【高一数学】南京外国语2018-2019学年上学期高一上数学期中试卷答案

南京外国语学校
2018—2019学年度第一学期期中高一年级
数学试题（A 卷）
一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案写在答．卷纸相应．．．．位置上．．．） 1. 已知集合{}1,2,3,6A =−,{}|23B x x =−<<，则A B =______．
【答案】{}1,2−；
【解析】由交集的定义可得．
2.
幂函数y =_______（填序号）．
① ② ③ ④
【答案】③；
【解析】1
2
y x =，在()0,+∞单调递增，比y x =增长的慢则选③．
3. 把函数()2
22y x =−+的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位，所得图象对应的函数解析式是
______．
【答案】224y x x =−+；
【解析】()()2
2122124y x x x =+−++=−+．
4. 偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，()33f =，则()1f −=______． 【答案】3；
【解析】由偶函数可得()()11f f −=，()()13f f =则()13f −=．
5. 集合U =R ，()1,2A =−，(){}|ln 1B x y x ==−，则图中阴影部分所
代表的集合为______（结果用区间的形式表示）．
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【答案】[)1,2；
【解析】(),1B =−∞图像中阴影部分为[)1,2U
A B =．
6. 若函数()2f x x a =+的单调递增区间是[)3,+∞，则a 的值为______． 【答案】6−；
【解析】函数在,2a ⎛⎤−∞− ⎥⎝⎦单调递减，在,2a ⎡⎫
−+∞⎪⎢⎣⎭
单调递增，则362a a −=⇒=−．
7. 已知函数()()0,1x f x a a a =>≠且，如果以()()11,P x f x ，()()22,Q x f x 为端点的线段的中点在y 轴
上，那么()()12f x f x =_______． 【答案】1；
【解析】120x x +=，121201x x x x a a a a +⋅===．
8. 函数()37ln f x x x =−+的零点位于区间(),1n n +()n ∈N 内，则n =______． 【答案】2；
【解析】函数在()0,+∞单调递增，()21ln20f =−+<，()32ln30f =+>则零点在()2,3之间．
9. 若关于x 的方程2420x x a −−−=在区间()1,4内有解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】[)6,2−−；
【解析】转化成242x x a −−=有交点，[)2426,2x x −−∈−−，则[)6,2a ∈−−．
10. 若函数()221x x a
f x −=+是奇函数，则使()13
f x >成立的x 的取值范围为______．
【答案】()1,+∞；
【解析】()10011
a f −=
=+1a ⇒=.211
213x x −>+即224x ⨯>，则()1,x ∈+∞．
11. 某商品在近30天内每件的销售价格P （单位：元）与销售时间t （单位：天）的函数关系为
20,
025;100,2530.t t P t t +<<⎧=⎨−+≤≤⎩
，t ∈N ，且该商品的日销售量Q （单位:件）与销售时间t （单位：天）的函
数关系为()40030,Q t t t =−+≤≤∈N ，则这种商品的日销售量金额最大的一天是30天中的第_____天． 【答案】10；
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【解析】()()()()2040,025;
40100,2530.t t t S t t t +−<<⎧=⎨−−≤≤⎩
，可得max 10,900t S ==．
12. 已知函数()2log ,0;
3,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩
且关于x 的方程()0f x x a ++=有且只有一个实根，且实数a 的取值范
围是______. 【答案】1a ≤−；
【解析】结合()f x 的图象，原方程可以理解为()y f x =与y x a =−−只有一个交点．所以1a −≥，1a ≤−
13. 如果函数()()21,1;, 1.x a x x f x a x −+<⎧=⎨≥⎩满足对任意12x x ≠都有()()
1212
0f x f x x x −>−成立，那么a 的取值范围
是______．
【答案】3,22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
；
【解析】即()f x 在R 上单调递增，2031
,2221a a a a a
−>⎧⎪⎡⎫
>⇒∈⎨⎪⎢⎣⎭⎪−+≤⎩.
14. 已知函数()2f x x bx =+，若()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等，则实数b 的取值范围是____． 【答案】(][),02,−∞+∞；
【解析】()min 2b f x f ⎛⎫
=− ⎪⎝⎭
,则()min 2b f x ≤−即242b b −≤−解得0b ≤或2b ≥．
二、解答题（本大题共6小题，共计58分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答
案写在答题纸的指定区域内） 15. （8分）
已知幂函数()()2
1
*
m
m f x x m ++=∈N 的图象经过点()2,8．
⑴ 试确定m 的值 ；
⑵ 求满足条件()()21f a f a −>−的实数a 的取值范围． 【答案】⑴ 1m =；⑵3
2
a <
． 【解析】⑴2
1281m m m ++=⇒=或2m =−(舍).
⑵()3f x x =，()f x 在R 上单调递增，由()()21f a f a −>−可得3212
a a a −>−⇒<
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16. 已知()243f x x x =−+.
