2016年浙江同济科技职业学院单招数学模拟试题(附答案)

2016年某某同济科技职业学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集
},01
|
{},10|{,<-=><==x x x N x x x M R U 或则（ ）
A ．M ∪N=R
B ．M ∩N=φ
C ．
D ．
2．将函数y=sin x 按向量a =（－4π
，3）平移后的函数的解析式为（ ） A ．y=sin(x －4π)+3B ．y=sin(x －4π
)－3
C ．y=sin(x +4π)+3
D ．y=sin(x +4π
)－3
3．设l 、m 、n 表示三条直线，α、β、γ表示三个平面，则下列命题中不成立的是（ ）
A ．若l ⊥α,m ⊥α,则l ∥m
B ．若m ⊂β，n 是l 在β内的射影，m ⊥l ，则m ⊥n
C ．若m ⊂α，n ⊄α,m ∥n ，则n ∥α
D ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 4．如果数列
,,,,,}{123121----n n n a a a a a a a a 满足是首项为1，公比为2的等比
数列， 那么
n
a =（ ）
A ．2n+1－1
B ．2n －1
C ．2n －1
D ．2n +1
5．已知复数z 满足|z|=1，则|z+i|的最大值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．0<x <5是不等式|x －2|<4成立的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件
7．有A 、B 两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车
床，丙只会操作A 种车床，现从这三名工人中选2人分别去操作以上车床，则不同的
选派方法有（ ）
A ．6种
B ．5种
C ．4种
D ．3种
8．直线x sin θ+ycos θ=2+sin θ与圆(x －1)2+y 2=4的位置关系是（ ） A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能
9．已知x 、y 满足约束条件
y x z x y x y x 3,102012+=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-则的最小值为（ ）
A ．7
B ．35
C ．－5
D ．5
10．如图，∠ACB=90°，平面ABC 外有一点P ，PC=4cm ，点P 到角的两边AC 、BC
的距离都等于23cm ，那么PC 与平面ABC 所成角的大小为（ ） A ．30°B ．45° C ．60°D ．75°
11．过抛物线y 2=4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，
O 为坐标原点，则⋅的值是（ ） A ．12B ．－12
ξ
1
2 3 P 0. a
b
0.
C ．3
D ．－3
12．设函数f (x )在定义域内可导，y= f (x )的图象如右图所示，
则导函数y= f ′(x )的图象可能为（ ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.
13．一离散型随机变量ξ的概率分布为：且E ξ=1.5， 则a －b=.
14．正方体的全面积是24cm 2,它的顶点都在一个球面上，这个球的表面积是cm 2.
15．已知P 是椭圆1
422
=+y x 上的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2=60°，
则△F 1PF 2的面积是. 16．设
n
n x a n N n )1(,3*,+≥∈是若且展开式中含x 2项的系数，则
)1
11(
lim 43n n a a a +++∞
→ =
.
三、解答题：本大题6个小题，共74分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数),1,2(),2cos ,1(),0(|
1|)(==≠∈-=m R m x m x f θ设向量且
)
()(,)4,0(),1,sin 21(),1,sin 4(f f ⋅⋅∈==与比较时当π
θθθ的大小.
18．（本小题满分12分）
已知，如图四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，
垂足为G ，G 在AD 上，且AG=31
GD ，BG ⊥GC ，GB=GC=2，E 是BC 的中点，四面体P —BCG 的体积为38.
（Ⅰ）求异面直线GE 与PC 所成的角； （Ⅱ）求点D 到平面PBG 的距离；
（Ⅲ）若F 点是棱PC 上一点，且DF ⊥GC ，求FC PF
的值.
19．（本小题满分12分）
冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.
（Ⅰ）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；
（Ⅱ）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.
20．（本小题满分12分）
已知数列{a n}中，a2=a+2(a为常数)；S n是{a n}的前n项和，且S n是na n与na的等差中项.
（Ⅰ）求a1, a3 ;
（Ⅱ）猜想a n的表达式，并用数学归纳法加以证明；
（Ⅲ）求证以
)1
,
(-
n
S
a n
n为坐标的点P
n(n=1, 2, …)都落在同一直线上.
21．（本小题满分12分）
设双曲线C1的方程为
)0
,0
(1
2
2
2
2
>
>
=
-b
a
b
y
a
x
，A、B为其左、右两个顶点，P是
双曲线C1上的任意一点，引QB⊥PB，QA⊥PA，AQ与BQ交于点Q.
（Ⅰ）求Q点的轨迹方程;
（Ⅱ）设（I ）中所求轨迹为C 2，C 1、C 2
的离心率分别为e 1、e 2，当21 e 时，e 2
的取值X 围.
22．（本小题满分14分）
已知二次函数f (x )=ax 2+(a +1)x －a ,方程f (x )=0两实根的差的绝对值等于2.
（Ⅰ）某某数a 的值.
