2021届高三好教育云平台9月内部特供卷 理科数学(一)教师版

2021-2021学年好教育云平台9月份内部特供
卷
理 科 数 学（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{}
21x
A y y ==-，{}1
B x x =≥，则(
)A
B =R
（ ）
A ．(],1-∞-
B ．(),1-∞
C ．()1,1-
D ．[)1,+∞
【答案】C
【解析】集合{}()21,|1x A y y -===-+∞，{}[)11,|B x x =≥=+∞， 则
(),1B =-∞R
，则(
)()1,1A
B =-R
，故选C ．
2．已知复数12i
2i 1i
z z +=
++，则z =（ ） A ．
22
B ．
5 C ．2 D ．5
【答案】A 【解析】由题12i 3i 12i
12i 17i
1i 12i
3i
3i 3i
10
z
， 故2212
17102
z =
+=
，故选A ． 3．在等比数列{}n a 中，131a a +=，5791120a a a a +++=，则1a =（ ）
A ．16
B ．13
C ．2
D ．4
【答案】B
【解析】因为()44
5713a a a a q q +=+=，()891113a a a a q +=+，
所以q 8+q 4＝20，所以q 4＝4或45q =-（舍），所以q 2＝2，
13112131a a a q a a =+=+=，所以11
3
a =
．故选B ． 4．如图，在正方形OABC 内任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分内的概率为（ ）
A ．
14 B ．13
C ．
25
D ．
37
【答案】B
【解析】由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），
由定积分的定义可得(1
3
12
00
21 1d |33S x x x x ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰阴，
设“点M 恰好取自阴影部分内”为事件A ，
由几何概型中的面积型可得()1
1
313
S P A S =
==阴正方形
，故选B ． 5．已知sin 3cos 3ππ6αα⎛⎫⎛
⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则tan 2α=（ ）
A ．43-
B ．32
-
C ．43
D ．
32
【答案】A
【解析】由题1
3
31sin
cos 3
cos sin 2
2
，则3tan α=，
故2
2tan tan 2
431tan ，故选A ．
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD ：
由正方体的性质得ABC △，BCD △，ACD △为直角三角形，ABD △为正三角形， 故选C ．
7．已知椭圆()22
22:10,0x y C a b a b
+=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，
若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．
12
B ．
22
C ．
23
D ．
63
【答案】D 【解析】如图，
2b c =，则2b 2
＝c 2
，
即2（a 2
﹣c 2
）＝c 2
，则2a 2
＝3c 2
，∴2223c a =，即e 6
c a ==．故选D ．
8．已知函数()221log 2x
f x x
+=-，若()f a b =，则()4f a -=（ ） A ．b B ．2b - C ．b - D ．4b -
【答案】B
【解析】依题意有：()()()()222122
11log log 213a a f a f a b a a
--=-+===⎡⎤⎣⎦---， ∴()()()
()
()
222234362431log log log 23122a a a
f a f a a a a ----=-+===⎡⎤⎣⎦----
22
3log 4log 222
a
b a -=+=--， 则()42f a b -=-，故选B ．
9．已知将函数()()sin 06,2π2πf x x ωϕωϕ⎛
⎫=+<<-<< ⎪⎝
⎭的图象向右平移π3个单位长度
得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于π
4x =
对称，则ωϕ⋅=（ ） A ．3π4
-
B ．2π3
-
C ．
2π3 D ．
34
π 【答案】A 【解析】由题ππsin sin 3
3
g x
x
x
，
又()f x 和()g x 的图象都关于π4
x =对称，则
12π
ππ4
2ππππ
4
3
2
k k ，12
k k Z ，，
得
12ππ3
k k ，即123k k ，
又06ω<<，故3ω=，
π4，则3π
4
ωϕ⋅=-，故选A ． 10．已知实数x ，y 满足13y x y ax ≤≤+≤+，若2y x -的最大值是3，则实数a 的取值
范围是（ ） A ．(3,⎤-∞⎦
B ．[]1,3
C ．(],2-∞
D ．[)2,+∞
【答案】A
【解析】令2z y x =-，
当3a >时，不等式组的可行域如图阴影所示：
将目标函数变形得2y x z =+，由题知z 无最大值，舍去； 当13a 时，不等式组的可行域如图阴影所示：
将目标函数变形得2y x z =+，由题知z 最大时，直线的纵截距最大， 在（0，3）取得最大3，符合题意；
当1a ≤时，不等式组的可行域如图阴影所示：
将目标函数变形得2y x z =+，由题知z 最大时，直线的纵截距最大， 在（0，3）取得最大3，符合题意， 综上3a ≤，故选A ．
11．已知函数()ln ,0
,0
x x f x ax x >⎧=⎨≤⎩，若方程()()f x f x -=-有五个不同的实数根，则a 的
取值范围是（ ） A ．()0,+∞ B ．10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．(),0-∞
D ．()0,1
【答案】B
