16的四边形ABEF，使该四边形只是中心对称图形，且点O 在所画四边形的内部；
（3）在图③中画一个四边形ABGH，使∠H＝90°，且点O在所画四边形的边上．
【分析】（1）根据轴对称的性质和中心对称的性质即可在图①中画一个四边形ABCD，使该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点O在所画四边形的内部；
（2）根据中心对称的性质即可在图②中画一个面积为16的四边形ABEF，使该四边形只是中心对称图形，且点O在所画四边形的内部；
（3）根据网格即可在图③中画一个四边形ABGH，使∠H＝90°，且点O在所画四边形的边上．
解：（1）如图①，四边形ABCD即为所求；
（2）如图②，四边形ABEF即为所求；
（3）如图③，四边形ABGH即为所求．
19．某校为了解九年级360名学生周末在家体育锻炼的情况，在该校九年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了如下数据（单位：分钟）：
【收集整理数据】
男生：28，30，32，39，46，57，58，66，68，69，70，70，80，88，95，99，100，105；
女生：29，35，36，48，55，56，62，69，69，72，73，78，88，88，90，98，99，109；【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数如表：
统计量数值组别
平均数
（单位：
分钟）
中位数
（单位：
分钟）
众数（单
位：分钟）
男生66.768.5a
女生69.7b69 88
根据以上信息解答下列问题：
（1）a＝70，b＝70.5．
（2）如果该校男、女生人数相同，估计该校九年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）同学的人数；
（3）王老师看了表格数据后认为九年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义进行计算即可；
（2）求出男、女生中“优秀”所占的百分比即可；
（3）从平均数、中位数的比较得出结论即可．
解：（1）这18名男生体育锻炼时间出现次数最多的是70分钟，因此众数是70分钟，即a＝70；
将这18名女生的体育锻炼时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为
＝70.5（分钟），因此中位数是70.5分钟，即b＝70.5；
故答案为：70，70.5；
（2）180×+180×＝70（人），
答：该校九年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）同学的人数大约为70人；
（3）理由一：因为69.7＞66.7，所以女生周末锻炼时间的平均时间比男生的长，因此女生做得更好；
理由二：因为70.5＞68.5，所以女生周末锻炼时间的中位数比男生的高，因此女生做得更好．
20．如图，BD是▱ABCD的对角线，且BD⊥BC，DE、BF分别是边AB、CD的中线．（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若AB＝9，sin A＝，则点E、F之间的距离为3．
【分析】（1）先证四边形DEBF是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得BF＝CD＝DF，即可得出结论；
（2）连接EF交BD于O，由锐角三角函数定义求出BD＝6，则OB＝BD＝3，再由勾股定理求出OF＝，即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE、BF分别是△ABD、△BCD的中线，
∴BE＝AB，DF＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴DF∥BE，DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵BD⊥BC，
∴∠DBC＝90°，
∵BF是△BCD的中线，
∴BF＝CD＝DF，
∴平行四边形DEBF是菱形；
（2）解：连接EF交BD于O，如图所示：
由（1）得：四边形DEBF是菱形，
∴OE＝OF，OB＝OD，EF⊥BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝9，∠C＝∠A，
∴sin C＝sin A＝，
在Rt△BCD中，sin C＝＝，
∴BD＝CD＝×9＝6，
∴OB＝BD＝3，
由（1）得：BF＝CD＝，
∴OF＝＝＝，
∴EF＝2OF＝3，
故答案为：3．
21．一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽．设轮船触礁后船舱内积水量为y（t），时间为x（min），y与x之间的函数图象如图所示．（1）修船过程中排水速度为1t/min，a的值为24．
（2）求修船完工后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当船内积水量是船内最高积水量的时，直接写出x的值．