（Ⅱ）是否存在实数p 、q ，使得函数F(x )=p f [f (x )]+q f (x ),在区间（－∞，－3）内是增函数，在区间（－3，0）内是减函数？若存在，求p 、q 所要满足的条件；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．A 7．C 8．B 9．C 10．B 11．D 12．D 二、填空题
13．0； 14．12π； 15．33
16．1.
三、解答题 17．解法一：
21)()(),1()(,1,09)()(),1()(,1,0611
,02cos 2)
2
,0(2),4,0(42cos 21sin 22cos 2)
1,sin 21
(),1,sin 4(),1,2(),2cos ,1(:21)()(,02cos 2,001)()(,02cos 2,00
2cos ),2
,0(2),4,0(82cos 2)sin (cos 2)()(cos 2|2cos 1|)(42cos 21sin 22cos 2)
1,sin 21
(),1,sin 4(),1,2(),2cos ,1(22222'
⋅<⋅∴+∞-=><'⋅>⋅∴+∞-=>>'
>⋅>⋅∴>⋅>=⋅-⋅∴∈∴∈'
-=+=⋅+=⋅∴===='⋅<⋅<<'⋅>⋅>>∴>∴∈∴∈'=-=⋅-⋅=+=⋅∴'
-=+=⋅+=⋅∴==== d c f b a f m mx x f x m d c f b a f m mx x f x m d c b a d c d c b a d c b a d c b a d c f b a f m m d c f b a f m m m m d c f b a f m m b a f d c b a d c b a 上递减在时则当若上递增在时则当若且解法二即时当即时当于是有θπ
θπθθθθ
θθθθθθπ
θπθθθθθ
θθθθ
θθθ
18．解法一：
（I ）由已知
38213131=
⋅⋅⋅=⋅=∆-PG GC BG PG S V BCG BGC P ∴PG=4…………2′
如图所示，以G 点为原点建立空间直角坐标系o —x yz ，
则
B （2，0，0），
C （0，2，0），P （0，0，4） 故E （1，1，0）
10
1020
22|
|||,cos 3)4,2,0(),0,1,1(=⋅=
⋅>=
<'-==PC GE PC GE
∴异面直线GE 与PC 所成的角为arccos 1010
……………………4′
（II ）平面PBG 的单位法向量
)0,1,0(0±=n
6)0,23
,23(45,223||43||'
-=∴=∠==
GD CGD BC GD ∴点D 到平面PBG 的距离为23
||0=
⋅n ……………………8′
（III ）设F （0，y , z ）
2
3
0)2
3(2)0,2,0()0,23,23(0
,01)0,2,0()
,23
,23()0,23,23(),,0(=
∴=-=⋅-∴=⋅∴⊥'
=-=--=-=y y y z y z y 则
在平面PGC 内过F 点作FM ⊥GC ，M 为垂足，则
21,23==
MC GM
3==∴
MC GM
FC PF ……………………………………………………………………12′
解法二：
（I ）由已知
38
213131=
⋅⋅⋅=⋅=∆-PG GC BG PG S V BCG BGC P
∴PG=4…………2′
在平面ABCD 内，过C 点作CH//EG 交AD 于H ，连结PH ，则
∠PCH （或其补角）就是异面直线GE 与PC 所成的角.………………3′ 在△PCH 中，18,20,2===
PH PC CH
由余弦定理得，cos ∠PCH=1010
∴异面直线GE 与PC 所成的角为arccos 1010
……………………4′
（II ）∵PG ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PBG ∴平面PBG ⊥平面ABCD
在平面ABCD 内，过D 作DK ⊥BG ，交BG 延长线于K ，则DK ⊥平面PBG ∴DK 的长就是点D 到平面PBG 的距离…………………………6′
223434322===
∴=BC AD GD BC
在△DKG ，DK=DGsin45°=23
∴点D 到平面PBG 的距离为23
……………………………………8′
（III ）在平面ABCD 内，过D 作DM ⊥GC ，M 为垂足，连结MF ，又因为DF ⊥GC
∴GC ⊥平面MFD ， ∴GC ⊥FM
由平面PGC ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥平面ABCD ∴FM//PG
由GM ⊥MD 得：GM=GD ·cos45°=23
…………………………10′
332
1
23
=⊥∴===FC
PF
GC DF MC GM FC PF 可得
由 …………12′
19．解：（I ）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶。

记“饮用一次，饮用的
是甲种饮料”为事件A ，则P=P(A)=21
.题（I ）即求7次独立重复试验中事件A
发生5次的概率为：
12821)21()1()5(7
2725577=
=-=C P P C P …………………………6′ （II ）有且仅有3种情形满足要求：
甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙
没有被饮用.……………………………………………………………………8′ 所求概率为：P 6(5)+P 5(5)+P 4(4) ………………………………………9′ =C 65P 5(1－P)+C 55P 5+C 44P 4
=163
…………………………………………………………11′
答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为12821
，甲饮料被饮用瓶数比乙饮料
被饮用瓶数至少多4瓶的概率为163
.……………………………………12′
20．解：解：（I ）由已知得：
n a
a na na S n n n ⋅+=+=
22………………1′
34),(3)2(2)
(3)(2,,3,2,,1333332132131111'+=∴+=+++∴+=++∴++===∴+∴== a a a a a a a a a a a a a a a S n a
a a a a S n 时当时当 （II ）)1(2,4,2,321-+=+=+==n a a a a a a a a n 猜想 ………4′
证明：（i ）当n=1时，左边=a 1=a ,右边=a +2(1－1)=a , ∴当n=1时，等式成立 当n=2时，左边=a 2=a +2,右边=a +2(2－1)=a +2
∴当n=2时，等式成立.……………………………………………………5′ （ii ）假设n=k(k ∈N*，k ≥2)时，等式成立，即a k =a +2(k －1), 则当n=k+1时
]1)1[(21)1(2)1(1)]1(2[1,)1(2,11,2,
)1()()1)((262)1(211111111-++=--+-=---++=-+=---=
∴≥-=-∴+-++=∴'+-++=
-=++++++++k a k k k a k k a k a k k a k a a k a a k k a k a ka a k k
a a k a a a k a a k a a S S a k k k k k k k k k k k k k k 得代入将 ∴当n=k+1时，等式也成立.