【解析】设g （x ）＝﹣f （﹣x ），则y ＝g （x ）的图象与y ＝f （x ）的图象关于原点对称，
方程f （﹣x ）＝﹣f （x ）有五个不同的实数根等价于函数y ＝f （x ）的图象与y ＝g （x ）的图象有5个交点，
由图可知，只需y ＝ax 与曲线y ＝ln x 在第一象限有两个交点即可， 设过原点的直线与y ＝ln x 切于点P （x 0，y 0），
由()1f x x '=，则y ＝ln x 的切线为()0
00
1ln y x x x x -=-， 又此直线过点（0，0），所以ln x 0＝1，所以x 0＝e ，即()1
f e e
'=
， 即过原点的直线与y ＝ln x 相切的直线方程为1
y x e
=
， 即所求a 的取值范围为1
a e
<<
0，故选B ．
12．在一个圆锥内有一个半径为R 的半球，其底面与圆锥的底面重合，且与圆锥的侧面
相切，若该圆锥体积的最小值为9π
2，则R =（ ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．3【答案】B
【解析】几何体如图一所示：其正视图如图二所示， 设圆锥的底面圆心为O ，半径为r ，高为h ，则OA h =，22rh
h r R ，
又圆锥体积223
22222
2
111πππ3
33h R h V
r h h R h R h R ， 令3
2221π3h f h R h R h R
，则222
222231π3h h R f h R h R
， 当03f
h h
R ；03f h R h
R ，
故f h 在3,
R 单调递增，在3R R ，单调递减，
故f h 在3h R 取得最小值，此时22min
22
139
π3π3332
R V R R
R
R R ，
故选B ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量a ，b 满足2=a ，2=b ，向量a 在向量b 方向上的投影为1， 则2-=a b ______． 【答案】23【解析】因为向量a 在向量b 方向上的投影为1， 则cos
1a b
a b
，2a b ， ∴2222(2)444421623-=-=-⋅+=-⨯+=a b a b a a b b 故答案为23
14．从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为______．（用数字作答）
【答案】23
【解析】①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，
可得不同的选法种数为33
539C C -=；
②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，
可得不同的选法种数为33
539C C -=；
③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，
可得不同的选法种数为4
55C =，
综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5＝23，故答案为23．
15．在数列{}n a 中，1a a =，()11cos πn n a a n +=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和， 若20192019S =-，则a =______． 【答案】1010
【解析】当n 为偶数，11n n a a +=+；
当n 为奇数，()11n n a a +=-+，即1+=1n n a a +-， 故2
0n
n
a a ，即{}n a 为周期为4的数列，
又1234
=1=1a a a a a a a a ，，，，
故1234
1
1
2a a a a a
a a
a ，
故()20191235042+100812019S a a a a =⨯-++=---=-，则1010a =， 故答案为1010．
16．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在曲线C 上，
若PAB △中，π
2
PBA PAB ∠=∠+，则双曲线C 的渐近线方程为______． 【答案】y x =±
【解析】如图，过B 作BM ⊥x 轴， ∵π
2
PBA PAB ∠=∠+
，则∠P AB ＝∠PBM ， ∴π
2
PAB PBx ∠+∠=
，即1PA PB k k =⋅．
设P （x ，y ），又A （﹣a ，0），B （a ，0）．
1y y x a x a
⋅=+-，∴x 2﹣y 2＝a 2， ∴a ＝b ，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±
x ，故答案为y ＝±x ．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）如图ABC △中，D 为BC 的中点，213AB =，4AC =，3AD =．
（1）求边BC 的长；
（2）点E 在边AB 上，若CE 是BCA ∠的角平分线，求BCE △的面积．
【答案】（1）10；（2）60
7
．
【解析】（1）因为D 在边BC 上，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠，
在ADB △和ADC △中，由余弦定理，得
222222
022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC
+-+-+=⨯⨯， 因为213AB =，4AC =，3AD =，BD DC =，
所以229529160BD BD +-++-=，所以225BD =，5BD =． 所以边BC 的长为10．
（2）由（1）知ADC △为直角三角形，所以1
4362ADC S =⨯⨯=△，212ABC ADC S S ==△△．
因为CE 是BCA ∠的角平分线，
所以
1
sin 42
21
105sin 2
ACE
BCE
AC CE ACE
S AC S BC BC CE BCE ⨯⨯∠====⨯⨯∠△△． 所以271255ABC BCE ACE BCE BCE BCE S S S S S S =+=+==△△△△△△，所以60
7BCE S =△．
即BCE △的面积为
60