⑴ 作出函数()f x 的图象； ⑵ 写出函数()f x 的单调递增区间．
⑶ 写出集合(){}|M m f x m ==使方程有四个不相等的实根. 【答案】⑴ 见解析；⑵ ()1,2和()3+∞，；⑶
{}|01M m m =<<；
【解析】⑴见右图；
⑵单调递增区间为()1,2和()3+∞，； ⑶由图象可得()0,1m ∈则{}|01M m m =<<.
17. 设全集U =R ，集合1|22x
A x ⎧⎫⎪⎪
⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，(){}
[)2|lg 0,B y y x a ==+=+∞．
⑴ 求()
U A B ；
⑵ 求实数a 的值． 【答案】⑴()1,−+∞；⑵1； 【解析】⑴(],1A =−∞−，
()1,U
A =−+∞则()
()1,U A B =−+∞；
⑵()[)[)22lg 0,1,x a x a +=+∞⇒+∈+∞则1a =．
18. 已知函数()()log 4a f x ax =−，其中常数1a >.
⑴ 当[]1,2x ∈，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围；
⑵ 是否存在这样的实数a ，使得函数()f x 在区间[]1,2上的最大值为1？如果存在，试求出a 的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】⑴()1,2；⑵不存在．
【解析】⑴原题可化为40ax −>在[]1,2上恒成立，40
2420a a a −>⎧⇒<⎨
−>⎩
，又因为1a >所以()1,2a ∈； ⑵由题意可得4ax −在[]1,2上的最大值为a ，由于1a >，所以4ax −单调递减4a a −=，解得2a =，但此时在2x =处没有定义，所以不存在.
19. 已知函数()e e x x f x −=−（x ∈R ,且e 为自然对数的底数）．
⑴ 判断函数()f x 的单调性与奇偶性；
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⑵是否存在实数t ，使不等式()()220f x t f x t −+−≥对一切的x ∈R 都成立？若存在，求出t 的值，若不存在说明理由．
【答案】⑴ 证明见解析；⑵ 存在，1
2
t =−．
【解析】⑴函数定义域为R ，关于0对称，()x x f x e e −−=−，则()()0f x f x −+=，则()f x 是奇函数，以
下证明()f x 在R 上单调递增：
任取12,x x ∈R ，令12x x <，()()()121
2
121212
12e e 1e e e e 10e e e e
x x x x x x x x x x f x f x −⎛
⎫
−=−+=−+< ⎪⎝⎭
所以函数单调递增.
⑵存在，证明：()()()2222f x t f x t f t x −≥−−=−等价成22x t t x −≥−，则220x x t t +−−≥对一切的x ∈R 都成立，则()2140t t ∆=++≤可得12
t =−
．
20. 已知函数()2
21f x x ex m =−++−，()()2
0e g x x x x
=+>.
⑴ 若()y g x m =−有零点，求m 的取值范围；
⑵ 确定m 的取值范围，使得()()0g x f x −=有两个相异实根. 【答案】⑴[)2,e +∞；⑵212e e m >+−；.
【解析】⑴ 2e x m x +=22
0x mx e ⇒−+=在0x >有根，当02
m >时则22024m e m e −+≤⇒≥或
2m e ≤−(舍)，当
02
m
≤时，()20f e =，则()00f ≤无解，则2m e ≥. ⑵ 结合图象，可得()g x 与()f x 有交点时可以看出212e e m >+−，以下详细证明；
记()()()()2
2
e 12e 1h x g x
f x x x m x
=−=+−+−+，则可以证明()h x 在()0,e 上单调递减，在
()e,+∞上单调递增证明如下：
任取()12,0,e x x ∈，令12x x <，()()()212121212e 2e +1h x h x x x x x x x ⎛⎫
−=−+−− ⎪⎝⎭
，由于
122e <0x x +−，2
12
e 10x x −<，120x x −<所以()()12h x h x >，所以函数在()0,e 上单调递减；同理可证得在()e,+∞上单调递增，所以()e h 为函数最小值，根据零点定理()e 0h <，解得212e e m >+−，以下说明必存在函数值大于零：
首先说明()e,+∞上，当2e m ≥时，()2
2
e 2e 10h m m m m
=−++>，当212e e 2e m +−<<时，
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()e
2e 2e 102
h m =++
−>；所以在()e,+∞上只有一个零点 再说明()0,e 上，()2222e e 2e 4e 2e 22mx x h x m x x x x −−>−−=+，所以取2
e min 2m ⎫⎪
⎬⎪⎪⎩⎭
，2e 2m ，中
2e 2m <
即m <
0h >>⎝⎭
2
e 2m ≥
即m ≥23
2
e e 102h m m m
⎛⎫⎛⎫
>−≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；所以在()0,e 上只有一个零点； 综上，212e e m >+−
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