【分析】（1）修船共用了13﹣5＝8（分钟），修船过程中进水速度为：20÷5＝4（吨/分钟），修船过程中，排水速度是4﹣（44﹣20）÷（13﹣5）＝1（吨/分钟），a＝13+44÷4＝24；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）分修船过程和修船完工后两种情况解答．
解：（1）由题意可知，修船共用了：13﹣5＝8（分钟），
修船过程中进水速度为：20÷5＝4（吨/分钟），
修船过程中，排水速度是4﹣（44﹣20）÷（13﹣5）＝1（吨/分钟），
∵修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，
∴修船完工后，排水速度是4t/min，
∴a＝13+44÷4＝24；
故答案为：1；24；
（2）设修船完工后y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由题意，得，
解得，
∴修船完工后y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+96（13≤x≤24）；
（3）在修船过程中，当船内积水量是船内最高积水量的时，可得20+（4﹣1）×（x ﹣5）＝44×，
解得x＝；
修船完工后，当船内积水量是船内最高积水量的时，可得﹣4x+96＝44×，
解得x＝．
故x的值为或．
22．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第79页的部分内容．
请根据教材分析，结合图①，写出完整的证明过程．
【拓展】如图②，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BC＝4，AD是边BC的中线．将△ACD绕着点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°）得到△AC′D′，连接BC′，
如图③．
（1）设边C′D′与边BD相交于点E，若E为边BD的中点，则BC′的长为．（2）连接BD'，在整个旋转过程中，△BC′D′面积的最大值为2+2．
【分析】【教材呈现】根据全等三角形的判定及性质即可得出结论；
拓展（1）连接AE并延长交BC'于点M，利用直角三角形的性质即可求出AB，并由等腰三角形即旋转的性质可推出△EBC'是等腰三角形，从而得出AM⊥BC'，再由勾股定理即可求出BC'的长；
（2）分别从当0＜a＜90°时，当90°＜α＜180°时，当180°＜α＜360°时，三种情况进行讨论，由轴对称的性质及三角形面积公式求值后即可得出结论．
【解答】【教材呈现】证明：作AD平分∠BAC，交BC于D，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CAD中，
，
∴△BAD≌△CAD（SAS），
∴∠B＝∠C；
【拓展】解：（1）如图，连接AE并延长交BC'于点M，
∵AD是边BC的中线，△ABC是等腰直角三角形，
∴AD＝BD＝，AD⊥BC，∠ABD＝45°，
∴AB＝2，
由旋转的性质得：AB＝AC'，∠ABD＝∠AC'D'＝45°，∴∠ABC'＝∠AC'B，
∴∠DBC'＝∠BC'D'，
∴BE＝CE，
∴AM为BC'的垂直平分线，
∴AM⊥BC'
∵E为BD的中点，
∴ED＝1，
∴AE＝＝，
设EM＝m，则BM＝＝，
在Rt△ABM中，AM2+BM2＝AB2，
即（m+）2+1﹣m2＝8，
解得：m＝，
∴BC'＝2BM＝2×＝2×，
故答案为：；
（2）①如图，
当0＜a＜90°时，
由（2）知，整体图形为轴对称图形，
∴S△BC'D'＝S△BDC，
∴S最大时，C'离BD边最远，
即A，D，C'三点共线，此时，S△BDC最大值＝2×（2）×＝2﹣2，
②如图，
当90°＜α＜180°时，此时图形为轴对称图形，
∴S最大时，C'离BD边最远，
即A，D，C'三点共线，此时，S△BDC最大值＝2×（2）×＝2+2，
当180°＜α＜360°时，情况和上述两图类似，
S△BDC最大值＝2+2，
综上所述：在整个旋转过程中，△BCD'面积的最大值为2+2，
故答案为：2+2．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝25．动点P从点A出发，以每秒7个单位长度的速度沿折线AC﹣CB向终点B运动．当点P不与△ABC顶点重合时，作∠CPQ＝135°，交边AB于点Q，以CP、PQ为边作▱CPQD．设点P的运动时间为t 秒．
（1）求AC的长．
（2）当点P在边AC上时，求点Q到边AC的距离（用含t的代数式表示）；
（3）当▱CPQD的某条对角线与△ABC的直角边垂直时，求▱CPQD的面积；
（4）以点P为直角顶点作等腰直角三角形EPQ，使点E与点C在PQ同侧，设EQ的中点为F，▱CPQD的对称中心为点O，连接OF．当OF∥PQ时，直接写出t的值．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可．
（2）如图1中，过点Q作QM⊥AC于点M．由tan A＝＝＝，设MQ＝3a．AM ＝4a，由题意∠QPM＝45°，推出PM＝MQ＝3a，推出AP＝7a＝7t，可得a＝t，由此即可解决问题．
