高考数学压轴专题最新备战高考《集合与常用逻辑用语》技巧及练习题附答案

【高中数学】数学《集合与常用逻辑用语》高考复习知识点
一、选择题
1．数列{}n a 的通项公式为()
n a n c n N *
=-∈．则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的（ ）
条件． A ．必要而不充分 B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要
【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1
2
c n <+
，由此得到若{}n a 是递增数列，则3
2c <
，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()2
2
1n c n c +->-，化简得：12
c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32
c ∴<， 则2c <¿
{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A . 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
2．已知命题:p m ∃∈R ，10+<m ，命题:q x ∀∈R ，210x mx ++>恒成立，若p ，q 至少有一个是假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[)2,1-- B ．(],2-∞-
C ．[]2,1--
D ．[)1,-+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可判断命题p 为真命题，所以可得命题q 必定为假命题，进而得到参数的取值范围； 【详解】
因为p ，q 中至少有一个为假命题，而命题:p m ∃∈R ，10+<m 为真命题； 所以命题q 必定为假命题，所以2410m ∆=-⨯≥，解得2m ≤-或2m ≥.
又命题:p m ∃∈R ，10+<m 为真命题，所以1m <-，于是2m ≤-. 故选：B. 【点睛】
本题考查全称命题真假性的判断、复合命题真假性求参数取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
3．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{
x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数； ②若0a b ⋅=r r
，则0a =r r 或0b =r r
；
③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题；
④函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误；
对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r
，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；
对于③中，命题“若22
0x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，
其逆否命题为真命题，故③正确；
对于④中，()()x x x x
e e e e
f x f x x x
-----===-，
且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称， 所以函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数，故④正确.
综上，真命题的个数是2. 故选：B. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
4．已知下列四个命题
1P ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥；
2P ：若()x x f x e e -=-，则,()()x R f x f x ∀∈-=-
3P ：若1
()1
f x x x =+
+则()00(0,),1x f x ∃∈+∞= 4P ：在ABC V 中，若A B >，则sin sin A B >
其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据线面垂直关系判断1P 错误；根据函数奇偶性判定2P 正确，利用基本不等式性质判断
3P 不正确，结合三角形边角关系判定4P 正确.
【详解】
解：1P ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥不一定成立，必须是任意直线；故命题1P 错误，
2P ：若()x x f x e e -=-，则()()x x f x e e f x --=-=-，即,()()x R f x f x ∀∈-=-成
立；命题正确，
3P ：当1x >-时，11()11121111f x x x x x =+
=++-=-=++…， 当且仅当111
x x +=
+，即2
(1)1x +=，得0x =时取等号，则()00(0,),1x f x ∃∈+∞=不成立，故命题为假命题，
4P ：在ABC V 中，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin A B >，即命题为真命题.
则正确的命题的个数是2， 故选：B . 【点睛】
此题考查判断命题的真假，涉及知识面广，关键在于对每一个命题的真假性正确辨析.
5．集合{}
|12A x x =-<，1393x B x ⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭
，则A B I 为( ) A ．()1,2 B ．()1,2-
C ．()1,3
D ．()1,3-
【答案】B 【解析】 【分析】
计算得到{}
13A x x =-<<，{}
12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案. 【详解】
1
8{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭
， 故()1,2A B =-I . 故选：B . 【点睛】
本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.
6．已知实数0a >，0b >，则“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
构造函数()e 2(0)x
f x x x =->,利用函数()f x 的单调性和充分与必要条件的定义判断即
可. 【详解】
e 2e 2e 2e 2a b a b b a a b +>+⇔->-，
令()e 2(0)x f x x x =->，则()e 2x
f x '=-，
令()0f x '=，解得ln 2x =，
因为()'
f
x 为R 上的增函数,
所以当()0,ln 2x ∈时,()'
0f x <;当()ln 2,x ∈+∞时,()'0f x >,
故()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增， 所以当1a b >>时，()()f a f b >，即22a b e a e b ->-, 即“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的充分条件；
但当0ln 2a b <<<时，有()()f a f b >,即22a b e a e b ->-, 所以当22a b e b e a +>+时,可得1a b >>或0ln 2a b <<<， 故“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的不必要条件.
综上可知“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的充分不必要条件. 故选:A 【点睛】
本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数()e 2(0)x f x x x =->,利用函数的单调性进行判断;属于中档题.