7
． 18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==，
90ACB ∠=︒．
（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；
（2）若1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11C AB C --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（23
【解析】（1）因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，
BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=︒，所以BC ⊥平面11ACC A ，
因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC A C ⊥． 因为11B C BC ∥，所以1
11AC B C ⊥． 因为11ACC A 是平行四边形，且1AA AC =，所以11ACC A 是菱形，11A C AC ⊥． 因为1
111AC B C C =，所以1A C ⊥平面11AB C ．
又1
AC ⊂平面11A B C ，所以平面11AB C ⊥平面11A B C ． （2）取AC 的中点M ，连接1A M ，因为11ACC A 是菱形，160A AC ∠=︒，
所以1ACA △是正三角形，所以1A M AC ⊥，且13A M AC =．
令122AA AC CB ===，则13A M =．
所以以C 为原点，以CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过点C 且平行于1A M 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()11,0,3C -，()0,1,0B ，()
11,0,3A ，
()2,0,0CA =，()()111111,0,30,1,0CB CC C B CC CB =+=+=-+()
1,1,3=-，
()
11,0,3CA =．
设平面1ACB 的一个法向量为(),,x y z =n ，则10
0CA CB ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n ， 所以20
30
x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，得0x =，
令1z =，则3y =-，所以()
0,3,1=-n ．
由（1）知1A C ⊥平面11AB C ，所以()
11,0,3CA =是平面11AB C 的一个法向量， 所以11133
413cos 31
,CA CA CA ⋅=
=+⋅+<>=
⋅n n n
． 所以二面角11C AB C --的余弦值为
3． 19．（12分）已知O 为坐标原点，过点()1,0M 的直线l 与抛物线C ：22(0)y px p => 交于A ，B 两点，且3OA OB ⋅=-． （1）求抛物线C 的方程；
（2）过点M 作直线'l l ⊥交抛物线C 于P ，Q 两点，记OAB △，
OPQ △的面积分别为1S ，2S ，证明：
22
1211
S S +为定值． 【答案】（1）24y x =；（2）见解析．
【解析】（1）设直线:1l x my =+，与22y px =联立消x ，得2220y pmy p --=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y pm +=，122y y p =-．
因为3OA OB ⋅=-，所以()()1112222111OA OB x x y m y y y y y m ⋅++==++
()()2121211m y y m y y =++++()()221221213m p pm p =+-++=-+=-，
解得2p =．
所以抛物线C 的方程为24y x =．
（2）由（1）知()1,0M 是抛物线C 的焦点，
所以2
1212244AB x x p my my p m =++=+++=+．
原点到直线l 的距离21d m =
+，所以()222
1412121OAB
S m m m =⨯⨯+=++△． 因为直线'l 过点()1,0且'l l ⊥，所以2
22
11212OPQ
m S m m +⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
△． 所以()()22222121111
4
4141m S S m m +=+=++． 即221211S S +为定值14
．
将上述调查所得到的频率视为概率．
（1）求a 的值，并估计利用该外卖平台点外卖用户的平均送餐距离；
（2）若该外卖平台给外卖员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离， 每份3元，2千米到4千米为中距离，每份5元，超过4千米为远距离，每份9元． ①记X 为外卖员送一份外卖的收入（单位：元），求X 的分布列和数学期望；
【答案】（1）0.25a =，2．7千米；（2）①见解析；②81千米． 【解析】（1）因为()0.050.1520.3011a +++⨯=，解得0.25a =．
点外卖用户的平均送餐距离为0.050.50.25 1.50.3 2.50.25 3.50.15 4.5 2.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千米．
（2）①由题意知X 的所有可能取值为3，5，9．
()30.050.250.30P X ==+=；()50.300.250.55P X ==+=；(9)0.15P X ==． 所有X 的分布列为
X 的数学期望为()30.3050.5590.155E X =⨯+⨯+⨯=（元）． ②因为150530÷=，则估计外卖员一天至少要送30份外卖， 所以该外卖员一天的送餐距离至少为30 2.781⨯=千米．
21．（12分）已知函数()2
x f x e ax =-，且曲线()y f x =在点1x =处的切线与直线
()20x e y +-=垂直．