（3）分两种情形：当PD⊥AC时，如图2中，当PD⊥BC时，过点Q作Q⊥AC于点M．如图3中，过点Q作QN⊥PB于点N．分别构建方程求解，可得结论．
（4）分两种情形：如图4﹣1中，当△PDQ是等腰直角三角形时，满足条件．如图4﹣2中，当△PQD是等腰直角三角形时，满足条件．分别构建方程求解即可．
解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝25，
∴AC＝＝＝20．
（2）如图1中，过点Q作QM⊥AC于点M．
在Rt△AMQ中，∠AMQ＝90°，
tan A＝＝＝，
设MQ＝3a．AM＝4a，
∵∠CPQ＝135°，
∴∠QPM＝45°，
∴PM＝MQ＝3a，
∴AP＝7a＝7t，
∴a＝t，
∴MQ＝3t．
（3）当PD⊥AC时，如图2中，过点Q作Q⊥AC于点M．
∵CP＝PD＝QM＝PM＝3t，AM＝4t，
∴4t+3t+3t＝20，
∴t＝2，
∴▱CPQD的面积＝6×6＝36．
当PD⊥BC时，如图3中，过点Q作QN⊥PB于点N．
∵∠CPQ＝135°，
∴∠QPN＝45°，
∵CD∥PQ，
∴∠DCP＝∠QPN＝45°，
∴CP＝PD＝QN＝PN＝7t﹣20，
∵tan B＝＝＝，
∴2（7t﹣20）+（7t﹣20）＝15，
解得t＝，
∴▱CPQD的面积＝（7×﹣20）2＝．
综上所述，满足条件的▱CPQD的面积为36或．
（4）如图4﹣1中，当△PDQ是等腰直角三角形时，满足条件．
过点Q作QM⊥AC于点M，则AM＝4t，PM＝QM＝3t，
∴PQ＝PD＝3t，
∴PC＝6t，
∴4t+3t+6t＝20，
∴t＝．
如图4﹣2中，当△PQD是等腰直角三角形时，满足条件．
过点N作QN⊥CB于点N．
∵PC＝PD＝PQ＝2PN，＝，
∴7t﹣20+（7t﹣20）+×（7t﹣20）＝15，
∴t＝4，
综上所述，满足条件的t的值为或4．
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2﹣2x+a2﹣1（a≠0，且a为常数）的图象记为G．
（1）当点O在图象G上时，求a的值．
（2）当图象G的对称轴与直线x＝﹣2之间的部分的函数值y随x增大而减小时（直线x＝﹣2与对称轴不重合），求a的取值范围；
（3）当图象G的x≥4a部分的图象的最低点到x轴的距离是x＜2a部分图象的最低点到x轴的距离的2倍时，求a的值；
（4）以点A（0，﹣1）为对称中心，以|4a|为边长作正方形，使该正方形的边与坐标轴平行或垂直．若图象G与该正方形的某条边只有两个交点，且两个交点之间的距离为|a|，直接写出a的值．
【分析】（1）把原点O（0，0）代入y＝x2﹣2x+a2﹣1即可求解；
（2）分a＞0和a＜0两种情况讨论，根据抛物的对称轴以及二次函数的性质即可求解；
（3）根据图象G的x≥4a部分的图象的最低点，知a＞0，分别求得图象G的x≥4a部分和x＜2a部分的最低点的坐标，再根据题意列方程求解即可；
（4）如解图，G与正方形某边有两个交点，只可能与BE或CD相交处两个交点，分a ＞0和a＜0两种情况讨论，根据一元二次方程的根与系数的关系求解．
解：（1）∵点O在图象G上，
∴x2﹣2x+a2﹣1＝0，即a2﹣1＝0，
解得：a1＝1，a2＝﹣1，
∴a的值为±1；
（2）抛物线y＝x2﹣2x+a2﹣1的对称轴是直线x＝a，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∴当a＞0时，直线x＝a与直线x＝﹣2之间的部分的函数值y随x增大而减小，
当a＜0时，抛物线开口向下，
∴当a＜﹣2时，直线x＝a与直线x＝﹣2之间的部分的函数值y随x增大而减小，
∴当a＜﹣2或a＞0时，直线x＝a与直线x＝﹣2之间的部分的函数值y随x增大而减小；
（3）∵图象G的x≥4a部分的图象的最低点，
∴a＞0，
图象G的x≥4a部分的图象有最低点的坐标为（4a，a2+8a﹣1），
而x＜2a部分图象的最低点坐标为（a，a2﹣a﹣1），
①a2+8a﹣1＝2（a2﹣a﹣1），
解得：a1＝5+，a2＝5﹣（舍去），
②a2+8a﹣1＝﹣2（a2﹣a﹣1），
解得：a1＝﹣1+，a2＝﹣1﹣（舍去），
③当图象G的x≥4a部分的图象的最低点与x＜2a部分图象的最低点均在x轴下方，不符合题意，
综上所述，a的值为a＝5+或a＝﹣1+；
（4）取正方形四个顶点分别为BCDE，
B、E的纵坐标为：﹣1+2|a|，
C、D的纵坐标为：﹣1﹣2|a|，
G与正方形某边有两个交点，只可能与BE或CD相交出两个交点，
当a＞0时，B、E的纵坐标为：﹣1+2a，可得：
﹣1+2a＝x2﹣2x+a2﹣1，
整理得：x2﹣2ax+a3﹣2a2＝0，
设方程的两根为x1、x2，则x1+x2＝2a，x1x2＝a3﹣2a2，∴（x1﹣x2）2＝a2，则（x1+x2）2﹣4x1x2＝a2，
解得：a＝，
当与CD边相交时，C、D边纵坐标为﹣1﹣2a，
﹣1﹣2a＝x2﹣2x+a2﹣1，且x1﹣x2＝a，
无解，
当a＜0时，B、E纵坐标为﹣1﹣2a，
﹣1﹣2a＝x2﹣2x+a2﹣1，且x1﹣x2＝a，
解得：a＝﹣，
当与CD边相交时，C、D纵坐标为﹣1+2a，
﹣1+2a＝x2﹣2x+a2﹣1，且x1﹣x2＝a，
无解，
综上所述，a＝或a＝﹣．。