7．已知集合307x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，8,1B x x N N x ⎧⎫
=∈∈⎨⎬+⎩⎭
，则A B I =（ ）
A ．{}0,1,3
B ．{}3,2,1,3--
C ．{}0,1,3,7
D ．{}3,2,0,1,3--
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分式不等式的解法和集合的表示方法，求解,A B ，再结合集合的交集运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合[)303,77x A x
x +⎧⎫=≤=-⎨⎬-⎩⎭，8,1B x x N N x ⎧⎫
=∈∈⎨⎬+⎩⎭
{}0,1,3,7=，
所以{}0,1,3A B =I ． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
8．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“()
12
n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
必要性显然成立；由()12
n n n a a S +=
，()
111(1)2n n n a a S ---+=，得
11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，同理可得211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②，综合①，
②，得122n n n a a a --=+，充分性得证，即可得到本题答案. 【详解】
必要性显然成立；下面来证明充分性， 若()12
n n n a a S +=
，所以当2n …时，()111(1)2n n n a a S ---+=， 所以()()1112(1)n n n a n a a n a a -=+--+，化简得11(1)(2)n n n a a n a --=+-①，
所以当3n …
时，211(2)(3)n n n a a n a ---=+-②， ①-②得()122(2)(2)n n n n a n a a ---=-+，所以122n n n a a a --=+，即数列{}n a 是等差数列，充分性得证，所以“()12
n n n a a S +=”是“数列{}n a 是等差数列”的充要条件.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.
9．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x|2x <2}，则A∩B 等于( ) A ．(1,3) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1) D ．(－3,1)
【答案】C 【解析】 【分析】
根据不等式的解法，求得集合,A B ，根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】
依题意，可得集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}＝(-1,3)，B ＝{x|2x <2}＝(－∞，1)， ∴A ∩B ＝(－1,1)． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确利用不等式的解法，求得集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．下列说法正确的是( )
A ．命题“0[0,1]x ∃∈，使2
010x -…
”的否定为“[0,1]x ∀∈，都有2 10x -„” B ．命题“若向量a v 与b v
的夹角为锐角，则·0a b >v
v ”及它的逆命题均为真命题 C ．命题“在锐角ABC V 中，sin cos A B <”为真命题
D ．命题“若20x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则
20x x +≠”
【答案】D 【解析】 【分析】
对于A 选项，利用特称命题的否定即可判断其错误．
对于B 选项，其逆命题为“若·0a b >r r ，则向量a r 与b r
的夹角为锐角”，
由·0a b >r r 得：·cos 0a b θ>r r ，可得cos 0θ>，则0,2πθ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，所以该命题错误，所以B 错误．
对于C 选项，02
2
2A B A B π
π
π
+>⇒
>>
->，可得sin sin cos 2A B B π⎛⎫
>-= ⎪⎝⎭
，所以C 错误． 故选D 【详解】
命题“0[0,1]x ∃∈，使2
110x -…
”的否定应为“[0,1]x ∀∈，都有210x -<”，所以A 错误； 命题“若向量a r 与b r 的夹角为锐角，则·0a b >r r
”的逆命题为假命题，故B 错误；
锐角ABC V 中，02
2
2
A B A B π
π
π
+>⇒
>>
->，
∴sin sin cos 2A B B π⎛⎫
>-= ⎪⎝⎭
，所以C 错误， 故选D. 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判断，还考查了特称命题的否定，向量的数量积知识，属于中档题．
11．“方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）
A ．“6m =”
B ．“67m <<”
C ．“57m <<”
D ．“57m <<”且“6m ≠”
【答案】C 【解析】 【分析】
由椭圆的定义可列出m 满足的不等式组，从而求出m 的取值范围，再结合选项选出必要不充分条件． 【详解】
因为方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆，
则由椭圆的定义可知：705075m m m m ->⎧⎪
->⎨⎪-≠-⎩
，解得：57m <<且6m ≠，
所以“方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的充要条件为“57m <<且6m ≠”，
Q “57m <<”推不出“57m <<且6m ≠”，反之可推出，
所以“57m <<”是方程“22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
所以“方程22
175
x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“57m <<”．
故选：C ． 【点睛】
本题考查必要不充分条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用集合的关系进行解题.
12．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ） A ．-3或-1或2 B ．-3或-1 C ．-3或2 D ．-1或2
【答案】C 【解析】
若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项.
13．设01p <<，随机变量ξ的分布列是
则当p 在(0,1)内增大时，“()E ξ减小”是“()D ξ增加”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
首先求()E ξ和()D ξ，然后换元()t E ξ=，
()2
21331321
222228
D t t t ξ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，利用函数的单调性，判断充分必要条件.
