2020年广西壮族自治区柳州市自治县中学高二数学理模拟试题含解析

2020年广西壮族自治区柳州市自治县中学高二数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”,某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为
且；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都是11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是( )
A. 乙有四场比赛获得第三名
B. 每场比赛第一名得分a为4
C. 甲可能有一场比赛获得第二名
D. 丙可能有一场比赛获得第一名
参考答案：
A
【分析】
先计算总分，推断出，再根据正整数把计算出来，最后推断出每个人的得分情况，得到答案.
【详解】由题可知,且都是正整数
当时，甲最多可以得到24分，不符合题意
当时，，不满足
推断出，
最后得出结论:
甲5个项目得第一,1个项目得第三
乙1个项目得第一,1个项目得第二，4个项目得第三
丙5个项目得第二,1个项目得第三,
所以A选项是正确的.
【点睛】本题考查了逻辑推理,通过大小关系首先确定的值是解题的关键,意在考查学生的逻辑推断能力. 2. 某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（）
A．7 B．9 C．18 D．36
参考答案：
C
由题意知青、中、老职工的人数分别为160、180、90，
∴三者比为16：18：9，
∵样本中青年职工32人，
∴老年职工人数为18，故选C.
3. 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，3，…，840随机编号，则抽取的42个人中，编号落入区间[481，720]的人数为
A．11 B．12 C．13 D．14
参考答案：
B
4. 已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n?β，则下列叙述正确的是（）A．若m∥n，m?α，则α∥βB．若α∥β，m?α，则m∥n
C．若m∥n，m⊥α，则α⊥βD．若α∥β，m⊥n，则m⊥α
参考答案：
C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
【解答】解：由m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n?β，知：
若m∥n，m?α，则α与β相交或平行，故A错误；
若α∥β，m?α，则m与n平行或异面，故B错误；
若m∥n，m⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
若α∥β，m⊥n，则m与α相交、平行或m?α，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
5. 函数的定义域是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
6. 直线如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是( )
A．B．
C．三棱锥的体积为定值
D．
参考答案：
D
略
7. 将函数（）的图象绕坐标原点逆时针旋转（为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则的最大值为（）
A．
B． C．
D．
参考答案：C
8. 三个人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2人上了同一车厢的概率为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
9. 执行如图所示的程序框图，如果输出的a＝341，那么判断框中可以是 ( )
A．k<4? B．k<5?
C．k<6? D．k<7?
参考答案：
C
10. 在等差数列中，，，则数列的前项和为
...
.
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__________.
参考答案：
略
12. 二项式展开式中的常数项为______．
参考答案：
60 【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．
【详解】解：的展开式的通项公式为，
令，求得，所以展开式中常数项为
．
故答案
：60．
【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 13. 已知过点
的直线与圆
相切，则直线l
方程为
▲ .
参考答案：
【分析】
设出直线方程，利用直线与圆相切得到k 值，从而得到直线的方程. 【详解】由题意易知所求直线的斜率存在，设直线方程：
即
又直线与圆
相切
∴
∴
∴直线方程为
14. 设数列
满足
，且对任意的
，满足
，
,则
参考答案：
15. 已知数列的前项和为
，则下列结论错误的是___________.
①若是等差数列，则是等差数列。

②若是等差数列，则
是等差数列。

③若
是公比为的等比数列，则也是等比数列且公比为。

④若
是公比为的等比数列，则
（为常数，且
）
也是等比数列且公比为。

参考答案：
②③④ 略
16. 在中，内角的对边分别为,，则
= .
参考答案：
17. 已知x 与y 之间的一组数据： y=1.2x+0.4，则a 的值为 ．
参考答案：
2
【考点】BK ：线性回归方程．
【分析】求出样本中心，代入回归直线方程求解即可． 【解答】解：由题意可得：
=3， =
=a+2，
可得：a+2=1.2×3+0.4，解得a=2． 故答案为：2．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知点，圆，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M,O为坐标原点．
(Ⅰ)求M的轨迹方程；
(Ⅱ)当（P，M不重合）时，求l的方程及△POM的面积．
参考答案：
（1）（2）(或)
（1）圆C的方程可化为，
∴圆心为，半径为4，设，
∴
由题设知，即.
由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是. ..... ......... ..........................5分. （2）由（1）可知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.
由于，故在线段的垂直平分线上，又在圆上，从而.
∵的斜率为3
∴的方程为.(或). ..... ......... ..... ......... ......................... ..........................8分. 又，到的距离为，，. ..... ......... ............ .....................11分. ∴的面积为.. ..... ......... ............ ..................... . ..... ......... ............ ....................... ...................12分.
19. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于M、N两点
（1）求圆A的方程.
（2）当时，求直线方程.
参考答案：由题意知到直线的距离为圆半径
（5分）
②由垂径定理可知且，在中由勾股定理易知
设动直线方程为：，显然合题意。

由到距离为1知
为所求方程. （7分）
略
20. 设函数f（n）=，其中n∈N*，若有f（n）＞都成立．
（1）求正整数a的最大值a0；
（2）证明不等式f（n）＞（其中n∈N*）．
参考答案：
【考点】数列的求和．
【分析】（1）由题意可得f（1）取得最小值，即有f（1）＞，解不等式可得正整数a的最小值；
（2）运用数学归纳法证明：＞．注意验证n=1，不等式成立；证明n=k+1，不等式也成立，注意运用假设和不等式的性质．
【解答】解：（1）函数f（n）=，其中n∈N*，若有f（n）＞都成立，
当n=1时， ++＞，即＞，
即有a＜26，正整数a的最大值a0=25；
（2）下面运用数学归纳法证明：＞．
①当n=1时， ++＞成立；
②假设当n=k时，不等式成立，即++…+＞，
则当n=k+1时， ++…+
=++…++++﹣
＞++﹣?，
由+=＞，
可得+﹣?＞0，
所以当n=k+1时，不等式也成立．
由①②可得，对一切的正整数n，＞．
即：对一切的正整数n，f（n）＞．
21. 已知复数，（，i为虚数单位）.
（1）若是纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围. 参考答案：
解：（1）依据
根据题意是纯虚数，
；
（2）根据题意在复平面上对应的点在第四象限，可得所以，实数的取值范围为
22. （本小题满分7分）
已知等差数列{}的前n项和为S n，且 b n＝－30 （1）求通项；（2）求数列{b n}的前n项和T n的最小值。

参考答案：
解：（1）由＝10，＝72，得∴＝4n－2，-----------------4分（2）则b n =－30＝2n－31.
得
∵n∈N*，∴n＝15.
∴{b n}前15项为负值，∴最小，
可知b1＝－29，d＝2，∴T15=－225. -----------------7分。