2024九年级数学下册第1章二次函数y=ax-h2+k的图象与性质习题课件新版湘教版
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【解】∵点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在平移后的函数图象上， 且P，Q两点均在对称轴同一侧，∴当P，Q两点同在对 称轴左侧时，若y1＞y2，则x1＜x2，当P，Q两点同在对 称轴右侧时，若y1＞y2，则x1＞x2.
12 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝－12(x－ m)2＋4 图象的顶点为 A，与 y 轴交于点 B，异于顶点 A 的点 C(1，n)在该函数图象上．
A．12或 4 C．－43或 4
B．43或－12 D．－12或 4
【点拨】
分两种情况讨论：若 a＞0，当 x＝1 时 y 取最小值， ∴－a＝－4，解得 a＝4；若 a＜0，当 x＝4 时 y 取最小值， ∴9a－a＝－4，解得 a＝－12. 【答案】D
9 [2023·牡丹江]将抛物线y＝(x＋3)2向下平移1个单位， 再向右平移___2_或__4__个单位后，得到的新抛物线经过 原点．
【点拨】
抛物线y＝(x＋3)2向下平移1个单位后的表达式为y＝ (x＋3)2－1，设抛物线向右平移h个单位后，得到的新抛物 线经过原点，则新抛物线的表达式为y＝(x＋3－h)2－1，∵ 抛物线经过原点，∴(3－h)2－1＝0，解得h＝2或4.
10 [2022·河北]如图，点P(a，3)在抛物线C：y＝4－(6－ x)2上，且在C的对称轴右侧．
y＝2x2 y＝2(x－3)2＋6
(0，0)
(3，m)
(1，2)
(4，8)
(2，8)
(5，14)
(－1，2)
(2，8)
(－2，8) (1，14)
(1)m的值为____6____；
(2)在如图所示的坐标系中画出平移后的图象； 【解】平移后的函数图象如图．
(3)点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在平移后的函数图象上，且P， Q两点在对称轴同一侧，若y1＞y2，试比较x1，x2的大小.
【解】∵平移后的抛物线的表达式为 y＝－x2＋6x－9＝－(x－3)2， ∴平移后抛物线的顶点坐标为(3，0)． ∵平移前抛物线的顶点坐标为(6，4)， ∴点 P′移动的最短路程为 (6－3)2＋(4－0)2＝5.
11 二次函数y＝2x2的图象先向上平移6个单位，再向右平 移3个单位．部分点的坐标变化如下表．
(3)直线AC与y轴相交于点D，当点B在x轴上方，且在线段 OD上时，求m的取值范围．
【解】∵点 A 与点 C 不重合，抛物线的顶点 A 的坐标是 (m，4)，C(1，n)，∴抛物线的顶点在直线 y＝4 上，m≠1. 在 y＝－12(x－m)2＋4 中，当 x＝0 时，y＝－12m2＋4， ∴点 B 的坐标为0，－12m2＋4.
抛物线从如图①所示的位置向左平移到如图②所示的位置， m 逐渐减小，且 m≥0，点 B 沿 y 轴向上移动． 当点 B 与点 O 重合时， －12m2＋4＝0， 解得 m＝2 2或 m＝ －2 2(不合题意，舍去)；
当点 B 与点 D 重合时，如图②，顶点 A 也与点 D 重合，点 B 到达最高点， ∴点 B(0，4)， ∴－12m2＋4＝4， 解得 m＝0.
解不等式(组)
m－1＞1－(m－1)，
可得 m 的取值范围．
【答案】B
5 [2023·广西]将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向
上平移4个单位，得到的抛物线是( )
A．y＝(x－3)2＋4
B．y＝(x＋3)2＋4
C．y＝(x－3)2－4
D．y＝(x＋3)2－4
【点方法】 根据函数图象的平移规律“左加右减自变量，上加
再向下平移1个单位，所得抛物线对应的函数表达式为y＝ (x＋1－2)2＋3－1，即y＝(x－1)2＋2.故选B.
【答案】B
7 [2022·玉林]小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻 折后经过点(2，0)有4种方法： ①向右平移2个单位； ②向右平移1个单位，再向下平移1个单位； ③向下平移4个单位； ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位． 你认为小嘉说的方法中正确的有( ) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【点拨】 由题图可知m＜0，n＜0，故一次函数y＝mx＋n
的图象经过第二、三、四象限．
【答案】C
3 [2022·温州]已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛 物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确 的是( ) A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜c C．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c
【点拨】 分别求出①②③④中图象的函数表达式分别为y＝
(x－2)2；y＝(x－1)2－1；y＝x2－4；y＝－x2＋4.将点(2，0) 的坐标代入验证即可得解．
【答案】D
8 [2022·衢州]已知二次函数 y＝a(x－1)2－a(a≠0)，当－
1≤x≤4 时，y 的最小值为－4，则 a 的值为( )
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值．
【解】∵抛物线C：y＝4－(6－x)2＝－(x－6)2＋4， ∴抛物线C的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4. 当y＝3时，3＝－(x－6)2＋4，解得x1＝5，x2＝7. ∵点P(a，3)在抛物线C的对称轴右侧，∴a＞6. ∴a＝7.