【详解】
由题意可知：()()2
21210p p p p -+-+= ， 且()2
011p <-<，()0211p p <-<，2
01p <<
解得：01p <<，
()()()2
211121341E p p p p p ξ=-⨯-+⨯-+⨯=-，
()()()()()()2
2
2
2
2141114121341D p p p p p p p ξ=----+--⨯-+--⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
288p p =-+，
设()411,3E p t ξ=-=∈-，
2
21113884422t t D t t ξ++⎛⎫=-⨯+⨯=-++ ⎪
⎝⎭ ()2
1122
t =-
-+， 当()1,1t ∈-时，D ξ增大，当()1,2t ∈时，D ξ减小， 所以当E ξ减小时，不能推出D ξ增加； 设()2
880,2D p p t ξ=-+=∈，
2
1822p t ⎛
⎫--+= ⎪⎝⎭，
2
1228t p -⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，
当102p <<时，12p =，此时1412E ξ⎛=- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ也增加，
当112p ≤<时，12p =+1412E ξ⎛=+- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ减小，
所以当D ξ增加，不能推出E ξ减小.
综上可知：“E ξ减小”是“D ξ增加”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】
本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.
14．已知命题2
000:,10p x R x x ∃∈-+≥；命题:q 若a b <，则
11
a b
>，则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧
D ．p q ⌝∧⌝
【答案】B
【解析】
因为2
2
213133
1()44244
x x x x x -+=-+
+=-+≥，所以命题p 为真；1122,22--
∴Q 命题q 为假，所以p q ∧⌝为真，选B.
15．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
16．已知命题p ：∀x ∈R ，x+1
x
≥2；命题q ：∃x 0∈[0,]2π，使sin x 0+cos x 0=，则下列命
题中为真命题的是 ( ) A ．p ∨(⌝q ) B ．p ∧(⌝q )
C ．(⌝p )∧(⌝q )
D ．(⌝p )∧q
【答案】D 【解析】 【分析】
先判断命题p,q 的真假，再判断选项命题的真假. 【详解】
对于命题p ：当x ≤0时，x+
1
x
≥2不成立， ∴命题p 是假命题，则⌝p 是真命题；
对于命题q ：当x 0=
4
π
时，sin x 0+cos x 0，则q 是真命题． 结合选项只有(⌝p )∧q 是真命题． 故答案为D. 【点睛】
(1)本题主要考查全称命题特称命题的否定及其真假，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.
17．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“220x x --<”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要
条件.
18．下列命题中是假命题的是
A ．对任意x ∈R ，30x >
B ．对任意()0x ∈+∞，，sin x x >
C ．存在0x ∈R ，使20log 0x =
D ．存在0x ∈R ，使00sin cos 2x x +=
【答案】D
【解析】
【分析】 根据指数函数，三角函数，对数函数的性质依次判断，即可得出答案.
【详解】
因为函数30x y =>，所以“对任意x ∈R ，30x >”为真命题；利用导数知识易证当0
x >时，sin 0x x ->恒成立，所以“对任意()0x ∞∈+，
，sin x x >”为真命题；当01x =时，202log log 10x ==，所以“存在0x ∈R ，使20log 0x =”为真命题；因为
000πsin cos 4x x x ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝
⎭，故“存在0x ∈R ，使00sin cos 2x x +=”为假命题. 故选D ．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，解答本题的关键熟悉运用不等式、对数函数、三角函数的性质．
19．已知集合{|21
}A x x =->，2{|lg(2)}B x y x x ==-，则()R C A B =I （ ） A ．(1,2)
B ．[1,2)
C ．(2,3)
D ．(0,1]
【答案】B
【解析】
【分析】 由绝对值不等式的解法和对数函数的性质，求得{3,1
}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，再根据集合的运算，即可求解．
【详解】 由题意，可求得{3,1
}A x x x =<或，{|02}B x x =<<，则[]1,3R C A =， 所以()[)1,2R C A B ⋂=.故选B.
【点睛】
本题主要考查了对数的混合运算，其中解答中涉及到绝对值不等式的求解，以及对数函数的性质，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
20．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ）
A ．21,2n n n ∀>>
B ．21,2n n n ∃≤≤
C ．21,2n n n ∀>≤
D ．21,2n n n ∃>≤
【答案】C
【解析】
根据命题的否定，可以写出p ⌝：21,2n n n ∀>≤，所以选C.。