由（i ）（ii ）可知，对任何正整数n ，等式
)1(2-+=n a a n 都成立.……………8′
（III ）证明当n ≥2时，∵a n =a +2(n －1) 21)1(21)11()(01)1(21)11
()1(1)1(2)1(2221111=--=---∴'-=--=---∴-+=∴-+=⋅-+=⋅+=∴n n a a S n S n a a n S n S n a n
S n n a n n a n a a S n n n n n n n 3,2,1(=∴n P n 点……）都落在同一直线上.…………………………12′
21．（I ）解法一：设P(x 0,y 0), Q(x ,y )
7)3(5,1)3(1:)2()1(2)2(1)1(1,),0,(),0,(422224
222222
2222222222
222000000
0000'
=--='=-∴=-=-⋅-⨯'
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+∴⊥⊥- a y b x a a a x y b a
b a x y b y a x a
x y a x y a
x y a x y a x y a x y PA
QA PB QB a B a A 即得代入得由 经检验点)0,(),0,(a a -不合
因此Q 点的轨迹方程为a 2x 2－b 2y 2=a 4（除点（－a ,0）,(a ,0)外）…………8′ （I ）解法二：设P(x 0,y 0), Q(x ,y), ∵A(－a , 0), B(a , 0), QB ⊥PB, QA ⊥PA 8))0,(),0,((70
,,1)(:1)4)(3(5)4())(())((:)2()3()
3(22)2()1()
2()()1()(2114222242222222
22
22222202202
200002002000000'-=-∴'
=-∴≠-∴±==--=-'-=-+=---=-=∴-=-⎪⎩⎪⎨⎧-=+---=++∴'⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+∴ 外除点点轨迹方程为不合题意时当得代入把解得代入把得由a a a y b x a Q a y b x a a x a x b y a x a x b y a x y
a x y a x a x y a x a x y x x ax ax a ax yy x a x a ax yy x a x a
x y a x y a x y a x y
（I ）解法三：设P(x 0,y 0), Q(x ,y), ∵PA ⊥QA ∴100-=-⋅-a x y a x y ……（1）…………………………………………1′
连接PQ ，取PQ 中点R
21211121)2(1
12
011
11111)(:)(8))0,(),0,((7:0
,,1)(,1)3)(2(5)3(1:)1()2(3)2(,02
|,|||||2
1|||,|21||,,2221222222224
222
42
2224222242222222
22
22222202202
20022000'
≤<∴'
=-+≤∴≥'-+=-+=+=+==-'
-=-∴'
=-≠-∴±==--=-'-=∴-=-'-==+∴
∴=∴==
∴⊥⊥ e e e e a c a b a a b a a e b a
y a x C I II a a a y b x a Q a y b x a a x a x b y a x a x b y a x y a x y x
a y y x x x x y R RB RA PQ RB PQ RA PB QB QA PA 的方程为得由解外除去点点轨迹方程为整理得不合题意时得代入把得代入把即轴上点在 22．解：（I ）
04)1(22>++=∆a a 51,44)1(44)(2
||21,1,,0)(22122121212121'-=∴=++-∴=-+∴=-'-=+-
=+=∴ a a a x x x x x x x x a a x x x x x f 由已知且有两个不等实根
（II ）2422)]([,1)(x x x f f x x f +-=+-=………………………………6′
设存在实数p 、q 满足要求，则
)(),0,3(,0)(),3,(:0)
3)(3(4364)(,21160
)3)(2(2)3(40)3(,0)(,)0,3(;0)(,)3,(,8)2(24)()2()1()2()(33324224<'-∈>'--∞∈>-+-=+-=''-=∴=--+--∴=-'<'-∈>'--∞∈'
-+-='+-+-=+-++-=x F x x F x p x x px px px x F p q q p p F x F x x F x x q p px x F q
x q p px x q x x p x F 则若则若时当此时且时时当由已知 ∴存在实数p 、q ，当p>0且q=－16p 时，满足设要求………………14′。