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及 C的一段，分别记为P′，C′.平移该胶片，使C′所在抛物 线对应的函数表达式恰为y＝－x2＋6x－9.求点P′移动的 最短路程．
下减常数项”得平移后抛物线的表达式．
【答案】A
6 [2023·徐州]在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x＋
1)2＋3的图象向右平移2个单位，再向下平移)
A．y＝(x＋3)2＋2
B．y＝(x－1)2＋2
C．y＝(x－1)2＋4
D．y＝(x＋3)2＋4
【点拨】 将二次函数y＝(x＋1)2＋3的图象向右平移2个单位，
【答案】D
4 [2022·宁波]点 A(m－1，y1)，B(m，y2)都在二次函数 y＝(x－1)2＋n 的图象上，若 y1＜y2，则 m 的取值范围为 () A．m＞2 B．m＞32 C．m＜1 D．32＜m＜2
【点拨】
易知抛物线的对称轴为直线 x＝1，抛物线的开口向上，
m－1＜1，
若 y1＜y2，则 m－1≥1 或m＞1，
当抛物线从如图②所示的位置继续向左平移时，如图③，点 B 不在线段 OD 上． ∴当点 B 在 x 轴上方，且在线段 OD 上时，m 的取值范围是 0≤m＜1 或 1＜m＜2 2.
1.2.5
二次函数y＝a(x－h)2＋k 的图象与性质
1 [2023·兰州]已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法 正确的是( C ) A．图象的对称轴为直线x＝－2 B．图象的顶点坐标为(2，3) C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
2 二次函数y＝(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数 y＝mx＋n的图象经过( ) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
(1)当m＝5时，求n的值； 【解】当 m＝5 时，y＝－12(x－5)2＋4. 当 x＝1 时，y＝－12×(1－5)2＋4＝－4，∴n＝－4.
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2 时，自变量x的取值范围；
【解】当 n＝2 时，将点 C(1，2)的坐标代入函数表达式 y＝ －12(x－m)2＋4，得 2＝－12(1－m)2＋4，解得 m＝3 或 m＝ －1(舍去)．∴此时抛物线的对称轴为直线 x＝3. 根据抛物线的对称性可知，当 y＝2 时，x＝1 或 x＝5， ∴当 y≥2 时，自变量 x 的取值范围为 1≤x≤5.
【点拨】 由y＝(x－1)2－2，可知该抛物线的对称轴为直线x＝
1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大；当 x＜1时，y随x的增大而减小．∵点A(a，2)，B(b，2)，C(c， 7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，∴若c＜0， 则c＜a＜b，故选项A，B均不符合题意；若c＞0，则a＜b ＜c，故选项C不符合题意，选项D符合题意．
12 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝－12(x－ m)2＋4 图象的顶点为 A，与 y 轴交于点 B，异于顶点 A 的点 C(1，n)在该函数图象上．
A．12或 4 C．－43或 4
B．43或－12 D．－12或 4
【点拨】
分两种情况讨论：若 a＞0，当 x＝1 时 y 取最小值， ∴－a＝－4，解得 a＝4；若 a＜0，当 x＝4 时 y 取最小值， ∴9a－a＝－4，解得 a＝－12. 【答案】D
9 [2023·牡丹江]将抛物线y＝(x＋3)2向下平移1个单位， 再向右平移___2_或__4__个单位后，得到的新抛物线经过 原点．
【点拨】
抛物线y＝(x＋3)2向下平移1个单位后的表达式为y＝ (x＋3)2－1，设抛物线向右平移h个单位后，得到的新抛物 线经过原点，则新抛物线的表达式为y＝(x＋3－h)2－1，∵ 抛物线经过原点，∴(3－h)2－1＝0，解得h＝2或4.
10 [2022·河北]如图，点P(a，3)在抛物线C：y＝4－(6－ x)2上，且在C的对称轴右侧．
y＝2x2 y＝2(x－3)2＋6
(0，0)
(3，m)
(1，2)
(4，8)
(2，8)
(5，14)
(－1，2)
(2，8)
(－2，8) (1，14)
(1)m的值为____6____；
(2)在如图所示的坐标系中画出平移后的图象； 【解】平移后的函数图象如图．
(3)点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在平移后的函数图象上，且P， Q两点在对称轴同一侧，若y1＞y2，试比较x1，x2的大小.
【解】∵平移后的抛物线的表达式为 y＝－x2＋6x－9＝－(x－3)2， ∴平移后抛物线的顶点坐标为(3，0)． ∵平移前抛物线的顶点坐标为(6，4)， ∴点 P′移动的最短路程为 (6－3)2＋(4－0)2＝5.
11 二次函数y＝2x2的图象先向上平移6个单位，再向右平 移3个单位．部分点的坐标变化如下表．
(3)直线AC与y轴相交于点D，当点B在x轴上方，且在线段 OD上时，求m的取值范围．
【解】∵点 A 与点 C 不重合，抛物线的顶点 A 的坐标是 (m，4)，C(1，n)，∴抛物线的顶点在直线 y＝4 上，m≠1. 在 y＝－12(x－m)2＋4 中，当 x＝0 时，y＝－12m2＋4， ∴点 B 的坐标为0，－12m2＋4.