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）求证：0x >时，()1ln 1x
e ex x x --≥-．
【答案】（1）()f x 的单调增区间为(),-∞+∞，无减区间；（2）见解析．
【解析】（1）由()2x f x e ax =-，得()2x f x e ax '=-．
因为曲线()y f x =在点1x =处的切线与直线()20x e y +-=垂直，
所以()122f e a e '=-=-，所以1a =，即()2x f x e x =-，()2x
f x e x '=-． 令()2x
g x e x =-，则()2x
g x e '=-．
所以(),ln 2x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；
()ln 2,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．
所以()()min ln 222ln 20g x g ==->，所以()0f x '>，()f x 单调递增． 即()f x 的单调增区间为(),-∞+∞，无减区间．
（2）由（1）知()2
x f x e x =-，()11f e =-，
所以()y f x =在1x =处的切线为()()()121y e e x --=--， 即()21y e x =-+．
令()()221x h x e x e x =----，则()()()2221x x
h x e x e e e x '=---=---， 且()10h '=，()2x
h x e ''=-，
(),ln 2x ∈-∞时，()0h x ''<，()h x '单调递减； ()ln 2,x ∈+∞时，()0h x ''>，()h x '单调递增．
因为()10h '=，所以()()min ln 242ln 20h x h e ''==--<，
因为()030h e '=->，所以存在()00,1x ∈，使()00,x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；
()0,1x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．
又()()010h h ==，所以0x >时，()0h x ≥，即()2
210x e x e x ----≥， 所以()2
21x e e x x ---≥．
令()ln x x x ϕ=-，则()111x x x x
ϕ-'=
-=． 所以()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；
()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，所以()()11x ϕϕ≤=-，即ln 1x x +≤，
因为0x >，所以()2ln 1x x x +≤，所以0x >时，()()21ln 1x
e e x x x
---≥+， 即0x >时，()1ln 1x
e ex x x --≥-．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：2x y α
α
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）．以原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ：24cos 3ρρθ=-．
（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（2）若曲线1C 与2C 交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点()0,1P -，求PM AB ⋅的
值．
【答案】（1）1C 的普通方程为()2
225x y +-=，2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=；
（2）3．
【解析】（1）曲线1C 的普通方程为()2
225x y +-=．
由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=． （2）将两圆的方程()2
225x y +-=与22430x y x +-+=作差得直线AB 的方程为
10x y --=．
点()0,1P -在直线AB 上，设直线AB
的参数方程为12x y t ⎧=
⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），
代入22430x y x +-+=
化简得240t -+=，
所以12t t +=124t t =． 因为点M
对应的参数为
122t t +=
，
所以
121232t t PM AB t t +⋅=
⋅-==
=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()21f x x a x =--+．
（1）当1a =时，求不等式()1f x ≥的解集；
（2）若()20f x a --≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(],0-∞；（2）[]1,1-．
【解析】（1）当1a =时，()3,
22112,123,1x f x x x x x x ->⎧⎪
=--+=--≤≤⎨⎪<-⎩，
当2x >时，31-≥，无解；
当12x -≤≤时，121x -≥，得0x ≤，所以10x -≤≤； 当1x <-时，3≥1，符合．
综上，不等式()1f x ≥的解集为(],0-∞．
（2）因为()20f x a --≤恒成立等价于()max 2f x a ≤+， 因为()212121x a x x a x a --+≤--+=+， 所以212121a x a x a -+≤--+≤+．
所以212a a +≤+，所以2212a a a --≤+≤+，解得11a -≤≤．
所以所求实数a 的取值范围为[]1,1-．
【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学（理）试题用稿】。