抛物线从如图①所示的位置向左平移到如图②所示的位置， m 逐渐减小，且 m≥0，点 B 沿 y 轴向上移动． 当点 B 与点 O 重合时， －12m2＋4＝0， 解得 m＝2 2或 m＝ －2 2(不合题意，舍去)；
当点 B 与点 D 重合时，如图②，顶点 A 也与点 D 重合，点 B 到达最高点， ∴点 B(0，4)， ∴－12m2＋4＝4， 解得 m＝0.
解不等式(组)
m－1＞1－(m－1)，
可得 m 的取值范围．
【答案】B
5 [2023·广西]将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向
上平移4个单位，得到的抛物线是( )
A．y＝(x－3)2＋4
B．y＝(x＋3)2＋4
C．y＝(x－3)2－4
D．y＝(x＋3)2－4
【点方法】 根据函数图象的平移规律“左加右减自变量，上加
再向下平移1个单位，所得抛物线对应的函数表达式为y＝ (x＋1－2)2＋3－1，即y＝(x－1)2＋2.故选B.
【答案】B
7 [2022·玉林]小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻 折后经过点(2，0)有4种方法： ①向右平移2个单位； ②向右平移1个单位，再向下平移1个单位； ③向下平移4个单位； ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位． 你认为小嘉说的方法中正确的有( ) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【点拨】 由题图可知m＜0，n＜0，故一次函数y＝mx＋n
的图象经过第二、三、四象限．
【答案】C
3 [2022·温州]已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛 物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确 的是( ) A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜c C．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c
【点拨】 分别求出①②③④中图象的函数表达式分别为y＝
(x－2)2；y＝(x－1)2－1；y＝x2－4；y＝－x2＋4.将点(2，0) 的坐标代入验证即可得解．
【答案】D
8 [2022·衢州]已知二次函数 y＝a(x－1)2－a(a≠0)，当－
1≤x≤4 时，y 的最小值为－4，则 a 的值为( )
(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值．
【解】∵抛物线C：y＝4－(6－x)2＝－(x－6)2＋4， ∴抛物线C的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4. 当y＝3时，3＝－(x－6)2＋4，解得x1＝5，x2＝7. ∵点P(a，3)在抛物线C的对称轴右侧，∴a＞6. ∴a＝7.
(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及 C的一段，分别记为P′，C′.平移该胶片，使C′所在抛物 线对应的函数表达式恰为y＝－x2＋6x－9.求点P′移动的 最短路程．
下减常数项”得平移后抛物线的表达式．
【答案】A
6 [2023·徐州]在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x＋
1)2＋3的图象向右平移2个单位，再向下平移)
A．y＝(x＋3)2＋2
B．y＝(x－1)2＋2
C．y＝(x－1)2＋4
D．y＝(x＋3)2＋4
【点拨】 将二次函数y＝(x＋1)2＋3的图象向右平移2个单位，
【答案】D
4 [2022·宁波]点 A(m－1，y1)，B(m，y2)都在二次函数 y＝(x－1)2＋n 的图象上，若 y1＜y2，则 m 的取值范围为 () A．m＞2 B．m＞32 C．m＜1 D．32＜m＜2
【点拨】
易知抛物线的对称轴为直线 x＝1，抛物线的开口向上，
m－1＜1，
若 y1＜y2，则 m－1≥1 或m＞1，
当抛物线从如图②所示的位置继续向左平移时，如图③，点 B 不在线段 OD 上． ∴当点 B 在 x 轴上方，且在线段 OD 上时，m 的取值范围是 0≤m＜1 或 1＜m＜2 2.
1.2.5
二次函数y＝a(x－h)2＋k 的图象与性质
1 [2023·兰州]已知二次函数y＝－3(x－2)2－3，下列说法 正确的是( C ) A．图象的对称轴为直线x＝－2 B．图象的顶点坐标为(2，3) C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
2 二次函数y＝(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数 y＝mx＋n的图象经过( ) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
(1)当m＝5时，求n的值； 【解】当 m＝5 时，y＝－12(x－5)2＋4. 当 x＝1 时，y＝－12×(1－5)2＋4＝－4，∴n＝－4.
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2 时，自变量x的取值范围；
【解】当 n＝2 时，将点 C(1，2)的坐标代入函数表达式 y＝ －12(x－m)2＋4，得 2＝－12(1－m)2＋4，解得 m＝3 或 m＝ －1(舍去)．∴此时抛物线的对称轴为直线 x＝3. 根据抛物线的对称性可知，当 y＝2 时，x＝1 或 x＝5， ∴当 y≥2 时，自变量 x 的取值范围为 1≤x≤5.
【点拨】 由y＝(x－1)2－2，可知该抛物线的对称轴为直线x＝
1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大；当 x＜1时，y随x的增大而减小．∵点A(a，2)，B(b，2)，C(c， 7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，∴若c＜0， 则c＜a＜b，故选项A，B均不符合题意；若c＞0，则a＜b ＜c，故选项C不符合题意，选项D符合题意．